郭海寬，趙新文，蔡　琦，張永發(fā)，黃麗琴，邢　晉

(1.海軍工程大學 核能科學與工程系,武漢　430033;2.南昌航空大學 材料科學與工程學院，南昌　330063;3.海軍裝備部駐重慶地區(qū)軍事代表局，重慶　400000)

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核動力設備無信息先驗研究

郭海寬1，趙新文1，蔡琦1，張永發(fā)1，黃麗琴2，邢晉3

(1.海軍工程大學 核能科學與工程系,武漢430033;2.南昌航空大學 材料科學與工程學院，南昌330063;3.海軍裝備部駐重慶地區(qū)軍事代表局，重慶400000)

摘要：故障時間數據服從單參數情形下使用Jeffreys先驗可以得到很好的推斷結果，但對于服從雙參數的情形，并且參數之間具有相關性時，需要對Jeffreys先驗作特定的修改才能使用；推導出服從正態(tài)分布的核動力設備故障時間的Jeffreys先驗和Reference先驗，通過分析它們的后驗頻率性質得到：Reference先驗πr(μ,σ2)∞1/σ2是σ2的精確概率匹配先驗、μ的二階概率匹配先驗；在Jeffreys先驗下，σ2水平為α的可信上限的頻率覆蓋概率低于事先給定的可信水平α，其差異會隨著樣本容量的增大而逐漸縮??；對實例進行分析，首先推導出核動力設備泵的正態(tài)分布故障時間數據的Reference無信息先驗，應用此先驗對故障時間數據進行分析，然后通過Bayesian χ2擬合優(yōu)度對所建立的無信息先驗模型進行檢驗，發(fā)現僅有15.5%的rB超過0.95分位數，表明所建立的正態(tài)分布Reference無信息先驗模型可以很好的描述本實例中核動力設備泵的故障時間數據。

關鍵詞：核動力設備；Reference先驗；Jeffreys先驗；概率安全評價

可靠性數據是核電站概率安全評價(PSA)的基礎，目前，核電站的PSA研究廣泛利用Bayes方法將特定數據作為“新證據”來修正或更新通用數據，從而得到適用于本電站PSA的可靠性參數[1]。這種方法既能彌補通用數據不能代表本電廠特征的弊端，又能彌補特定數據量少、不確定性大的缺陷，因此被認為是目前最有效的數據處理方法。在核電站PSA分析中，有些始發(fā)事件的頻率或設備失效的記錄屬于首次出現，沒有歷史數據依托，在PSA分析中，此種情況稱為無先驗信息。為了計算無先驗信息的可靠性參數或始發(fā)事件頻率，將無先驗信息的設備可靠性參數或始發(fā)事件頻率簡單地設為0是不合適的。何劼采用Bayes統(tǒng)計學中的Jeffreys方法[2]，分別導出了Gamma-Poisson模型和Beta-Binomial模型的Jeffreys無信息先驗公式和不確定性區(qū)間，并結合反應堆冷卻劑小破口失水事故(SLOCA)實例介紹了如何應用Jeffreys先驗計算始發(fā)事件頻率；沈志遠在Gamma-Poisson模型和Beta-Binomial模型的Jeffreys無信息先驗公式基礎上，通過Bayes方法得到通用數據分布超參數計算表達式[3]。上述兩篇文章處理的可靠性數據是離散的，而最常見的可靠性數據是故障時間數據，具有連續(xù)性，其記錄了核動力零部件故障前的持續(xù)工作時間[4]。故障時間數據既有符合單參數分布(如指數分布)的，也有符合雙參數分布(如正態(tài)分布)的。故障時間數據服從單參數情形下使用Jeffreys先驗可以得到很好的推斷結果，但對于服從雙參數的情形，并且參數之間具有相關性時需要對Jeffreys先驗作特定的修改才能使用[5]。Bernardo通過Reference方法成功地改進了多參數模型中Jeffreys先驗[6]。對于核動力設備正態(tài)分布的故障時間數據，W.Nelson指出，當μ(正態(tài)分布的均值)相對于σ(正態(tài)分布的標準差)很大時，正態(tài)分布小于0的概率是可以忽略的，此時，正態(tài)分布可以近似地用于處理故障時間數據[7]。本文分別推導出設備可靠性數據的Jeffreys先驗和Reference先驗且分析了它們的后驗頻率性質，通過核動力設備泵的實例分析，對所建立的正態(tài)分布故障時間數據的Reference無信息先驗模型進行Bayesian χ2擬合優(yōu)度檢驗。

