關(guān)于亞循環(huán)2-群的對(duì)合交換圖

2016-06-12 07:52:35譚延慶沈如林

湖北民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) 2016年1期

譚延慶,沈如林

(湖北民族學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖北恩施 445000)

譚延慶,沈如林

(湖北民族學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖北恩施 445000)

摘要：對(duì)合交換圖是以群中二階元共軛類為頂點(diǎn)，兩頂點(diǎn)有邊當(dāng)且僅當(dāng)它們交換的圖.分類了亞循環(huán)2-群的對(duì)合交換圖結(jié)構(gòu)

關(guān)鍵詞：對(duì)合交換圖;k-正則圖;亞循環(huán)2-群

設(shè)G是群，且X是G的子集，X上的交換圖ΓG(X)是指以X中元為頂點(diǎn)，互異點(diǎn)x,y∈X有一條邊當(dāng)且僅當(dāng)xy=yx.交換圖被很多學(xué)者所研究，最早出現(xiàn)在Brauer和Fowler的文獻(xiàn)[1]中，他們應(yīng)用交換圖證明了在同構(gòu)意義下對(duì)于一個(gè)給定的2階中心化子的同構(gòu)型，只有有限個(gè)非交換單群包含該同構(gòu)型.當(dāng)X取成G{1}時(shí)，交換圖ΓG(X)對(duì)Margulis-Platanov猜想的證明起到重要的作用[2].如果取X為G的一個(gè)二階共軛類，稱交換圖ΓG(X)為對(duì)合交換圖.Fischer最早對(duì)對(duì)合交換圖進(jìn)行了研究[3-4]，考慮了3-輪換群生成的群，研究了一類任意兩個(gè)頂點(diǎn)之積的階至多為3的對(duì)合交換圖的群的結(jié)構(gòu).Bates，Bundy，Hart 和Rowley關(guān)于對(duì)合交換圖的文章使對(duì)合交換圖越來越備受關(guān)注.文獻(xiàn)[5-8]中分別全面研究了G為散在單群，G為有限Coxeter群，G為對(duì)稱群和G為特殊線性群時(shí)對(duì)合交換圖ΓG(X)的結(jié)構(gòu).本文分類了亞循環(huán)2-群的對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu).所謂亞循環(huán)2-群即循環(huán)2-群對(duì)循環(huán)2-群的擴(kuò)張.稱圖ΓG(X)為正則圖，如果ΓG(X)中每個(gè)頂點(diǎn)所連的邊數(shù)都相同.如果正則圖中每個(gè)頂點(diǎn)相連的邊數(shù)為k，則稱為k-正則圖.特別，0-正則圖稱孤立點(diǎn)圖.以下的群都為有限群.

定理1亞循環(huán)2-群的對(duì)合交換圖為一個(gè)點(diǎn)的孤立圖或1-正則圖.

1一些引理

如下給出一些引理：

引理1 設(shè)G為偶階群，則G的對(duì)合交換圖是一個(gè)正則圖.

證明設(shè)X為G的一個(gè)二階共軛類，并設(shè)ΓG(X)為對(duì)合交換圖.假設(shè)a∈X,g∈G.如下考慮頂點(diǎn)a和ag的邊數(shù).設(shè)與a相連的頂點(diǎn)為ag1,ag2,…,agr. 若a與agi相連，即aagi=agia?[a,agi]=1?[a,agi]g=[ag,agig]=1?agagig=agigag，則a與agi相連推出ag與agig相連.現(xiàn)在從與a相連的邊構(gòu)造一個(gè)到與ag相連的邊的一個(gè)映射σ：(a,agi)→(ag,agig)，則由如上知道σ為一個(gè)單映射.下證σ是一個(gè)滿映射.如果還有ah與ag相連，即[ag,ah]=1?[ag,ahg-1g]=[a,ahg-1]g=1有[a,ahg-1]=1這樣存在某個(gè)gi使得hg-1=gi，故h=gig，這樣σ是滿射，即而為雙射，從而ΓG(X)為正則圖.

引理2 若2-群中的對(duì)合交換圖為孤立點(diǎn)圖，則它只能為一個(gè)孤立點(diǎn)的圖.

證明設(shè)X為2群G的一個(gè)2階共軛類，ΓG(X)為孤立點(diǎn)圖，并設(shè)a為ΓG(X)的頂點(diǎn).現(xiàn)在讓〈a〉共軛作用在X上，由于ΓG(X)為孤立點(diǎn)圖，則X的個(gè)數(shù)必然為奇數(shù).另一方面，由于X為G的一個(gè)共軛類，則X的個(gè)數(shù)必然為2的冪，這樣X的個(gè)數(shù)必然為1，即ΓG(X)只有一個(gè)孤立點(diǎn).

引理3設(shè)r≠±1且r2m≡1(mod 2n)，其中m≥1,n≥3，則當(dāng)m=1時(shí)，(r-1)≡0(mod 2)或(r-1)≡0(mod 2n-1);m>1時(shí)，r2m-1-1≡0(mod 2n-1).

證明m=1時(shí)，r2m-1≡0(mod 2n)?(r-1)(r+1)≡0(mod 2n)?(r-1)/2·(r+1)/2≡0(mod 2n)，(r-1)/2和(r+1)/2為連續(xù)數(shù)一奇一偶，若(r+1)/2為奇數(shù)，則(r-1)≡0(mod 2n-1)；若(r+1)/2為偶數(shù)，則(r-1)≡0(mod 2).m>1時(shí),r2m-1≡0(mod 2n)?(r2m-1-1)(r2m-1+1)≡0(mod 2n),(r2m-1+1)/2恒為奇數(shù)，故r2m-1-1≡0(mod 2n-1).

