舒新文　王竹平（安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽蕪湖241000）

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平方反比有心力場中粒子運(yùn)動軌道的相對論修正*

舒新文王竹平
（安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽蕪湖241000）

摘要：從相對論性粒子的拉格朗日函數(shù)出發(fā)，推導(dǎo)出相對性粒子在平方反比引力場中運(yùn)動的軌道微分方程。該方程在低速運(yùn)動情況下可過渡到經(jīng)典力學(xué)的軌道方程，具有普遍意義，對于解決有心力和軌道關(guān)系的力學(xué)問題有一定的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：相對論；有心力；軌道方程

Abstract:Starting from the Lagrange function of relativistic particles，the paper deduces the orbital differential equation while the relativistic particles move in the inverse and square gravitational field.The equation can be transformed into the orbit equation of classical mechanics under the condition of low speed movement，which has significant reference valuefor solving the mechanics problem related tothere lationship between central force and orbit.

Keywords:theory of relativity；central force；orbital equation

在有心力場中，低速運(yùn)動粒子的軌道微分方程可由畢耐公式描述。該公式在研究質(zhì)點(diǎn)有心力作用下的運(yùn)動軌道有重要地位和應(yīng)用，如行星繞太陽的運(yùn)動、微觀粒子散射實(shí)驗(yàn)等。在平方反比力場中，由畢耐公式可以導(dǎo)出粒子的運(yùn)動軌跡為圓錐曲線（橢圓、拋物線和雙曲線），其具體形式由軌道方程的偏心率（或總能量）決定［1］。在高速運(yùn)動情況下，粒子具有相對論性。目前對相對論性粒子在有心力場中運(yùn)動的研究較少［2，3］。文章從構(gòu)建相對論情況下的拉格朗日函數(shù)出發(fā)，利用拉格朗日方程建立了受平方反比有心力作用的相對論性粒子的運(yùn)動軌道方程，得到了粒子的開普勒運(yùn)動軌道的相對論修正。研究結(jié)果對解決有心力和運(yùn)動軌道的普遍關(guān)系這一力學(xué)問題有一定的參考價(jià)值。

設(shè)相對論性粒子的慣性質(zhì)量為m，現(xiàn)考慮粒子在質(zhì)量為M所產(chǎn)生的引力場中運(yùn)動，具有勢能其中k=為相對性運(yùn)動粒子到M的距離。此粒子的拉格朗日函數(shù)為［4］

其中qi為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，可?。鹮i｝=｛γ，θ｝。將（1）式代入（2）式，并利用極坐標(biāo)下的速度表達(dá)式，可得粒子關(guān)于｛qi｝=｛γ，θ｝的運(yùn)動微分方程分別為：

式（3）類似于低速情況下的運(yùn)動初積分，動量矩守恒。因此，定義常數(shù)，可得

將（5）式和（6）式代入方程（4），得到粒子運(yùn)動的軌道微分方程

（8）式即為相對論性粒子在平方反比有心力場中的軌道微分方程。式中為粒子開普勒運(yùn)動軌道的相對論改正項(xiàng)，其值與運(yùn)動速度有關(guān)。當(dāng)v<

在實(shí)際物理問題中，由于λ是隨運(yùn)動速度（也即θ）變化而變化的物理量，（8）式為非線性二階微分方程。一般來說，數(shù)學(xué)上不易直接求其通解，但可以通過數(shù)值計(jì)算的方法，進(jìn)一步研究相對論粒子具體的運(yùn)動軌跡特征，以及考察由于相對論性運(yùn)動引起的軌道實(shí)際變化。這對處理相關(guān)力學(xué)問題具有一定的參考價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

［1］周衍柏.理論力學(xué)教［M］.北京：高等教育出版社（第三版），2009：65-74.

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［3］于洛平，官文櫟.相對論性平面諧振子的軌道［J］.山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1994，9（1）：31-35.

［4］徐永興，朱珉仁.狹義相對論中自由質(zhì)點(diǎn)拉格朗日函數(shù)的一種推導(dǎo)方法［J］.大學(xué)物理，1989，11（1）：49-50.

中圖分類號：O41

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）12-0250-02

*基金項(xiàng)目：安徽省自然科學(xué)基金（編號：1608085QA06）資助。

作者簡介：舒新文（1982-），男，安徽懷寧人，安徽師范大學(xué)副教授，博士，主要從事大學(xué)物理教學(xué)和天體物理研究工作。