祁艷波

我們知道生活中處處用到數(shù)學(xué)，很多數(shù)學(xué)知識(shí)被人們運(yùn)用到實(shí)際生活當(dāng)中去.

1. “等量代換”法的應(yīng)用：

故事1 《曹沖稱象》的故事：曹沖年少聰明善于觀察，到五六歲的時(shí)候，知識(shí)和判斷能力所達(dá)到的程度，可以比得上成人.孫權(quán)曾經(jīng)送來過一頭巨象，曹操想要知道這象的重量，詢問他的下屬，都沒法想出稱象的辦法.曹沖說："把象安放到大船上，在水面所達(dá)到的地方做上記號(hào)，再讓船裝載其他東西，稱一下這些東西，那么就能知道結(jié)果了.曹操聽了很高興，馬上照這個(gè)辦法做了.

【解析】“曹沖稱象”在中國(guó)幾乎是婦孺皆知的故事.年僅六歲的曹沖，利用漂浮在水面上的物體的重力等于水對(duì)物體的浮力這一物理原理，解決了一個(gè)連許多有學(xué)問的成年人都一籌莫展的大難題，這不能不說是一個(gè)奇跡.可是，在那個(gè)年代（公元200年），雖然阿基米德原理已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了500年，但這一原理直到1627年才傳入中國(guó)，小曹沖不可能知道這個(gè)原理，更不用說浮沉條件了.實(shí)際上，聰明的曹沖所用的方法是“等量替換”法.用許多石頭代替大象，在船舷上刻畫記號(hào)，讓大象與石頭產(chǎn)生等量的效果，再一次一次稱出石頭的重量，使“大”轉(zhuǎn)化為“小”，分而治之，這一難題就得到圓滿的解決.

故事2 美國(guó)大發(fā)明家愛迪生有一位數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相當(dāng)好的助手叫阿普頓.有一次，愛迪生把一只電燈泡的玻璃殼交給阿普頓，要他計(jì)算一下燈泡的容積.阿普頓看著梨形的燈泡殼，思索了好久之后，畫出了燈泡殼的剖視圖、立體圖，畫出了一條條復(fù)雜的曲線，測(cè)量了一個(gè)個(gè)數(shù)據(jù)，列出了一道道算式.經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)的緊張計(jì)算，還未得出結(jié)果.愛迪生看后很不滿意.只見愛迪生在燈泡殼里裝滿水，再把水倒進(jìn)量杯，不到一分鐘，就把燈泡的容積“算”出來了.

【解析】這里，愛迪生用倒入量杯里的水的體積代替了燈泡殼的容積，用的也是“等量替換”法.等量替換法（“等量代換”法）是一種常用到的科學(xué)思維方法.

如：∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3（等量代換）.

2. 數(shù)學(xué)分類思想應(yīng)用：

故事3 古時(shí)候，有個(gè)秀才博學(xué)多才，對(duì)問題的分析很精辟，遠(yuǎn)近聞名.一天早上他剛起床，外面來了一個(gè)農(nóng)民說自己丟了馬，請(qǐng)求他寫一張“尋馬啟事”.秀才問：“你的馬是什么時(shí)候丟的？”農(nóng)民回答道：“不是去年就是今年.”秀才又問：“丟了幾匹馬？”農(nóng)民答：“不是一匹就是兩匹.”

在常人看來，農(nóng)民的回答含糊其辭，不得要領(lǐng).可是秀才略加思索，便按農(nóng)民的敘述寫出一張“尋馬啟事”，農(nóng)民真的很快把馬找到了.

聰明的讀者，你知道農(nóng)民的馬是什么時(shí)候丟的？丟的是什么馬嗎？

【解析】馬是在大年三十的晚上丟的，那是一匹快要下小馬駒的母馬.這則故事給我們兩點(diǎn)啟示：（1） 要讀懂題目中的隱含條件；（2） 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要有分類思想.下面分別談一下.

（1） 讀懂題目中的隱含條件：

例1 已知：如圖1，AC、BD相交于點(diǎn)O，

求證：∠A+∠B=∠C+∠D.

【分析】要證明∠A+∠B=∠C+∠D，就要通過三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等條件得出結(jié)果.

【答案】如圖1所示，

∵∠A+∠B+∠AOB=180°，

∠C+∠D+∠COD=180°（三角形內(nèi)角和定理），且∠AOB=∠COD（對(duì)頂角相等），

∴∠A+∠B=∠C+∠D.

（2） 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要有分類思想：

尋馬的故事告訴我們事物是發(fā)展的，會(huì)從量變到質(zhì)變（數(shù)量多少的變化會(huì)引起性質(zhì)不同的變化）.如尋馬中的“去年”“今年”“一匹馬”“兩匹馬”等分開討論，都體現(xiàn)了分類思想，下面舉例討論一下：

例2 已知：等腰△ABC中，一條邊的長(zhǎng)是6，另一條邊的長(zhǎng)是9.求第三條邊的長(zhǎng).

【分析】本題要分情況說明，體現(xiàn)了分類思想，同時(shí)還要結(jié)合三角形構(gòu)成的條件說明.

【答案】（1） 當(dāng)一腰長(zhǎng)是6時(shí)，另一腰長(zhǎng)也是6. ∵符合6+6>9的條件，∴另一條邊長(zhǎng)是6.

