鄭行軍

摘 要：磁場的周期性過定點(diǎn)問題在題干設(shè)置時(shí)常常會綜合帶電粒子運(yùn)動的周期性問題和隱含性問題，學(xué)生在處理這類問題時(shí)往往感覺思路模糊，無法解題。由于實(shí)現(xiàn)周期性過定點(diǎn)的粒子的運(yùn)動軌跡具有一定的對稱性，故從軌跡的角度出發(fā)歸納可能構(gòu)建的題型，并結(jié)合物理規(guī)律和數(shù)學(xué)方法，實(shí)現(xiàn)對該題型的處理，希望能為學(xué)生提供解決此類問題的有效思路。

關(guān)鍵詞：圓形磁場；對稱性；磁場邊界；圓心；對角

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）5-0015-4

圓形磁場的周期性過定點(diǎn)問題（即粒子在邊界為圓形的磁場中做周期性運(yùn)動后會經(jīng)過某一特定位置的問題）是高中磁場類題目中的一個難點(diǎn)，這類題目要求學(xué)生根據(jù)題目的限制性條件畫出粒子在磁場可能的運(yùn)動軌跡，找出其幾何關(guān)系。在題目分析過程中常常會涉及帶電粒子運(yùn)動的對稱性和周期性，解題時(shí)需要將物理規(guī)律和數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，歸納出圓周運(yùn)動的半徑、時(shí)間的通式，考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的能力和綜合分析的能力[1]。本文從近幾年的命題趨勢中就其可能構(gòu)建的題型進(jìn)行歸納和整理，尋找其題目特征并提供相應(yīng)的解題策略。

1 沿徑向入射或出射型的模型解讀

假設(shè)圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，區(qū)域半徑為R，如圖1所示?，F(xiàn)有一電荷量為q，質(zhì)量為m的正電荷從a點(diǎn)沿圓形區(qū)域的半徑入射，經(jīng)偏轉(zhuǎn)后運(yùn)動至b點(diǎn)，圓O實(shí)線部分為粒子的運(yùn)動軌跡，由軌跡特點(diǎn)分析得到其出射方向也必沿半徑方向[2]。

若粒子經(jīng)過圓形區(qū)域內(nèi)多次偏轉(zhuǎn)后回至a點(diǎn)，則角度關(guān)系必滿足nα=2kπ（k=1，2，3…）（n為粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的次數(shù)，k為粒子在圓形區(qū)域內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)）。由幾何關(guān)系知：θ+α=π，由于徑向入射（出射）α<π[3]，故需滿足n>2k。聯(lián)立qvB=mr，t=T或t=T，即可求得粒子實(shí)現(xiàn)周期性過定點(diǎn)的時(shí)間的可能取值；連接OO1，聯(lián)立qvB=m和tan=，即可求得軌跡半徑的可能取值。

例1 如圖3所示，3個同心圓是磁場的理想邊界，圓1半徑R1=R，圓2半徑R2=3R，圓3半徑R3（R3>R2）大小未定。圓1內(nèi)部區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，圓1與圓2之間的環(huán)形區(qū)域是無場區(qū)，圓2與圓3之間的環(huán)形區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度也為B，兩個區(qū)域的磁場方向均垂直于紙面向里。t=0時(shí)一個質(zhì)量為m，帶電量為+q（q>0）的離子（不計(jì)重力），從圓1上的A點(diǎn)沿半徑方向以速度v=飛進(jìn)圓1內(nèi)部磁場。問：

（1）若離子飛不出環(huán)形磁場圓3的邊界，則圓3的半徑R3至少為多大？

（2）在滿足了（1）小題的條件后，離子自A點(diǎn)射出后會在兩個磁場不斷地飛進(jìn)飛出，從t=0開始到離子第二次回到A點(diǎn)，離子運(yùn)動的總時(shí)間為多少？

（3）在同樣滿足了（1）小題的條件后，若環(huán)形磁場方向?yàn)榇怪庇诩埫嫦蛲?，其他條件不變，從t=0開始到離子第一次回到A點(diǎn)，離子運(yùn)動的路徑總長為多少？

2 偏離徑向入射或出射型模型解讀

假設(shè)圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，區(qū)域半徑為R，如圖6所示?，F(xiàn)有一電荷量為q，質(zhì)量為m的正電荷從a點(diǎn)射入磁場，入射方向與半徑夾角為β，經(jīng)偏轉(zhuǎn)后運(yùn)動至b點(diǎn)，圓O實(shí)線部分為粒子的運(yùn)動軌跡。

例2 如圖7所示，半徑為R的絕緣圓筒中有沿軸線方向的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，筒形場區(qū)的邊界由彈性材料構(gòu)成。一個質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子（不計(jì)重力）以某一速度從筒壁上的小孔M進(jìn)入筒中，速度方向與半徑成β=30 °夾角，并垂直于磁場方向。離子和筒壁的碰撞無能量和電荷量的損失。若選擇合適的進(jìn)入速度，離子可以從M孔射出。問：

（1）如果離子與筒壁發(fā)生兩次碰撞后從M孔射出，離子的速率是多大？從進(jìn)入圓筒到返回M孔經(jīng)歷的時(shí)間是多少？

（2）如果離子與筒壁發(fā)生n次碰撞在圓筒中轉(zhuǎn)過一圈后從M孔射出，離子的速率又是多大？

（2）設(shè)碰撞n次后返回M孔時(shí)，如圖9所示，每相鄰兩次碰撞點(diǎn)對應(yīng)的場區(qū)的對角為α，則必須滿足（n+1）α=2π。

由上述例題分析可知，磁場的周期性過定點(diǎn)問題中的粒子運(yùn)動的軌跡往往具有一定的對稱性，故在設(shè)置限制性條件時(shí)具有以下隱含性特點(diǎn)：①若粒子沿圓形磁場的半徑方向入射或出射，則粒子每次到達(dá)磁場邊界時(shí)速度方向也必沿半徑方向；若粒子偏離半徑方向以一定的角度（偏射角）入射或出射，則粒子每次到達(dá)磁場邊界時(shí)速度方向與半徑的夾角必相同，皆等于初始位置的偏射角。②粒子在實(shí)現(xiàn)周期性過定點(diǎn)時(shí)，軌跡的圓心角與對角、偏射角之間存在一定的隱含關(guān)系。故如果從對稱性的角度[4]和角關(guān)聯(lián)角度分析和解決此類問題，找出粒子在磁場中可能的運(yùn)動軌跡，并結(jié)合周期性規(guī)律和數(shù)學(xué)方法歸納出半徑、時(shí)間的通式，則此類問題都可以迎刃而解。

參考文獻(xiàn)：

[1]王雷.帶電粒子在磁場中運(yùn)動的邊界問題[J].物理教學(xué)探討，2008，26（11）：3—4.

[2]范福生.帶電粒子穿越有圓形邊界勻強(qiáng)磁場的“對稱性”分析[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2013，39（6）：41—42.

[3]楊玉良. 例析一類物理問題幾何關(guān)系的簡便求法[J].物理教學(xué)探討，2015，33（9）：48—50.

[4]朱欣.帶電粒子在電磁場中運(yùn)動的對稱美賞析[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2003，29（8）：38—41.