曹潔

【摘 要】數學方法論是關于數學方法的理論，不僅是對數學本質的認識，也是數學知識的精髓。新課程改革中注重并且加強了數學思想方法的學習，這是培養(yǎng)學生數學素養(yǎng)，形成良好思維品質的關鍵。而數學方法論同樣為學生的數學學習提供了理論指導，有利于學生由傳統(tǒng)的機械化的模仿式解題轉向能夠創(chuàng)新的以實踐為基礎的解題習慣，以數學思維方法的分析去帶動和促進具體數學知識內容的學習與應用。

【關鍵詞】方法論；數學方法論；數學學習

偉大的哲學家、科學家、數學家笛卡爾在《方法導論》一書中總結出四條規(guī)則：

（一）不要把任何事物看成是真的，除非對它已經認識清楚了；

（二）利用逐步分析的方法去系統(tǒng)地解決一個問題；

（三）思考時，由簡到繁；

（四）要徹底復查（檢查）一切之前的各種工作，做到確實無遺漏。

將這四條規(guī)律映射在數學學習中，也就是說，首先，要小心避免一些“眾所周知”的事情，除非像公理、定理或者之前得到的可靠地結論才可以放進判斷的標準之中。其次，把所遇見的每一個難題盡可能的分解成許多個與之關聯的細小的，并且可以輕松解決或者是曾經解決過的問題，當然這個“問題”或許已經不是問題。然后，從最簡單、最容易認識的對象開始，按照順序逐步上升到復雜的難以一下子解決的問題，從已知到未知，從簡單到復雜，從具體到抽象。最后，檢驗。把所有想到的情形盡可能的全部羅列出來，確保毫無遺漏。

這四條規(guī)則與新課改中所提出的數學學習方法在一定程度上相互吻合：第一，體現出了合情推理與演繹推理的相輔相成的關系，“想象（猜想）的規(guī)律要經過驗證才能應用”。第二，體現出了整體與局部的關系和轉化化歸的思想，這要求學生在解題的過程中要注意問題的轉化化歸，由繁到簡、由難到易、由未知到已知，要注意整體代換思想的滲透，要注意一般和特殊的關系等等。第三，體現出了學習應循序漸進的原則。學習應有序而為，循序漸進，不可越節(jié)而施。第四，體現出了分類與整合思想、窮舉法等數學思想方法。

數學方法論，主要是研究和討論數學的發(fā)展規(guī)律（宏觀），數學的思想方法以及數學中的發(fā)現、發(fā)明與創(chuàng)新等法則（微觀）的一門學問。數學是一門工具性很強的科學，它具有較高的抽象性、嚴密性、符號性等特征，為了有效地學習它、應用它、改進它、發(fā)展它，就要求對這門科學的發(fā)展規(guī)律、研究方法、發(fā)現與發(fā)明等法則都有所掌握。學生在有效的數學方法論的指導下，再加上所學內容的不斷加大以及知識建構體系的不斷拓展，有益于學生數學思想的建構，將數學學懂，學活在很多人眼里，數學方法不過是深刻挖掘數學教課書中所提到的各種問題，教會老師如何去上好這門課，較高的學術水平才是保證教學質量的關鍵所在。他們不明白，教育既是一門科學，又是一門技術，只有高深學問，不懂得教育規(guī)律是教不好學生的。在課堂中不斷向學生輸送好的數學方法，遠比一味的讓學生埋頭做題效果要好的多。

