廖建玲,夏章生

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

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A型擴(kuò)張仿射李代數(shù)的極大子代數(shù)

廖建玲,夏章生*

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

摘要：設(shè)S是歐式空間n上的最小半格,由Jordan代數(shù)J(S)通過(guò)TKK構(gòu)造可得到一個(gè)稱之為TKK代數(shù)的李代數(shù)T(J(S)).進(jìn)一步,可由TKK李代數(shù)T(J(S))得到一個(gè)A1型、零度為v,且?guī)в袛U(kuò)張仿射根系R(A1,S)的擴(kuò)張仿射李代數(shù).研究了擴(kuò)張仿射李代數(shù)的極大子代數(shù),并得到了它的四類極大子代數(shù).

關(guān)鍵詞：擴(kuò)張仿射李代數(shù);TKK代數(shù);半格;極大子代數(shù)

擴(kuò)張仿射李代數(shù),也稱之為不可約擬單李代數(shù),最初是由文獻(xiàn)[1-2]的作者提出的,它是有限維單李代數(shù),仿射Kac-Moody代數(shù)和Toroidal李代數(shù)的推廣.文獻(xiàn)[2]給出了帶有任意的零度和一般擴(kuò)張仿射根系結(jié)構(gòu)的擴(kuò)張仿射李代數(shù)L的一般結(jié)構(gòu),該擴(kuò)張仿射李代數(shù)可從某個(gè)李代數(shù)G出發(fā)而得到.對(duì)于一個(gè)A1型、零度為v,且?guī)в袛U(kuò)張仿射根系R(A1,S)的擴(kuò)張仿射李代數(shù),李代數(shù)G可以選擇為一個(gè)Jordan代數(shù)J(S)通過(guò)TKK構(gòu)造得到的稱之為TKK代數(shù)的李代數(shù)T(J(S)),其中S是歐式空間n上的一個(gè)半格.在文獻(xiàn)[3]中,TKK李代數(shù)通過(guò)另外一種新的方法得到:T(J(S))=sl2(?J⊕[LJ,LJ].在本文中將沿用這種新的結(jié)構(gòu).眾所周知,從半格相似的意義來(lái)看,在2上,僅有兩個(gè)非相似的半格,即一個(gè)非格的半格和格2.在文獻(xiàn)[3-4]中,作者分別研究了與兩個(gè)半格相關(guān)的TKK李代數(shù)和它們的頂點(diǎn)算子表示.在文獻(xiàn)[5]中,作者研究了TKK李代數(shù)T(J(2)),并給出了它的2-階化自同構(gòu)群.類似地,在文獻(xiàn)[6]中,本文作者研究了n上的最小半格(S0+ei)對(duì)應(yīng)的TKK李代數(shù)T(J(S)),并得到它的n-階化自同構(gòu)群及其結(jié)構(gòu)分解，其中S0=2n,e0=0,ei是n中第i個(gè)分量為1,其余分量全為0的單位向量.本文研究了由這個(gè)TKK李代數(shù)T(J(S))得到的擴(kuò)張仿射李代數(shù),并給出了它的四類極大子代數(shù).為方便計(jì),首先給出相關(guān)符號(hào)說(shuō)明:將用和分別表示整數(shù)集和復(fù)數(shù)集,用x+=e12,x-=e21和h=e11-e22分別表示單李代數(shù)sl2()的Chevalley基.

1A1型的擴(kuò)張仿射李代數(shù)

首先回顧一下文獻(xiàn)[2]中有關(guān)擴(kuò)張仿射李代數(shù)的一些基本概念.

1)S是離散的,

3)0∈S,-S=S,且S+2S?S.

進(jìn)一步,若用S+S?S代替S+2S?S,上述其他條件也成立時(shí),則稱S是n上的一個(gè)格.設(shè)S和S′是n上兩個(gè)半格,如果存在n的一個(gè)線性自同構(gòu)φ,使得φ(S)=S′,則稱S和S′是同構(gòu)的,記為S?S′；如果存在σ′∈S′,使得S?S′+σ′,則稱S和S′是相似的.

根據(jù)半格的相關(guān)性質(zhì),在文獻(xiàn)[2]中作出了如下假定:在相似的意義下,一般將n上的每一個(gè)半格S認(rèn)定成n關(guān)于子群2n的若干陪集的并,而且包含著平凡陪集2n,以及由S生成的子群〈S〉=n.

則J是一個(gè)含有單位元1=x0的Jordan代數(shù).