1核動力設備無信息先驗

假設核動力設備故障時間滿足正態(tài)分布規(guī)律，設T=(T1,…,TN)是設備故障時間數據，其中Ti是第i個部件的故障時間，則正態(tài)故障時間Ti的概率密度函數為

1.1核動力設備的Jeffreys先驗

通過Jeffreys先驗理論[5]可得(μ,σ2)的Fisher信息陣為

則正態(tài)分布的核動力設備故障時間數據的Jeffreys先驗為：

1.2核動力設備的Reference先驗

設π=(μ，σ2)，其中μ為感興趣參數，σ2為討厭參數，又設

為(μ，σ2)的Fisher信息陣。(μ，σ2)的Reference先驗可由以下四步計算得到[8]：

1)求μ給定時σ2的Reference先驗π=(μ，σ2)。由于一維場合Reference先驗與Jeffreys先驗的一致性，所以

上是有限的。由此對π(σ2|μ)在ωi,μ上正則化得到

其中iA(x)表示集合A上的示性函數，而

3)求參數μ關于π(σ2|μ)的邊際Reference先驗πi(μ)。

4)求極限(假定存在)得到(μ，σ2)的Reference先驗

其中μ10為任一固定點。

2核動力設備無信息先驗的后驗頻率性質

2.1后驗頻率性質

考慮核動力設備Reference先驗的后驗頻率性質，πr(μ,σ2)的后驗分布為

(1)

根據伽瑪分布、倒伽瑪分布和χ2分布的關系[9]，得倒伽瑪分布的α分位數可用χ2分布的α分位數表示，即

有

(2)

式(2)表明Reference先驗πr(μ,σ2)∞1/σ2是σ2的精確概率匹配先驗。

為了得到參數μ的邊沿后驗分布，需要對σ2進行積分計算

(3)

(4)

計算Jeffreys先驗關于σ2的邊沿后驗分布，式(6)是倒伽瑪分布IG(N/2,(N-1)σ2/2)，其α分位數IGα(N/2,(N-1)σ2/2)就是σ2的水平α的可信上限。

(5)

式(5)表明：在Jeffreys先驗下，σ2的水平為α的可信上限的頻率覆蓋概率低于事先給定的可信水平，其差異會隨著樣本容量的增大而逐漸縮小。利用Matlab分析核動力設備無信息先驗的后驗頻率性質，如圖1所示。

圖1　置信水平α=0.05與α=0.95的覆蓋率比較

圖1左右兩圖中圈點為在Reference先驗下模擬得到的可信度分別為α=0.05和α=0.95的可信上限的頻率覆蓋概率；而圖中的星點為在Jeffreys先驗下模擬得到的可信度分別為α=0.05和α=0.95的可信上限的頻率覆蓋概率?？梢钥闯鯦effreys先驗的確不具有良好的頻率性質，特別是在小樣本場合。圖1上的水平線與曲線分別表示α=0.05與α=0.95時與Reference先驗與Jeffreys先驗對應的可信上限的理論結果。圖1上的結果是顯示模擬結果與理論結果相當吻合，還表現出Reference先驗與Jeffreys先驗下可信上限的頻率覆蓋概率的差異。當N較小時這個差異是很顯著的，而當n增大時這種差異逐漸縮小。

2.2Bayesian χ2擬合優(yōu)度檢驗

建立核動力設備的無信息先驗模型之后，需要對模型進行擬合優(yōu)度檢驗以評價由此模型得到的Bayes推斷值是否合適。基于Bayes理論的Pearson擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量可以定義為

(6)

