張婷婷,謝　旭,潘驍宇

(浙江大學(xué) 土木工程系,浙江 杭州 310058)

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考慮斷絲影響的平行鋼絲索拉伸力學(xué)特性

張婷婷,謝旭,潘驍宇

(浙江大學(xué) 土木工程系,浙江 杭州 310058)

摘要:為了分析斷絲對(duì)平行鋼絲索拉伸力學(xué)特性的影響，提出考慮鋼絲間摩擦影響的纖維束計(jì)算模型.通過對(duì)3種不同高度索段試件頂推試驗(yàn)獲得鋼絲間的摩擦力特性，應(yīng)用提出的纖維束計(jì)算模型分析鋼索拉伸時(shí)斷絲引起的內(nèi)力重分布規(guī)律，討論鋼絲間的摩擦作用對(duì)斷裂鋼絲的張力恢復(fù)以及鋼索承載能力等特性的影響.頂推試驗(yàn)結(jié)果表明，高度10 cm的平行鋼絲索段試件，鋼絲間的單位長(zhǎng)度摩擦剛度均值為0.192 kN/mm2，單位長(zhǎng)度滑動(dòng)摩擦力均值為0.022 kN/m； PE套管的握裹力不會(huì)沿索截面的徑向傳遞；理論計(jì)算結(jié)果表明，考慮鋼絲間摩擦影響時(shí)，斷裂鋼絲的張力離開斷口約1.5～2.0 m后線性恢復(fù)到斷絲前的大小；考慮鋼絲間摩擦影響的鋼索承載能力略大于忽略摩擦影響的值；在斷絲截面，未斷裂的鋼絲較均勻地分?jǐn)倲嗔唁摻z釋放的張力.

關(guān)鍵詞：平行鋼絲索；摩擦力試驗(yàn)；斷絲；內(nèi)力重分布；極限承載力

由Weibull等[1]提出并經(jīng)Daniels[2]完善的纖維束理論是計(jì)算平行鋼絲索拉伸強(qiáng)度的常用方法.這種算法是將鋼絲束離散成串并聯(lián)單元,即所有鋼絲互相并聯(lián),每根鋼絲的強(qiáng)度由串聯(lián)鋼絲單元中最薄弱單元決定的計(jì)算方法.迄今為止,不少學(xué)者基于纖維束理論計(jì)算平行鋼絲索的極限強(qiáng)度.如Matteo等[3]用Monte-Carlo方法模擬鋼絲力學(xué)參數(shù)的隨機(jī)性,根據(jù)極值分布理論評(píng)估了Williamsburg橋主纜的殘余承載能力.Haight等[4]采用鋼絲延性模型和延脆性模型分析了鋼絲長(zhǎng)度對(duì)索極限強(qiáng)度的影響.Cremona等[5]從鋼絲樣本的拉伸試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算鋼索的極限強(qiáng)度.朱勁松等[6]用Matteo的延脆性模型以及Monte Carlo隨機(jī)仿真分析模擬鋼絲力學(xué)特性,用纖維束理論確定拉索強(qiáng)度,并討論了Daniels效應(yīng)中鋼絲數(shù)目與平均鋼絲強(qiáng)度關(guān)系.徐俊等[7-11]根據(jù)鋼索內(nèi)銹蝕分布規(guī)律定義腐蝕鋼絲力學(xué)特性,提出平行鋼絲索的承載力計(jì)算方法,并分析吊桿抗力衰減規(guī)律.

然而,傳統(tǒng)的纖維束理論不考慮鋼絲之間的摩擦影響,斷絲發(fā)生后即讓該鋼絲退出工作.實(shí)際鋼索由于磨損、銹蝕、疲勞、初缺陷等原因使得鋼絲間的使用壽命不同,先斷裂的鋼絲在應(yīng)力釋放過程中由于鋼絲間摩擦改變鋼索內(nèi)其他鋼絲的應(yīng)力分布.為了研究這種影響,李元兵[9]通過理論推導(dǎo)以及有限元計(jì)算方法分析了鋼絞線索鋼絲脆斷后的截面內(nèi)力分布規(guī)律.彭崇梅等[12-13]以半平行鋼索為對(duì)象,假定鋼索的握裹力沿著鋼索徑向傳遞,建立靜力拉伸荷載下對(duì)稱斷絲及非對(duì)稱斷絲模型,從力的平衡關(guān)系分析了斷絲時(shí)鋼絲的應(yīng)力分布規(guī)律,并得到斷絲拉力隨離開斷口距離增加呈線性增加的結(jié)論.但是,以上計(jì)算采用的摩擦系數(shù)以及握裹力的傳遞方向假定缺乏依據(jù),研究結(jié)論有待試驗(yàn)的驗(yàn)證.