因此,TKK代數(shù)T是n-階化的:,其中:

(1)

其中σ∈S,則在[LJ,LJ]上存在一個(gè)不變的對(duì)稱雙線性型(·,·)[2],使得:(D,[La,Lb])=η((Da)·b),

其中D∈[LJ,LJ],a,b∈J.特別地,對(duì)于任意的σ,τ∈I,(D(σ),D(τ))=4δσ+τ,0.

可以將此雙線性型擴(kuò)充成T上一個(gè)不變的對(duì)稱雙線性型(·,·):

(X?a+D1,Y?b+D2)=(X,Y)η(a·b)+(D1,D2)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

定理2M是H-階化的.

定理2的另一說(shuō)法是,M的每一個(gè)元素的階化分量也是屬于M的,比如:若2x+(σ1)+3x+(σ2)-3x-(σ3)+5h(σ4)-7D(τ5)∈M,則x+(σ1),x+(σ2),x-(σ3),h(σ4),D(τ5)∈M.

為此,定義下述記號(hào):

定理3中的兩個(gè)極大子代數(shù),分別滿足S+=?和S-=?.由此,下文中將假定:S+≠?且S-≠?.

證明因?yàn)镾+≠?且S-≠?,取σ∈S+,σ′∈S-.則有下面5種情況:

類似地,S-是2n在n中的某個(gè)陪集的并集.根據(jù)引理2:對(duì)于每個(gè)i=0,1,…,n,S+∩Si≠?當(dāng)且僅當(dāng)S-∩Si≠?,可得S+=S-.證畢.

定理4設(shè)J1,J2是{1,2,…,n}的兩個(gè)互補(bǔ)的子集,且J2≠?,則:

若J1≠?,有下述三種情況:

2)若存在某個(gè)h(σ0)∈K,其中σ0∈Sk,k∈J2,則由x+(0)∈M3?K,可得:

再由情況(1)可推知對(duì)任意k∈J2,x+(ek)∈K；

定理5設(shè)J1,J2是{1,2,…,n}的兩個(gè)互補(bǔ)的子集,且J1≠?,則:

若J2≠?,分下述三種情況來(lái)分析:

2)若存在某個(gè)h(σ0)∈K,其中σ0∈Sk,k∈J1,則因x+(-σ0)∈M4?K,有:

另一方面,若J2=?,則:

并且K必包含某個(gè)x+(σ1)或x-(σ1)或h(σ2),其中σ1∈S0,σ2∈Sk,k∈J1={1,2,…,n}.同樣由情況(1)和情況(2)可得,對(duì)任意k∈J2,x+(ek)∈K.

參考文獻(xiàn):

[1]RHoegh-Krohn,BTorresani.Classificationandconstructionofquasi-simpleLiealgebras[J].JournalofFunctionalAnalysis,1990,89:106-136.

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[5]CYe,STan.GradedautomorphismgroupofTKKalgebra[J].ScienceinChina,SeriesA,2008,51:161-168.

[6]ZXia.GradedautomorphismgroupofTKKLiealgebraoversemilattice[J].ActaMathematicaSinica,EnglishSeries,2011,27:537-544.

[7]VGKac.InfinitedimensionalLiealgebras[M].CambridgeUniversityPress,1988.

責(zé)任編輯：時(shí)凌

Maximal Subalgebras of Extended Affine Lie Algebra of Type A

LIAO Jianling,XIA Zhangsheng*

(School of Science,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

Abstract：Let be the extended affine Lie algebra of type A1 and of nullity v with extended affine root system R(A1,S),which is constructed from a TKK Lie algebra T(J(S))obtained from the Jordan algebra J(S) by the so-called Tits-Kantor-Koecher construction,where S is the ″smallest″ semilattice in Euclidean spacen.In this paper,we study maximal subalgebras of extended affine Lie algebra and obtain four kinds of maximal subalgebras.

Key words：extended affine Lie algebra;TKK Lie algebra;semilattice;maximal subalgebra

收稿日期：2016-02-13.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11126078,11571145)；湖北省教育廳科研項(xiàng)目(Q20122906).

作者簡(jiǎn)介：廖建玲(1979- ),女,碩士生,主要從事李代數(shù)的研究；*通信作者:夏章生(1978- ),男,博士,副教授,主要從事李代數(shù)的研究.

文章編號(hào)：1008-8423(2016)01-0024-05

DOI:10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.03.006

中圖分類號(hào)：O152.5

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A