2定理1的證明

由文獻(xiàn)[9]可知亞循環(huán)2-群的定義關(guān)系式為：,其中r2m≡1(mod2n),t(r-1)≡0(mod2n),m≥1,n≥1,t≥0,r≠0.在后面的證明過程中，情形7考慮的是亞循環(huán)2-群在n=1時(shí)其對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu)；情形1,2,4,5考慮的是當(dāng)t任意，r=±1，n≥2時(shí)對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu)；情形3,6考慮的是t任意，r≠±1，在這種情況下，由于r2m≡1(mod22)這樣的r值不存在，所以這種情況下只考慮n≥3.

情形1t=0,r=-1.此時(shí)有a2n=1,b2m=1,ab=a-1.由b-1ab=a-1得：ab=ba-1,ba=a-1b.因?yàn)閛(b2m-1)=2,a2n-1為2階中心元，此時(shí)亞循環(huán)2-群存在二階元共軛類.

(b2m-1)={b2m-1,(b2m-1)a，(b2m-1)a2，…,(b2m-1)a2m-1.下面分兩種情況來討論：

1)m=1.此時(shí)亞循環(huán)2-群為二面體群.b2=1,b ={b,ba,ba2,…,ba2n-1-1}.由ba=a-3a-1b=a-4b;ba3=a-1a-4ba=a-5a-1b=a-6b;…;bai=a-2ib,0≤i≤2n-1-1.

假設(shè)bai=baj(0≤i,j≤2n-1-1),即a-2i=a-2j?a2(i-j)=1.則2(i-j)≡0(mod2n),也即(i-j)≡0(mod2n-1).由i,j的取值范圍可知，不存在這樣的i,j使得上式成立，故可知：b ={b,ba,ba2,…,ba2n-1-1}中2n-1個(gè)元互異，類長(zhǎng)為2n-1.

再設(shè)bbai=baib,由bai=a-2ib,ba=a-1b可得，ba-2i=a-2ib,也即：a4i=1(0≤i≤2n-1-1),故4i≡0(mod2n)?i≡0(mod2n-2).i可取2n-2，結(jié)合引理1得到：共軛類b 中元每?jī)蓚€(gè)相連.

再來看亞循環(huán)2-群所有二階元有哪些.m=1，群中所有元的形式只有ai,aib(0≤i≤2n-1)兩種.a2n-1為中心二階元，只需找aib形式的二階元.而aibaib=aia-ib2=1，也即所有aib(0≤i≤2n-1)形式的元都為二階元，共2n個(gè).接下來再看一下這2n個(gè)二階元所屬共軛類情況.aib(0≤i≤2n-1)的共軛形式只有(aib)akb,(aib)ak兩種.

若(aib)=a-1b,ab=ba-1化簡(jiǎn)可得到a2k-i-j=1,故有2k≡i+j(mod2n).根據(jù)i,j,k的范圍，顯然，當(dāng)i,j的奇偶性不同時(shí)，它們就不可能共軛.i,j奇偶性相同時(shí)，總可以找到k=(i+j)/2使得：(aib)akb=ajb.

若(aib)ak=ajb(0≤i,j,k≤2n-1),即a-kaibak=ajb,化簡(jiǎn)得a2k+j-i=1,即2k≡i-j(mod2n).只需考慮i>j的情況，同樣是當(dāng)i,j奇偶性相同時(shí)，總可以找到相應(yīng)的k=(i-j)/2,使得(aib)ak=ajb.綜上所述，二面體群所有二階元被分成兩個(gè)共軛類，即奇數(shù)形式和偶數(shù)形式的共軛類，長(zhǎng)度都為2n-1.且當(dāng)i,j奇偶性相同時(shí)，由aibajb=ajbaib?a2(i-j)=1?i≡j(mod2n-1).再結(jié)合引理1得到兩個(gè)共軛類中元素都是每?jī)蓚€(gè)都相連.且有bai=ai(2n-1-2)b,此即共軛類b ={aib}(0≤i≤2n-1),i為偶數(shù).

這樣得出，當(dāng)t=0,r=-1,m=1時(shí)，亞循環(huán)2-群二階元分為兩個(gè)共軛類，且每個(gè)共軛類長(zhǎng)度都為2n-1,其中的元都是每?jī)蓚€(gè)相連，為1-正則圖.

2)m≥2.此時(shí)b2m=1,(b2m-1)={(b2m-1),(b2m-1)a,(b2m-1)a2,…，(b2m-1)a2n-1-1}.

由ba=a-1b,ab=ba-1得：(b2m-1)ai=a-ib2m-1ai=a-ib2m-1-1a-ib=a-ib2m-1-2aib2=…=a-iaib2m-1=b2m-1.因此共軛類(b2m-1)={b2m-1}就一個(gè)二階元.

考慮所有的二階元，aibjaibj=aibj-1baibj=aibj-2ba-ibj+1=aibj-2aibj+2,若j為奇數(shù)，則aibjaibj=b2j不可能等于1；若j為偶數(shù)，aibjaibj=a2ib2j=1?i≡0(mod2n-1),j≡0(mod2m-1)(0≤i≤2n-1,0≤j≤2m-1).i,j可各自取2n-1,2m-1即總共3個(gè)二階元.故當(dāng)t=0,r=-1,m≥2時(shí)，亞循環(huán)2-群二階元分為3個(gè)共軛類，且每個(gè)共軛類長(zhǎng)度都為1，都為孤立點(diǎn)圖.