根據(jù)上述情況,本文首先通過試驗(yàn)方法研究鋼絲間的摩擦特性,在此基礎(chǔ)上建立考慮摩擦影響的纖維束計(jì)算模型.通過平行鋼絲索斷絲情況下各鋼絲應(yīng)力分布以及鋼索的極限拉伸強(qiáng)度等力學(xué)性能分析,研究鋼絲間摩擦對(duì)服役吊桿斷絲時(shí)的力學(xué)性能影響.

1服役鋼索的鋼絲間摩擦力試驗(yàn)研究

1.1鋼絲間摩擦力試驗(yàn)方法

為了評(píng)價(jià)鋼絲間的摩擦特性,本文從服役了17 a的拱橋吊桿中截取試件,通過鋼絲頂推試驗(yàn)測(cè)試平行鋼絲索的鋼絲間摩擦特性.吊桿截面由109根直徑5 mm的平行鋼絲組成,鋼絲表面有輕度銹跡.為了比較試件高度的影響,在同一吊桿中截取10、15和20 cm 3種不同高度的索段作為試驗(yàn)對(duì)象.

如圖1所示為鋼絲頂推試驗(yàn)方法以及中心鋼絲頂推完成后的狀況.鋼絲頂推設(shè)備采用微電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)(WDW-I00E),在試驗(yàn)機(jī)上下端分別安裝了頂桿和預(yù)設(shè)小孔的光面鋼板(墊板),頂桿對(duì)準(zhǔn)待頂推的鋼絲讓其在底部的小孔中通過,而其他鋼絲不發(fā)生位移.受到實(shí)驗(yàn)條件的限制,單次頂推量設(shè)置為4 mm.

圖1　試驗(yàn)裝置以及中心鋼絲頂推后的索段狀況Fig.1　Experimental device and tested status of segment samples

1.2試驗(yàn)結(jié)果

選取不同層的鋼絲進(jìn)行頂推試驗(yàn).被頂推鋼絲其層數(shù)位置如圖2所示.鋼絲由內(nèi)向外分為6層,每層任意選取2根鋼絲作為頂推對(duì)象.

圖2　頂推試驗(yàn)的鋼絲層數(shù)分布Fig.2　Layer distribution of testing wires

如圖3所示為典型的非外層以及外層鋼絲頂推試驗(yàn)荷載(Fs)-位移(D)曲線,結(jié)果取自高度20 cm的試件.其中,非外層鋼絲為截面第4層鋼絲,外層鋼絲為截面第6層鋼絲.由圖3可知,對(duì)于非外層鋼絲,頂推荷載隨著滑移位移的增大呈線性增加,至峰值附近時(shí)其上升趨勢(shì)變緩,達(dá)到峰值后外荷載隨位移增大而逐漸下降,最后逐漸趨于穩(wěn)定；而直接與熱塑型PE套管接觸的外層鋼絲,其荷載位移曲線在在峰值附近由于PE套管對(duì)鋼絲的黏滯作用產(chǎn)生一個(gè)小的波折,然后隨著頂推量的增加而緩慢下降,直至趨于穩(wěn)定.外層鋼絲的下降段斜率明顯低于非外層的鋼絲,內(nèi)層鋼絲荷載峰值相對(duì)外層鋼絲較高,表明PE套管與鋼絲間的摩擦特性跟鋼絲之間的摩擦特性有明顯的差異.

圖3　內(nèi)外層鋼絲頂推試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比一例Fig.3　Load-displacement curve for two samples

鋼絲頂推試驗(yàn)荷載位移曲線的上升段和下降段斜率通過線性擬合得到,曲線上升段為荷載從0逐漸增加至峰值的區(qū)段；下降段為荷載從峰值逐漸下降至穩(wěn)定值的區(qū)段,其中外層鋼絲的下降段不包括波折區(qū)間,即圖3中位移D=0.6～4.0 mm的結(jié)果.由于試驗(yàn)結(jié)果得到的下降段斜率不是恒定的值,本文采用線性擬合的方式得到其平均值,以15 cm試件第3層鋼絲為例,其線性擬合結(jié)果見圖4.