（2） 當(dāng)一腰長(zhǎng)是9時(shí)，另一腰長(zhǎng)也是9.

∵符合6+9>9的條件，∴另一條邊長(zhǎng)是9.

3. 反證法的應(yīng)用：

故事4 有關(guān)八仙的故事家喻戶曉.八仙之一的鐵拐李喜好游山玩水，一日，拐仙游性大發(fā)，便身背那只形影不離的寶葫蘆騰云駕霧，尋找游玩的好去處.忽見一都市繁華非常，就按下云頭，走進(jìn)市內(nèi)東張西望，只見迎面一家大店鋪，招牌上寫著“抬杠鋪”三個(gè)大字.拐仙看了心中十分納悶，他想：“我鐵拐李等諸仙漂洋過海，天上人間什么稀奇古怪的事兒沒見過？唯獨(dú)這等專門抬杠的店鋪倒真的還沒見過.也好，我今天倒要進(jìn)去見識(shí)見識(shí).”他來到店鋪門前，才發(fā)現(xiàn)大門框上還貼著一副對(duì)聯(lián)，上聯(lián)是：天下事事事可抬杠；下聯(lián)是：進(jìn)鋪人人人輸吾乎.橫批是：只贏不輸.鐵拐李看罷，早把“仙不與民爭(zhēng)”的古訓(xùn)忘在腦后，氣得大叫一聲：“掌柜的，吾乃是八仙之一的鐵拐李，今天專程來與你玩玩抬杠，賭個(gè)輸贏！”

掌柜的不慌不忙地站起來，拱了拱手說：“久仰，久仰.不知客官要抬什么事？”拐仙順手取下寶葫蘆放在柜臺(tái)上：“就抬此物.”掌柜笑道：“也好，不過丑話說在前頭，若我輸了，情愿把此店鋪輸于你，但不知您客官打算抵押何物？”鐵拐李忙答：“若我輸了，情愿將寶葫蘆輸于你.”掌柜將葫蘆輕輕一轉(zhuǎn)：“這個(gè)破葫蘆有何用處？”拐仙大笑：“說你是個(gè)肉胎凡夫不識(shí)寶，我這寶葫蘆乃是天上有、地上無之物，能消災(zāi)滅禍，包治百??！”掌柜一聽，冷笑一聲，拿起寶葫蘆便往屋里走，鐵拐李馬上一拐一拐地追進(jìn)去嚷道：“你為何不抬杠，卻搶走了我的葫蘆？”掌柜轉(zhuǎn)身笑道：“我贏了，當(dāng)然此物歸我所有.”拐仙氣呼呼地質(zhì)問：“還未抬杠，怎知輸贏？”

果然，掌柜只點(diǎn)破謎底一句話，鐵拐李馬上滿面羞愧，張著大嘴無言以對(duì)，只好離去.

親愛的同學(xué)，你知道這“點(diǎn)破謎底的一句話”是什么嗎？

【答案】掌柜問鐵拐李：“寶葫蘆包治百病，為何連你的腿瘸都治不好呢？”

在民間，神仙鐵拐李無人不知，無人不曉，他隨身不離的那只寶葫蘆，更是法力無邊的鎮(zhèn)身之寶.現(xiàn)在拐仙用葫蘆押作賭注，倒不是輸紅了眼，孤注一擲之招，而是以一種穩(wěn)操勝券的心態(tài)來與對(duì)手較量的.看起來，力量對(duì)比如此懸殊，只會(huì)“耍嘴皮子”的掌柜必輸無疑了.可是，這位掌柜身手不凡，一句“寶葫蘆包治百病，可惜治不了你的瘸腿病”就把對(duì)手打了個(gè)人仰馬翻，灰溜溜地?cái)∠玛嚾?掌柜的成功在于他一不畏強(qiáng)手（神仙），二善于聽其言，觀其行，抓住對(duì)方語(yǔ)言的自相矛盾之處，先退后進(jìn)，擊一猛掌，取得勝利.掌柜的取勝絕招叫作反證法，這也是數(shù)學(xué)解題的重要方法.

由于同學(xué)們對(duì)反證法解題比較生疏，現(xiàn)仍以鐵拐李抬杠故事為“樓梯”，介紹反證法的解題步驟.為簡(jiǎn)略起見，將反證法解題要點(diǎn)步驟歸納如下表：

下面通過具體的例子來展開說明：

例3 已知：l1∥l3，l2∥l3.求證：l1∥l2.

【分析】正難則反，先假設(shè)l1與l2不平行，則l1與l2相交于點(diǎn)P.

【答案】∵l1∥l3，l2∥l3，根據(jù)平行公理：過直線外一點(diǎn)（如本題中的點(diǎn)P），有且只有一條直線與已知直線平行，可是這里過點(diǎn)P有兩條直線l1、l2與已知直線l3平行，說明l1與l2不平行是錯(cuò)誤的.∴原假設(shè)錯(cuò)誤，即l1∥l2.

總結(jié)：學(xué)法同兵法，當(dāng)你無法直接證明時(shí)，你可以采用一下反證法，這樣可以通過邏輯推理，從中找出與已知條件、公理、定義、定理……自相矛盾處，反戈一擊，打他個(gè)措手不及，這就是反證法，其核心是正難則反，邏輯制勝，所以反證法也是解題的重要方法之一.

（作者單位：江蘇省連云港市海頭中心小學(xué)）