讓我們來看美籍匈牙利數學教喬治·波利亞在其《數學的發(fā)現》中講到的一道題。

例1：給定三角形的三條邊a，b，c，求做一個三角形。

這道題，在現代學生看來，只能算是一到基本的作圖題，甚至可能都不會出現在考試卷中。大家都會這樣做（圖1）：

1.做一條線段等于線段a，端點分別為B，C；

2.分別以B，C為圓心，線段b，c的長為半徑畫圓，兩圓相交于點 A或點A′；

3.連接AB，AC和A′B，A′C，則？駐ABC以及？駐A′BC就是所求的三角形。

圖1

相信基本所有的學生遇見這道題做到這里就結束了，但是我們回頭再看這道題，按照波利亞的《怎樣解題》中提到步驟，一步步來分析。

首先，從問題的敘述開始。問題很簡單，是要求做一個三角形。第二，考慮怎么做三角形呢？很簡單，三條線段順次首位相連，或者連接不在同一條直線上的三個點。再回到問題中，當我做出了一條線段BC即線段a之后，就等于我已經確定好三角形的兩個頂點了，如果在確定一個頂點A，順次相連就可以了。那么第三步，實施計劃。確保計劃進行中每一步的準確性，做出一個完美的三角形。第四，回顧。也就是我們現在要做的事。我們把一道求做三角形的題，轉化成了已知兩點B，C，求第三點A的問題，條件是，點A到點B的距離為c，到點C距離為b，如果只看條件，到點B的距離為c的點和到C點距離為b的點必然會是兩條軌跡，我們所要求的點A，就是這兩條軌跡的交點。當然了，這樣的交點有兩個。這樣看來，我們就把已知三邊求做一個三角形的問題轉化成了一道確定兩條軌跡交點的問題，這就是一種解題模式——雙軌跡模式。

波利亞是這樣概括雙軌跡模式的：第一，把問題歸結為要確定一個點；第二，對于每一部分的條件，未知點都會形成相應的一條軌跡；第三，所有軌跡的交點就是滿足所求問題的所有點的集合。這樣一來，這就不是一道簡單的作圖題，我們在它之上找到了一種適合解所有類似問題的解題模式，這才是這道題的意義所在。例如把相對較復雜的求做一角形的內切圓、外接圓，等等一系列問題經過雙軌跡解題模式分析之后，就會很輕松容易解決了。以此類推當然還有三軌跡模式以及多軌跡模式。

再來看一道題。

相信提到解方程，很多人一下就會想到經典的雞兔同籠問題，看看波利亞是怎么看這個問題的。

例2：一個農民有若干只兔子和雞，這些家畜一共有50個頭和140條腿。問這個農民有多少只兔子多少只雞？

這個問題有很多種解法：

1.嘗試法。假設出全部是兔子或者全部是雞的兩種極限模式，列出一個表把所有的可能性羅列出來，結合實際情況，找到答案（表1）。

2.巧解法。將兔子和雞的腿數減半，這樣一共有70條腿，其中，雞的頭數和腿數相等，而兔子的腿數是頭數的兩倍，從而70-50=20，既為兔子的個數，當然雞為30只。或者把雞的翅膀也當做“腿”，同樣可以推算出兔子和雞的個數。

3.代數法。按照笛卡爾“任何問題都能劃歸為代數問題”的“萬能原理”，我們來翻譯這道題（表2）。

顯然，我們成功的把題目翻譯成了兩個未知數和兩個方程，接下來的工作就是聯立方程解方程組。得到方程組的解，x=20y=30這道題也就成功的解答了。那對于這道題，我們要對其“回顧”什么呢？嘗試著把給定的數字換成字母，我們再來解這道題。已知這些家畜一共有h個頭，l條腿（表3）。

繼續(xù)聯立解方程組得。不難看出，對于新的方程組所得到的兩個解，恰巧可以翻譯成巧解法中的兩種情況。

對于第一種解法，我們稱其為“試湊法”，也可以稱為“逐次試驗法”，我們有理由相信，在一次次的錯誤嘗試之后，最終肯定會得到一個滿意的結果。但是相對于較大的數值而言，這個方法顯然是不可取的，不僅浪費時間精力，也有可能在不經意的粗心計算下，錯過正確的解答。相比較第一種解法，第二種解法要取巧得多，正所謂“巧解法”，然而這個解法與實際的聯系并不十分緊密。也正是所謂“巧”，很多學生在做題時不會考慮到這些，即便考慮到了，在數學表述方面也會猶豫不決，再或者說，這個“巧”僅僅只適合于這道題目。對于第三種代數法，既為笛卡爾的解題模式，要求雞兔各多少只，那就先就把它們假設出來當做已知，設兔子x只，雞y只，緊接著，根據題目中僅有的兩個條件，有50個頭140條腿，列出代數式，即x+y=50，4x+2y=140，發(fā)現可以聯立二元一次方程組，接下來，就是解方程組的問題了。