圖4　線性擬合結(jié)果一例Fig.4　Linear fitting curve for sample

如表1所示為鋼絲頂推試驗(yàn)結(jié)果，表中的摩擦剛度及摩擦力均換算為鋼絲單位長(zhǎng)度的結(jié)果.由于頂推力是鋼絲的總摩擦力,這里假定索段長(zhǎng)度范圍內(nèi)的摩擦力相同,取實(shí)測(cè)的總摩擦力與試驗(yàn)索段長(zhǎng)度、摩擦接觸面數(shù)的比值作為鋼絲單位長(zhǎng)度的摩擦力.當(dāng)樣本高度較小時(shí),摩擦力均勻分布的假定所引起的誤差可以近似忽略.另外,試驗(yàn)鋼絲“2-2”表示其截面第2層鋼絲的第2個(gè)樣本,層數(shù)編排參見圖2；Fp為單位長(zhǎng)度荷載峰值,其物理意義為單位長(zhǎng)度滑動(dòng)摩擦力；K1,K2分別為曲線上升段和下降段斜率與試件高度的比值,其物理意義為單位長(zhǎng)度摩擦剛度.其中,符號(hào)“*”表示外層鋼絲.

表1　鋼絲頂推試驗(yàn)結(jié)果

由表1可知,單位長(zhǎng)度滑動(dòng)摩擦力及摩擦剛度與試件高度有一定關(guān)系,高度h=10 cm的試件結(jié)果略高于其他2個(gè)試件，單位長(zhǎng)度摩擦剛度在0.163～0.209 kN/mm2之間波動(dòng),均值為0.192 kN/mm2,單位長(zhǎng)度滑動(dòng)摩擦力在15.48～34.38 kN/m之間變化,均值為22.22 kN/m；高度15和20 cm試件的單位長(zhǎng)度摩擦剛度均值分別為 0.097、0.110 kN/mm2,單位長(zhǎng)度滑動(dòng)摩擦力均值分別為14.73、20.22 kN/m.對(duì)于同一高度的試件,單位長(zhǎng)度滑動(dòng)摩擦力以及單位長(zhǎng)度摩擦剛度與所在的鋼絲層位置并沒有明顯的關(guān)系,表明鋼絲排序的方式使得截面結(jié)構(gòu)穩(wěn)定,鋼絲間的握裹力并非沿著徑向傳遞.

2考慮摩擦影響的纖維束計(jì)算模型

圖5　纖維索計(jì)算模型Fig.5　Analytical model based on theory of bundles of threads

如圖5(a)所示為考慮鋼絲間摩擦影響的纖維束計(jì)算模型.其中,平行鋼絲索沿長(zhǎng)度L方向均勻劃分成若干段,索段長(zhǎng)度為L(zhǎng)0,n為劃分的索段數(shù).單根鋼絲由鋼絲單元縱向串聯(lián)連接,不同鋼絲之間相互并聯(lián)；截面上相鄰鋼絲節(jié)點(diǎn)之間引入摩擦單元傳遞摩擦力,非相鄰單元之間沒有力的傳遞關(guān)系.為了表述方便起見,鋼絲編號(hào)順序按如圖5(b)所示的方式,截面由中心層向外分層編號(hào),每層鋼絲的編號(hào)由x軸位置開始沿逆時(shí)針方向從小到大編排,并按層連續(xù).鋼絲單元編號(hào)按索段順序從上至下連續(xù)增加,其最大編號(hào)由分段數(shù)決定.

圖6　鋼絲及摩擦單元的材料特性Fig.6　Material properties of wire and friction element spring

鋼絲單元和摩擦單元采用如圖6所示的雙直線模型,其中摩擦力假定為理想彈塑性關(guān)系.圖中,E1、E2分別表示鋼絲屈服前后的彈性模量,εe、εu分別表示鋼絲單元屈服應(yīng)變以及極限應(yīng)變,σe、σu分別表示鋼絲單元屈服應(yīng)力以及極限應(yīng)力；δy、Fy分別表示彈簧單元由靜摩擦力轉(zhuǎn)為動(dòng)摩擦力的相對(duì)位移和拉力.