通常，k的取值滿足k≈N0.4，N是樣本量。此統(tǒng)計量的一個重要性質是：對于很大的N，rB服從自由度為k-1的χ2分布，而與(μ,σ2)的維度無關[12]。如果后驗分布生成的樣本導致50%的rB超過參考分布的0.95分位數，則建立的模型存在問題[13]。

3實例分析

泵是核電站的重要設備，表1列出核電站泵的部分故障時間[14]。

本文利用正態(tài)分布進行故障時間數據建模，表1給出的泵的故障時間T1,T2,…,T12模型為

根據式(1)可以得到σ2的邊沿后驗分布為倒伽瑪分布σ2∈IG(5.5,754 286 093 679 091)。再根據式(3)得到μ的邊沿后驗分布為T分布，其自由度為11，均值為14 873 072，尺度參數為114 285 771 769 559。圖2顯示了μ和σ2的邊沿后驗分布。

表1　核電站泵的故障時間數據

圖2　泵正態(tài)分布故障時間均值μ和方差σ2的后驗分布

4結論

本文推導出核動力設備正態(tài)分布故障時間的Jeffreys先驗和Reference先驗，發(fā)現Reference先驗πr(μ,σ2)∞1/σ2是σ2的精確概率匹配先驗，是μ的二階概率匹配先驗。分析兩個先驗的后驗頻率性質得出，在Jeffreys先驗下，σ2水平為α的可信上限的頻率覆蓋概率低于事先給定的可信水平α，說明Jeffreys先驗的確不具有良好的頻率性質，特別是在小樣本場合下。應用Reference無信息先驗分析核動力設備泵正態(tài)分布的故障時間，通過Bayesian χ2擬合優(yōu)度檢驗發(fā)現僅有15.5%的rB超過0.95分位點，表明可以很好的描述核電站泵的故障時間。

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(責任編輯唐定國)

本文引用格式：郭海寬，趙新文，蔡琦，等.核動力設備無信息先驗研究[J].兵器裝備工程學報，2016(5):139-143.

Citation format:GUO Hai-kuan,ZHAO Xin-wen,CAI Qi,et al.Research on Nuclear Power Plants Based on Non-Informative Priors[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(5):139-143.

Research on Nuclear Power Plants Based on Non-Informative Priors

GUO Hai-kuan1,ZHAO Xin-wen1,CAI Qi1, ZHANG Yong-fa1,HUANG Li-qin2,XING Jin3

(1.Department of Nuclear Energy Science and Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China;2.Material Science and Engineering Academy,Nanchang Hangkong University,Nanchang 330063,China;3.Naval Equipment Division Representative Office in Chongqing,Chongqing 400000,China)

Abstract:We could receive very good result based on Jeffreys priors when the failure time data has one-parameter distribution,but we need to revise the Jeffreys priors when the failure time data have two-parameter distribution and there is correlation between parameters.Jeferrys priors and Reference priors for NPPs normal failure times were introduced and their posterior frequency qualities were assessed,we know that the Reference prior is exact probability matching prior for σ2and the 2th order asymptotic probability matching prior forμ; the confidence upper limit coverage of confidence level α on σ2is below the confidence level α for Jefferys priors and the otherness will decrease with the increase of sample.This paper carried on the instance analysis to introduce Reference priors for normal failure time data of NPPs pump,and analyzed the failure time data through Reference priors; we found only 15.5%of theRBvalues exceed this 0.95 quantile through applying a Bayesianχ2goodness-of-fit to test the non-informative priors model,which suggests that the normal Reference priors model could describe the failure time data of NPPs pump very well.

Key words:nuclear power plant; Reference prior; Jeffreys prior; probabilistic safety assessment

doi:【基礎理論與應用研究】10.11809/scbgxb2016.05.033

收稿日期：2015-10-31；修回日期：2015-12-01

基金項目：核反應堆系統(tǒng)設計技術國家重點實驗室基金資助項目(HT-JXYY-02-2014002)

作者簡介：郭海寬(1988—)，男，博士研究生，主要從事核科學與技術研究。

中圖分類號：TL364

文獻標識碼：A

文章編號：2096-2304(2016)05-0139-05