劉思思

(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004)

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分枝過程中的幾個(gè)極限定理

劉思思

(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004)

摘要：研究了上臨界分枝過程在產(chǎn)生后代機(jī)制指數(shù)距小于無窮的條件下，一個(gè)中偏差率的上界.另外還得到了在隨機(jī)權(quán)重滿足一定條件下，Mandelbrot鞅的大偏差以及隨機(jī)環(huán)境中分枝過程的一個(gè)大偏差結(jié)果.

關(guān)鍵詞：分枝過程；Mandelbrot鞅；大偏差；隨機(jī)環(huán)境中分枝過程

賦予Galton-watson樹上每個(gè)點(diǎn)v一個(gè)Av非負(fù)權(quán)重,權(quán)重之間為i.i.d.且與分枝過程相獨(dú)立.定義ui為u的第i代祖先，若E(∑|u|=1Au)=1，則Yn=∑|u|=nAu1Au1u2…Au1u2…un為一非負(fù)鞅且a.s.收斂到隨機(jī)變量Z.隨機(jī)變量Z的性質(zhì)可見文獻(xiàn)[1]，其中分枝過程情形見文獻(xiàn)[2-8]，大偏差的性質(zhì)見文獻(xiàn)[9-15].

1主要引理及證明

引理1[16]若存在θ>0使得EeθZ1<，則存在c>0，λ>0使得：

定理1若存在θ>0使得EeθZ1<，則對(duì)00，λ>0，使得：

證明由文獻(xiàn)[17]定理5，若存在θ>0使得EeθZ1<，則存在c1>0,θ1>0，使得：

繼而存在c>0,θ>0使得：P(mtn(W-Wn)>x)≤cexp{-θ3/2xmn[(1/2)-t]}2/3=cexp{-λx2/3(m(2-2t/3))n}.

而由于對(duì)n>2,{nZn

定理2令P(A1=1)=r>0,假設(shè)：

(i)權(quán)重與相關(guān)分枝過程相獨(dú)立，Ai≤1,1≤i≤N,a.s.;

(ii)存在t>0滿足Eet∑|u|=1Au<；

再由引理2和文獻(xiàn)[1]定理2.3，若存在t>0使得Eet∑|u|=1Au<，則存在常數(shù)使得:EeθY<θ，I2n以超幾何速率退化.而：

2主要結(jié)果及證明

因此ε>0，?N使得n≥N時(shí)：-ε+Elogp1≤logP(Zn=j)/n≤ε+Elogp1

(1)

(2)

聯(lián)立式(1)和式(2)可得出結(jié)論.

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責(zé)任編輯：時(shí)凌

Some Limit Theorems in Branching Processes

LIU Sisi

(School of Mathematics and Computer Science，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410114，China)

Abstract：This paper studies an upper bound of moderate deviation for branching process under some conditions.Otherwise,we aslo get some results of large deviation for Mandelbrot martingale and branching process in random environment.

Key words：branching processes;Mandelbrot martingale;large deviation;branching process in random environment

收稿日期：2016-01-20.

基金項(xiàng)目：長(zhǎng)沙市科技計(jì)劃項(xiàng)目(K1403043-31).

作者簡(jiǎn)介：劉思思(1991- )，女，碩士生，主要從事分枝過程的研究.

文章編號(hào)：1008-8423(2016)01-0042-03

DOI:10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.03.011

中圖分類號(hào)：O155

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A