為模擬吊桿在服役過程中鋼絲力學(xué)特性退化的不均勻性及隨機(jī)性,采用Monte Carlo法對(duì)所有鋼絲單元的截面積及極限應(yīng)變?cè)谝?guī)定的參數(shù)范圍內(nèi)按預(yù)先設(shè)定的概率模型隨機(jī)生成.其中,摩擦單元的滑動(dòng)摩擦力取試驗(yàn)結(jié)果中Fs-D曲線的峰值和強(qiáng)制位移達(dá)4 mm之間下降段的平均值來(lái)近似.另外,因頂推試驗(yàn)不能測(cè)試鋼絲沿試件高度的摩擦力分布規(guī)律,得到的荷載-位移均為鋼絲端部的結(jié)果.因此,計(jì)算選取結(jié)果較穩(wěn)定,高度對(duì)其影響較小的10 cm高度索段的摩擦參數(shù).

如圖7所示為鋼索極限承載能力的計(jì)算框圖,荷載通過在鋼索一端施加強(qiáng)制位移的方法實(shí)現(xiàn).在加載過程中,當(dāng)鋼絲的拉伸應(yīng)變達(dá)到極限應(yīng)變時(shí),對(duì)應(yīng)的單元退出工作,通過計(jì)算新的平衡來(lái)確定斷絲后的應(yīng)力重分配.非線性計(jì)算采用Newton-Raphson迭代方法.

圖7　鋼索承載能力計(jì)算框圖Fig.7　Flow chart for ultimate strength analysis of cables

3算例及結(jié)果分析

3.1計(jì)算參數(shù)

傳統(tǒng)纖維束理論不考慮鋼絲間的摩擦作用,認(rèn)為鋼絲發(fā)生斷裂即退出工作,不再具備承載能力.為了分析平行鋼絲索斷絲時(shí)的內(nèi)力分布規(guī)律及力學(xué)特性變化,本文采用圖5所示的纖維束計(jì)算模型及試驗(yàn)取得的鋼絲間摩擦特性結(jié)果,以一根長(zhǎng)度5 m,截面由37根直徑5 mm平行鋼絲組成的吊桿為例進(jìn)行分析.鋼絲的屈服應(yīng)力和極限應(yīng)力分別為1 580、1 700 MPa，初始張力為70 kN.

3.2特定鋼絲斷裂后的鋼索內(nèi)力重分布

為了分析平行鋼絲索特定鋼絲斷絲后的內(nèi)力重分布,定義其中一個(gè)鋼絲單元的截面面積小于其他鋼絲單元,使其首先達(dá)到極限應(yīng)變而發(fā)生斷裂.為了保證鋼索在張拉過程中其他鋼絲不發(fā)生斷裂,不妨設(shè)該特定單元的截面積為其他鋼絲單元的90%.

為了分析斷口位置的鋼絲內(nèi)力重分布,分別對(duì)中心層1號(hào)鋼絲、外2層8號(hào)鋼絲的中間單元截面積進(jìn)行折減.如圖8所示為中心鋼絲斷裂前后中心鋼絲以及斷絲截面上其他鋼絲的張力變化.其中,T為鋼絲單元張力,l為鋼絲單元軸向位置,m為鋼絲編號(hào).由圖8可知,中心鋼絲斷絲后其張力沿著鋼絲軸向呈現(xiàn)線性恢復(fù),距離斷口1.5 m時(shí)鋼絲張力恢復(fù)至斷絲前水平的85.41%；距離斷口2 m左右時(shí),張力恢復(fù)至斷絲前水平.與此相對(duì)應(yīng),周圍相鄰鋼絲的張力呈線性上升,在斷絲截面增幅最大,為斷絲前的102.62%,即斷絲損失的部分應(yīng)力由周圍的鋼絲均勻分擔(dān),分擔(dān)比例與鋼絲的位置無(wú)明顯關(guān)系.