對于笛卡爾模式，波利亞是這樣總結的：首先，在了解問題的基礎上，把問題歸結為確定若干個未知量；其次，根據已知條件，在未知量和已知量之間建立數學關系，既為方程；最后，聯立解方程組。同樣的，在笛卡爾解題模式下，我們可以更容易的解答有更多未知數的題目，他們歸根到底，就是解方程組的問題。

當然，波利亞提出的數學模式還有很多，所列出的方法也有很多。大多數學生認為，數學，就是計算就是不斷的做題，除此之外沒有什么意思。通過對以上的兩道題的分析，我們發(fā)現，其實每一道數學題，都有它自己的存在意義，每一道數學題的背后，都有很深的理論等待我們的發(fā)現。如果每個學生在完成題目之后都可以稍加回顧，相信對他來說會是一個不小的進步。同時，通過對以上兩道題的仔細分析，我們看到數學方法論在數學學習中的重要意義：

第一，提高理解能力和閱讀能力。數學的思想和方法對理解和閱讀問題是十分重要的。例如我們要理解和認識接觸到的信息比如文字、圖形、聲音等方式包含的內容時，常常會用到我們的數學思想和方法。通過抽象與概括、分析與歸納、還有比較與分析等方法來加深理解。這些數學的思想和方法對于我們提高理解能力和閱讀能力有著十分重要的作用。

第二，培養(yǎng)良好的邏輯思維。雖然數學方法論并不是主要討論邏輯科學和思維科學，但是數學方法論實質上就是思維活動的方法。數學方法論主要討論數學邏輯的特點、結構、方法與規(guī)律在數學中的應用，從而推廣到我們日常的學習和生活當中的應用，對于培養(yǎng)自己良好的邏輯思維有重要的作用。

第三，思考方式的轉變。我們在中學學習具體解決數學題目的方法，主要在培養(yǎng)數學基礎，而在高等數學中就要認識解決問題的思想和方法。通過學習數學方法論，把以前學過的一些數學思想和方法，例如函數的思想、微分和積分的思想、無限和逼近的思想、抽象與概括、歸納與演繹、歸類與分類、比較與類比、分析與綜合、聯想和直覺等進行了概括和總結。思考方式有了重大的轉變，解決問題要想到的不僅僅是眼前看到的一些特點，更加重要的是利用什么樣的數學的思想和方法使問題簡單化來達到解決問題。

第四，有用的工具。數學的思想和方法并不僅僅是單純進行理論討論的內容，現實生活中，數學的思想和方法對于解決實際問題有重要的作用，是解決問題的有力工具。比如在日常經濟和管理的決策實踐當中面對一些問題時候，如果沒有學習過數學的思想和方法是很難找到解決的方法的。通過學習數學方法論。我們便可以想到比如函數、方程、數形結合、微分和積分的思想方法來解決問題。同時，數學的思想和方法對于日常生活的規(guī)劃也是產生了重要的幫助。

第五，數學的思想和方法是一個永遠值得去研究的學科。數學的思想和方法影響是巨大的，小到我們日常的家庭生活和學習，大到一個國家宏觀的經濟和管理以及成千上萬的公司企業(yè)的正常運轉都離不開數學的思想和方法。特別是現代經濟和管理的復雜性越來越要求更高的數學知識技能和解決實際問題的思想和方法。因此數學的思想和方法是很值得深入研究的。

【參考文獻】

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[責任編輯：楊玉潔]