朱發(fā)林，趙維銳

(武漢理工大學(xué) 數(shù)學(xué)系，湖北 武漢 430070)

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具有時滯的害蟲防治模型的分支分析

朱發(fā)林，趙維銳*

(武漢理工大學(xué) 數(shù)學(xué)系，湖北 武漢 430070)

摘要：證明了隨著時滯的增大系統(tǒng)在正平衡點處存在Hopf分支，并用龐加萊規(guī)范型方法和中心流行定理詳細的討論了Hopf分支的方向及其產(chǎn)生的周期解得穩(wěn)定性.不僅從理論上分析了系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)，而且還作了相應(yīng)的數(shù)值模擬來檢驗結(jié)果.

關(guān)鍵詞：生物防治；穩(wěn)定；Hopf分支；時滯微分方程

在病蟲害防治的早期，化學(xué)藥劑的確有效的控制了病蟲害的發(fā)生，但是農(nóng)業(yè)長期的使用，給農(nóng)作物帶來的蟲害損失卻逐年增加.據(jù)美國農(nóng)業(yè)部的調(diào)查報告，1940年到1978年30多年來，用藥量、用藥濃度增加了10倍，作物損失從7%反而上升到了17%，蟲害沒有下降反而上升.這是因為長期使用殺蟲劑，已知的1 000多種昆蟲產(chǎn)生了原體抗藥性，當(dāng)農(nóng)藥針對性的殺死害蟲時，一些害蟲的天敵也受到的傷害，使害蟲的種群自然控制失控，那些對農(nóng)藥具有抗藥性的害蟲因主要害蟲種群的減少而大量繁殖，這使次要害蟲由于缺少競爭而一躍成為主要害蟲.長期以來大量使用化學(xué)藥物的副作用也日漸突出，環(huán)境污染、農(nóng)藥殘留、害蟲抗藥性以及害蟲的再度猖獗等問題都對化學(xué)藥劑發(fā)出了挑戰(zhàn).害蟲治理的目的不是根除害蟲，而是維持害蟲水平不超過經(jīng)濟臨界水平進而獲得最佳的經(jīng)濟效益.

隨著科學(xué)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)具有時滯的微分方程能較確切的反映各種自然現(xiàn)象，因此在工程及種群生物學(xué)等領(lǐng)域中越來越多的呈現(xiàn)出使用時滯微分方程來刻畫系統(tǒng)的演變.人們用其解釋相應(yīng)系統(tǒng)中平衡點的穩(wěn)定性，周期解的存在性和穩(wěn)定性以及分支等動力學(xué)行為.許多的生物數(shù)學(xué)模型被人們分析和研究[1-19].本文研究了三個種群(茶樹、害蟲和捕食者)之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.A.Maiti et al[1].為了描述生物防治在茶葉生產(chǎn)中的作用提出了如下數(shù)學(xué)模型：

(1)

本文結(jié)構(gòu)如下：第1部分，運用龐加萊規(guī)范型方法和中心流行定理[2]，分析了當(dāng)τ=τ*時Hopf分支的方向及其產(chǎn)生的周期解的穩(wěn)定性.第2部分，取相應(yīng)的參數(shù)值對系統(tǒng)(1)做數(shù)值模擬.第3部分分析模擬結(jié)果并作進一步展望.

1Hopf分支方向及其產(chǎn)生周期解的穩(wěn)定性

A.Maitietal[1]證明了當(dāng)τ=τ*時系統(tǒng)在點E*=(X*,Y*,Z*)處存在Hopf分支.在這一部分，運用龐加萊規(guī)范型方法和中心流行定理[2].討論Hopf分支的方向及其產(chǎn)生的周期解的穩(wěn)定性.

首先，令 u1=X-X*,u2=Y-Y*,u3=Z-Z*,τ=τ*+μ，在平衡點處線性化，系統(tǒng)(1)可化為如下的泛函微分方程：

(2)

其中：u(t)=(u1(t),u2(t),u3(t))T∈C=C([-1,0],R3) 并且Lμ:C→R3,F:C×R→R3.

f31=qφ3(0)φ2(-1).

根據(jù)Reisz表示定理，對θ∈[-1,0]，存在一個有界變差函數(shù)η(θ,μ)，使得：

(3)

對φ∈C([-1,0],R3)，定義：

(4)

下面利用形式伴隨理論以及中心流形和規(guī)范型理論進行討論，

對ψ∈C([-1,0],(R3)*)，定義：

(5)

這里，對于ψ∈C([0,1],(R3)*)和φ∈C([-1,0],R3)，適合復(fù)向量的雙線性形式為:

(6)

它滿足<ψ,Aφ>=，其中η(θ)=η(θ,0)，則算子A=A(0)與A*是共軛算子，而±iω0τ*是算子A(0)的特征值，且其它特征值具有嚴(yán)格的負實部，從而±iω0τ*也是算子A*的特征值.下面將分別計算A,A*對應(yīng)于特征值iω0τ*和-iω0τ*的特征向量，可得到：q(θ)=(1,β,γ)Teiω0τ*θ，q*(s)=D(1,β*,γ*)Teiω0τ*s.