圖8　中心鋼絲斷絲后內(nèi)力重分布Fig.8　Redistribution of wire axial force after central wire breaks

為了分析中心鋼絲斷絲后的內(nèi)力重分布機(jī)理,對(duì)中心1號(hào)鋼絲與相鄰2號(hào)鋼絲的相對(duì)位移進(jìn)行了分析,斷絲后選取2個(gè)狀態(tài)進(jìn)行比較，結(jié)果如圖9所示.其中,縱坐標(biāo)d分別表示1、2號(hào)鋼絲相鄰節(jié)點(diǎn)的相對(duì)位移.由圖9可知,斷絲前的節(jié)點(diǎn)相對(duì)位移較小,僅在面積削弱單元附近產(chǎn)生；斷絲后,由于斷絲鋼絲回縮變形導(dǎo)致相對(duì)位移增大,并沿著軸向遞增,距離斷口1.3 m后相對(duì)位移趨于穩(wěn)定.后隨著強(qiáng)制位移的逐漸增大,其他鋼絲相繼發(fā)生斷裂,1、2號(hào)鋼絲之間的相對(duì)位移也逐漸增大.

圖9　斷絲前后同截面相鄰節(jié)點(diǎn)相對(duì)位移Fig.9　Relative displacement of nodes in cross-section

圖10　8號(hào)鋼絲斷絲后內(nèi)力重分布Fig.10　Redistribution of wire axial force after 8th wire breaks

如圖10所示為外2層8號(hào)鋼絲斷絲后的內(nèi)力分布圖.由圖10可知,外層鋼絲斷絲后其張力沿著鋼絲軸向呈線性恢復(fù),距離斷口1.5 m后鋼絲的張力恢復(fù)至85.40%；距離斷口2 m左右時(shí)張力恢復(fù)至斷絲前水平.同時(shí),與斷絲鋼絲相鄰的5號(hào)鋼絲張力呈線性上升,最大增至斷絲前的102.59%左右,與中心鋼絲斷裂時(shí)的內(nèi)力分布規(guī)律基本相同.

由以上結(jié)果可知,斷裂鋼絲的張力恢復(fù)水平并不受鋼絲位置的影響,斷絲后雖然與此直接相鄰的鋼絲張力略高于其他鋼絲,但差異不明顯.

3.3隨機(jī)斷絲時(shí)的鋼索力學(xué)特性

銹蝕、磨損、疲勞、初缺陷等均會(huì)引起鋼絲單元之間的力學(xué)性能存在差異.本文以銹蝕作為鋼絲單元力學(xué)性能變化的原因,分析鋼索隨機(jī)斷絲情況下的拉伸力學(xué)特性.假定鋼索的銹蝕等級(jí)為文獻(xiàn)[14]定義的Ⅲ級(jí),這時(shí)鋼絲的有效截面積損失范圍為0.5%～2%,延性折減范圍為5%～15%.在上述參數(shù)范圍內(nèi),通過Monte Carlo法隨機(jī)對(duì)鋼絲單元的力學(xué)特性進(jìn)行賦值,確定各單元的極限應(yīng)變及截面參數(shù).采用圖7所示的模型計(jì)算框圖對(duì)鋼索隨機(jī)斷絲條件下的內(nèi)力重分布及極限承載能力進(jìn)行分析.

如圖11所示分別為37、61根Φ5 mm直徑鋼絲組成的平行鋼絲索斷絲后的鋼絲應(yīng)力分布圖.由圖11(a)可知,由37根鋼絲組成的平行鋼絲索23號(hào)鋼絲在距離端部1.2 m處首先發(fā)生斷裂,斷絲后斷絲鋼絲張力沿著軸向線性恢復(fù),距離斷口1.2 m以及3.8 m時(shí),張力分別恢復(fù)至斷絲前水平的36.71%和96.73%；隨著端部強(qiáng)制位移的增加,相鄰的22號(hào)鋼絲在同一截面上發(fā)生斷裂.由圖11(b)可知,當(dāng)鋼絲根數(shù)為61根時(shí),26號(hào)鋼絲在中部首先發(fā)生斷裂,斷絲后斷絲鋼絲張力隨距離線性恢復(fù),距離斷口1.6 m左右恢復(fù)至斷絲前水平；之后58號(hào)鋼絲在靠近端部發(fā)生斷裂；隨著強(qiáng)制位移增加,45號(hào)鋼絲在26號(hào)斷絲截面上發(fā)生斷裂.

