王　誠(chéng)，周　振，石少卿，陳　暲

(中國(guó)人民解放軍后勤工程學(xué)院　a.軍事土木工程系；b.國(guó)家救災(zāi)應(yīng)急裝備工程技術(shù)研究中心； c.國(guó)防建筑規(guī)劃與環(huán)境工程系，重慶　401311)

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試射法求解二維層流邊界層中的Falkner-Skan方程

王誠(chéng)a，周振b，石少卿a，陳暲c

(中國(guó)人民解放軍后勤工程學(xué)院a.軍事土木工程系；b.國(guó)家救災(zāi)應(yīng)急裝備工程技術(shù)研究中心； c.國(guó)防建筑規(guī)劃與環(huán)境工程系，重慶401311)

摘要：研究了不可壓縮的粘性流體繞流楔形物體的Falkner-Skan方程，通過(guò)Matlab程序采用試射法求出了Falkner-Skan方程的數(shù)值解，說(shuō)明試射法是求解Falkner-Skan方程的一種有效解法。

關(guān)鍵詞：Falkner-Skan方程；試射法；數(shù)值解

流體力學(xué)中常常會(huì)遇到微分方程組的求解問(wèn)題，雖然部分特殊的方程組可通過(guò)解析法求解，但大部分微分方程組主要借助于數(shù)值法求解。常見(jiàn)的數(shù)值解法主要有龍格-庫(kù)塔法、蒙特卡洛法、吉爾法等[1]。

試射法可用于偏微分方程組的求解，其原理是將邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為初值問(wèn)題求解：通過(guò)對(duì)方程初略的分析，先取定一個(gè)初值；再聯(lián)合原方程組中的邊界條件作為初值條件，逐步推進(jìn)求解；求解至另一個(gè)已知邊界條件時(shí)，比較兩者間的差異，決定是否結(jié)束計(jì)算或修正初值重復(fù)求解[1-4]。

1Falkner-Skan方程

不可壓縮流體二維定常流動(dòng)的邊界層方程為

當(dāng)

即

ue=Cx1-2α=Cxm

采用流函數(shù)的形式，邊界層方程化為

式中：β是壓力梯度；β>0為順壓梯度；β<0為逆壓梯度。

Falkner-Skan方程是V．M．Falkner和S．W．Skan于1931年首先提出，由相似變換將二維二階偏微分方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)一維三階常微分方程，是描述不可壓縮的黏性流體繞流楔形物體的方程[5-8]。

2基于Matlab的試射法求解

2.1求解思路

基于Matlab采用試射法求解，流程如圖1所示。

圖1　求解Falkner-Skan方程數(shù)值解流程

1) 用Matlab中求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)ode45求解。將方程改寫(xiě)為ode45的標(biāo)準(zhǔn)格式。令y(1)=f, y(2)=f ′, y(3)=f ″，原方程轉(zhuǎn)化為：

邊界條件為：

但此時(shí)沒(méi)有初值f ″(0)，不符合ode45函數(shù)的計(jì)算條件，所以應(yīng)當(dāng)將其求出。

2) 先假定一個(gè)，如f ″(0)=0.5，則利用試射法，通過(guò)循環(huán)語(yǔ)句求解方程。當(dāng)求出f ′的數(shù)值與f ′(∞)=1的差值小于給定精度時(shí)(本文的給定精度為10-5)，循環(huán)停止。

4) 最后繪出圖像。

2.2Matlab求解程序

M文件(hanshu.m)

function dy=hanshu(x,y)

dy=zeros(3,1);

dy(1)=y(2);

dy(2)=y(3);

dy(3)=-(0)*(1-(y(2))^2)-y(1)*y(3);

end

主程序(main.m)

clc;

clear all;

close all;

global BT;

bt=[0,1/10,1/8,1/6,1/4,1/2,1];%β依次為0,1/10,1/8,1/6,1/4,1/2,1

jiashe=0.99;%假設(shè)f ″(0)的初值為0.99

mubiao=1;%f ′(∞)=1為目標(biāo)值

for i=1:7 %β循環(huán)7次

BT=bt(i);

g0=jiashe;

y0=[0,0,g0];

[x,y]=ode45(′hanshu′,[0:0.03:5.5],y0); %Matlab自帶解常微分方程的函數(shù)

t1=y(end,2);%取矩陣最后一行第二個(gè)元素值f ′

g1=1.1*g0; %更新f ″(0)

y0=[0,0,g1];

[x,y]=ode45(′hanshu′,[0:0.03:5.5],y0);

t2=y(end,2);

while abs(t2-mubiao)>=10^(-5)%比較f ″與f ′(∞)=1

g=g1+(g1-g0)*(mubiao-t2)/(t2-t1);%試射法修正f ″(0)

t1=t2;

y0=[0,0,g];

[x,y]=ode45(′hanshu′,[0:0.03:5.5],y0);

t2=y(end,2);

g0=g1;

g1=g;

end

3求解結(jié)果

運(yùn)行程序，求得數(shù)值解，繪出的曲線如圖2所示。由圖2(b)的f′(η)曲線可以看出：在順壓梯度下，邊界層逐漸變薄，這與以往的結(jié)論一致[3]。

圖2　Falkner-Skan方程數(shù)值解曲線

4結(jié)束語(yǔ)

本文利用Matlab編程，采用試射法計(jì)算求解了二維層流邊界層中的Falkner-Skan方程，結(jié)果表明:試射法是求解Falkner-Skan方程的一種有效方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]范蔭恒,劉曉明,劉丹竹.試射法解二階線性常微分方程模擬反應(yīng)動(dòng)力學(xué)過(guò)程[J].實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理,2007,24(11):46-48.

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[4]徐自新.微分方程近似解[M].上海：華東化工學(xué)院出版社，1990.

[5]鄭連存,溫安國(guó),張欣欣.Falkner-Skan方程的近似解析解[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2008(4):506-510.

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[8]羅敏,胡建成.邊界層理論中Falkner-Skan方程的數(shù)值解[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,49(3):514-516.

(責(zé)任編輯劉舸)

Application of Liner Shooting Method for Falkner-Skan Equation in Two-Dimension Boundary Layer

WANG Chenga, ZHOU Zhenb, SHI Shao-qinga, CHEN Zhangc

(a.Department of Civil Engineering; b.Engineering and Technological Research Center of National Disaster Relief Equipment;c.Department of National Defense Architecture Planning & Environmental Engineering, Logistical Engineering University, Chongqing 401311, China)

Abstract:The Falkner-Skan equation for incompressible viscous fluids flowing around wedge was introduced. By using the Matlab and liner shooting method, numerical solutions were done. It shows that liner shooting method is an effective way to solve the Falkner-Skan equation.

Key words:Falkner-Skan equation; liner shooting method; numerical solution

收稿日期：2015-12-26

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378495)

作者簡(jiǎn)介：王誠(chéng)(1991—)，男，碩士研究生，主要從事防災(zāi)減災(zāi)工程研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.05.010

中圖分類號(hào)：O643.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674-8425(2016)05-0053-04

引用格式：王誠(chéng)，周振，石少卿，等.試射法求解二維層流邊界層中的Falkner-Skan方程[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(5):53-56.

Citation format：WANG Cheng, ZHOU Zhen, SHI Shao-qing,et al.Application of Liner Shooting Method for Falkner-Skan Equation in Two-Dimension Boundary Layer[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(5):53-56.