定義1z(t)=,W(t,θ)=ut(θ)-2Re{z(t)q(θ)}，

(7)

(8)

由f(μ,ut)的定義和式(3)有：

為了確定g21，要計算W20(θ),W11(θ),

單層干燥（6 h）、雙層干燥（6 h）、三層干燥（8 h） 的最終樣品水分含量分別9.33%，7.77%和8.68%，雙層物料最終濕基含水量最低且各層物料最終濕基含水量無顯著差異（p＞0.05），物料均勻性最好。

(9)

至此，g20,g11,g02,g21全部求得，可以公式化地求得判定Hopf分支性質(zhì)的關(guān)鍵參數(shù)μ2,β2和τ2.

這里μ2決定分支的方向：如果μ2>0(μ2<0)，則系統(tǒng)存在上臨界分支(下臨界分支).β2決定分支周期解的穩(wěn)定性：如果β2<0(β2>0)，則分支周期解穩(wěn)定(不穩(wěn)定).τ2決定分支的周期：如果τ2>0(τ2<0)，則周期增大(減小).那么有以下結(jié)論.

定理1在前面條件下，c1(0)如上，那么有：

1)τ=τ*時系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支;

2)當(dāng)Rec1(0)<0時，分支方向向前， 當(dāng)Rec1(0)>0時，分支方向向后;

3)當(dāng)Rec1(0)<0時，分支周期解穩(wěn)定，當(dāng)Rec1(0)>0時，分支周期解不穩(wěn)定.

2數(shù)值模擬

在這部分用數(shù)值模擬來驗證前面的分析.取r=1,K=2,a=1,b=1,d=1,m=3,p=1,μ=1,q=1.5且(X(0),Y(0),Z(0))=(3,2,1). 代入算出E*(X*,Y*,Z*)=(1.457,0.667,0.779),τ*=0.115. 所以取τ=0.10<τ*，系統(tǒng)是局部漸近穩(wěn)定的(見圖1～2).當(dāng)τ(保持其他參數(shù)值不變)不斷增大到τ=τ*=0.115時穩(wěn)定性失去.取τ=0.12>τ*，系統(tǒng)不穩(wěn)定，在E*附近產(chǎn)生分支周期解(見圖3～4).

圖1　當(dāng)τ=0<τ*時，系統(tǒng)在E*處局部漸近穩(wěn)定的相位圖Fig．1 Phase portrait of the system showing that E*is locally asymptotically stable

圖2　當(dāng)τ=0.10<τ*時，三種群隨著時間的變化趨勢Fig．2 Behaviour of the three populations with respect to time

圖3　當(dāng)τ=0.12>τ*時，系統(tǒng)產(chǎn)生周期解的相位圖Fig．3 Phase portrait of the system showing a limit cycle which grows out of E*

圖4　當(dāng)τ=0.12>τ*時，三種群隨時間的變化趨勢Fig．4 Oscillation of the three populations respectively in time

3結(jié)語

在第2部分用Matlab進行了數(shù)值模擬，驗證了隨著τ的不斷增大，系統(tǒng)從穩(wěn)定變成不穩(wěn)定，產(chǎn)生了分支，分支周期解是穩(wěn)定的.這些理論也許在茶葉的害蟲防治中有一定的作用，對生態(tài)茶葉的種植有一定的指導(dǎo)意義.本文分析了具有一個時滯的害蟲防治模型的Hopf分支方向及分支周期解的穩(wěn)定性.事實上，應(yīng)該同時還考慮害蟲與茶樹之間的時滯，即討論雙時滯的害蟲防治模型更加符合實際意義.在不久的將來，將進一步研究這一模型的動力學(xué)性質(zhì)，力求得到更多對生態(tài)茶葉生產(chǎn)有用的結(jié)果.

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責(zé)任編輯：時凌

Hopf Bifurcation Analysis in a Delayed Mathematical Model of Biocontrol of Pests

ZHU Falin,ZHAO Weirui*

(Department of Mathematics,Wuhan University of Technology，Wuhan 430070,China)

Abstract：In this paper,we prove that the sequence of Hopf bifurcations occurs at the positive equilibrium as the delay increases.Explicit algorithm for determining the direction of the Hopf bifurcations and the stability of the bifurcating periodic solutions are derived,using the theory of normal form and center manifold.The dynamical behaviours are studied both analytically and numerically by computer simnlation.

Key words：biocontrol;stability;Hopf bifurcation;delay differential equations

收稿日期：2015-12-28.

基金項目：湖北省自然科學(xué)基金項目(2013CFB347).

作者簡介：朱發(fā)林(1987- )，男(土家族)，碩士生，主要從事微分方程及其應(yīng)用研究；*通信作者：趙維銳(1974- )，男(土家族)，博士,教授，主要從事微分方程及其應(yīng)用研究.

文章編號：1008-8423(2016)01-0005-06

DOI:10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.03.002

中圖分類號：O175

文獻標(biāo)志碼：A