圖11　鋼絲在斷絲前后沿軸向的內(nèi)力分布Fig.11　Distribution of broken wire axial forces after/before breaks

如表2所示為不考慮鋼絲間摩擦作用和考慮摩擦作用時(shí)纖維束計(jì)算模型當(dāng)斷絲率達(dá)到5%時(shí)的鋼索承載能力Fb計(jì)算結(jié)果,鋼索的銹蝕等級(jí)仍假定為Ⅲ級(jí).由表2可知,當(dāng)平行鋼絲索鋼絲數(shù)量為37根時(shí),考慮摩擦影響的平行鋼絲索承載能力比不考慮摩擦影響的結(jié)果增加了2.16%；鋼絲數(shù)目為61根時(shí),其5%斷絲率的承載能力增加了3.15%.因此,鋼絲間的摩擦力對(duì)平行鋼絲索的承載能力影響比較小.

表2摩擦對(duì)鋼索承載能力的影響

Tab.2Effect of inter-wire friction on cable ultimate strength

鋼絲數(shù)目斷絲數(shù)目是否考慮摩擦Fb/kN372是994372否973613是1660613否1610

4結(jié)論

根據(jù)平行鋼絲索鋼絲間摩擦力試驗(yàn)以及考慮摩擦影響的纖維束模型計(jì)算理論分析結(jié)果,得到以下結(jié)論：

(1) 平行鋼絲索的鋼絲間摩擦力特性與鋼絲所在的位置沒有明顯關(guān)系,可以認(rèn)為PE套管的徑向壓力不會(huì)沿著鋼索截面徑向傳遞；

(2) 當(dāng)試件高度為10 cm時(shí),其單位長(zhǎng)度平均摩擦剛度為0.163～0.209 kN/mm2,均值為0.192 kN/mm2；單位長(zhǎng)度平均滑動(dòng)摩擦力為0.019～0.025 kN/mm,均值為0.022 kN/m.這些參數(shù)隨著試件高度增加而降低；

(3) 鋼絲間摩擦力超過峰值后呈下降變化；

(4) 斷絲后由于內(nèi)力重分布,剩余鋼絲較均勻地分擔(dān)斷絲鋼絲的張力；斷絲后隨著離斷口的距離增加,張力沿軸向呈線性恢復(fù),其張力恢復(fù)不隨斷絲鋼絲所在的位置變化而變化；

(5) 以銹蝕鋼索斷絲率達(dá)到5%的作為極限狀態(tài),比較了鋼絲間摩擦力對(duì)鋼索承載能力計(jì)算結(jié)果的影響.結(jié)果表明當(dāng)考慮摩擦影響時(shí),鋼索拉伸承載能力計(jì)算結(jié)果略大于不考慮摩擦影響的值.

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Tensile mechanical behavior of parallel wire cables with wire breaks

ZHANG Ting-ting, XIE Xu, PAN Xiao-yu

(DepartmentofCivilEngineering,ZhejiangUniversity,Hangzhou310058,China)

Abstract:In order to analyze the tensile mechanical behavior of the parallel wire cables with broken wires, an analytical model based on the theory of bundles of threads was presented considering the effect of inter-wire friction. By laboratory test for three segment samples in different lengths extracted from parallel wire cables, the friction characteristics between wires in different layers were gained as input variables in the analytical model. This paper studied the stress redistribution of wires in cable due to wire breaks, and discussed the recovery tensile force of the broken wire, and the ultimate strength of the cable when considering the inter-wire friction. Laboratory test results showed from the segment in length of 10cm, that the average friction rigidity of unit length is about 0.192 kN/mm2, and the average friction resistance is 0.022 kN/mm. The wrapping force of the PE casing was not transmitting in the radial direction of cable crosssection. The theoretical calculation results showed that the tensile force of broken wires grew linearly with the distance from the breaking point, and the recovery length is about 1.5 m to 2.0 m due to the inter-wire friction. The ultimate strength of cable increased slightly compared to those without considering the inter-wire friction, and on the cross-section of the breaking point, the other wires shared the tensile force of the broken ones evenly.

Key words:parallel wire cables; laboratory test; wire breaks; redistribution of wire axial force; ultimate strength of cable

收稿日期：2015-06-17.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版)網(wǎng)址： www.journals.zju.edu.cn/eng

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378460).

作者簡(jiǎn)介：張婷婷(1989-)，女，碩士生，從事拱橋吊桿損傷等研究. ORCID: 0000-0001-6729-0207. E-mail: 3090103176@zju.edu.cn通信聯(lián)系人：謝旭，男，教授. ORCID: 0000-0002-4247-0487. E-mail: xiexu@zju.edu.cn

DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2016.05.005

中圖分類號(hào)：U 443.38

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-973X(2016)05-0841-07