邵永亮，胡　皞，常　軍

（蘇州科技學院土木工程學院，江蘇蘇州215011）

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基于帝國主義競爭算法的結構模態(tài)參數(shù)識別

邵永亮，胡皞，常軍

（蘇州科技學院土木工程學院，江蘇蘇州215011）

摘要：結構模態(tài)參數(shù)（包括頻率、振型和阻尼）識別，是結構健康監(jiān)測與結構狀態(tài)評估的核心內容。帝國主義競爭算法（ICA）作為一種新穎的智能算法，已成功應用于許多復雜的優(yōu)化問題中。ICA識別結構模態(tài)參數(shù)的實質是通過最小化包括所要識別的模態(tài)參數(shù)的結構輸出理論公式和結構現(xiàn)場輸出之差，將結構模態(tài)參數(shù)識別問題轉化成優(yōu)化問題。最后采用一個三層框架和一個簡支梁數(shù)值模型對該方法進行驗證。結果表明，帝國主義競爭算法可以有效識別結構模態(tài)參數(shù)，且識別精度較高。

關鍵詞：帝國主義競爭算法；結構模態(tài)參數(shù)識別；環(huán)境激勵

結構模態(tài)參數(shù)識別在土木工程中的應用，特別是在健康監(jiān)測、結構無損評估以及結構控制等領域中發(fā)揮著越來越重要的作用。因此，越來越多的分析方法被應用于結構模態(tài)參數(shù)識別中。傳統(tǒng)的參數(shù)識別方法，如極大似然法[1]、最小二乘法[2]等，大都是根據(jù)實驗條件下的頻響函數(shù)進行的，它需要同時知道激勵和響應信號，但在許多實際工程中，特別是對于一些大型結構，無法知道激勵，所以直接通過結構響應數(shù)據(jù)識別模態(tài)參數(shù)引起了高度重視[3-5]。目前，許多研究者將智能優(yōu)化算法引入輸入未知的結構參數(shù)識別中，提出了基于人工智能優(yōu)化算法的參數(shù)識別方法。到目前為止，優(yōu)化算法已經提出多種，包括Holland教授提出模擬自然界遺傳機制和生物進化論而形成的遺傳算法[6]；Eberhart和Kennedy博士源于對鳥類捕食行為的研究而提出的粒子群算法[7]等，都屬于自然啟發(fā)計算的一個分支，即生物啟發(fā)算法，而帝國主義競爭算法則屬于自然啟發(fā)計算的另一個分支，即社會啟發(fā)算法，它是基于帝國主義殖民競爭機制的新優(yōu)化算法。

帝國主義競爭算法（ICA），是由Atashpaz-Gargari和Lucas于2007年在對基于人口數(shù)量最優(yōu)化算法的著作中提出的一種智能算法[8-9]。在算法中，每一個個體都被定義為一個國家，所有的國家又被分為兩類，即帝國主義國家和殖民地國家。帝國主義國家為最初階段人口數(shù)量有優(yōu)勢國家，而剩下的國家為受帝國主義國家統(tǒng)治的殖民地國家。每個國家的力量被用來指明它的健康程度。在該算法的反復運行過程中，帝國之間通過相互競爭獲得盡可能多的殖民地以提供自己的綜合實力，而力量薄弱的帝國將逐漸失去它們的殖民地。當所有的殖民地都被一個帝國占領的時候，該算法結束。本文通過將參數(shù)識別問題轉化為一個多維優(yōu)化問題，利用ICA解決該優(yōu)化問題，進而識別出結構模態(tài)參數(shù)。

1　帝國主義競爭算法（ICA）概述

帝國主義競爭算法的步驟如下。

1.1產生初始帝國集團

ICA中的優(yōu)化對象為國家，類似于遺傳算法中的染色體。在一個n維的優(yōu)化問題中，每個國家就是一個1×n向量，則第i個國家表示為向量形式如下：

為了評價每個國家的勢力大小，在優(yōu)化過程中找到最優(yōu)解，引入成本函數(shù)的概念，則第i個國家成本函數(shù)的計算形式如下：

f（Ki）=f（k1，k2，k3，…，kn）（2）式中，k1，k2，k3，…，kn代表一些能夠決定一個國家勢力大小的因素，例如：文化、語言和習慣等。

國家的勢力大小都是通過成本函數(shù)來衡量的。國家勢力大小與成本函數(shù)值成反比，即成本函數(shù)值越小，國家勢力就越大。假設所有國家數(shù)為Npop，其中勢力較大的Nimp個國家被選為帝國主義國家，剩下來的Ncol個國家作為殖民地國家。

一個帝國集團包括一個帝國主義國家和其所統(tǒng)治的若干殖民地國家，而每個帝國集團所擁有的殖民地是根據(jù)帝國主義國家的勢力大小隨機分配的。引入標準化成本值Cn，第n個帝國勢力占總勢力的比例可以用下式表示：

其中，Cn滿足Cn=cn-max{ci}，cn表示第n個帝國的成本函數(shù)值，max{ci}表示所有帝國的成本函數(shù)最大值，m表示帝國的數(shù)量。所以，第n個帝國所能分得的殖民地國家可以表示為

yn=round（pn×Ncol）（4）

第n個帝國和其所分得的yn個殖民地組成了第n個帝國集團。以此類推，生成初始的帝國集團。

1.2帝國同化其殖民地

帝國主義國家同化殖民地國家可以用下圖1來表示：在ICA同化過程中，d為某個帝國集團中帝國和其中一個殖民地國家的距離，帝國同化殖民地可以描述為殖民地國家沿著自身和帝國的連線方向隨機移動一段距離x，且x滿足以下均勻分布：

x～U（0，β×d）（5）

式中，β是一個大于1的數(shù)，一般取2，為了使算法的搜索范圍擴大，引入一個隨機的角度偏移量θ，且θ也滿足均勻分布如下：

θ～U（-γ，γ）（6）

式中，γ一般取π/4。

圖1　帝國主義國家同化殖民地國家示意圖

1.3交換殖民地和帝國的位置

每次同化完之后，殖民地國家的位置就會發(fā)生變化，當殖民地國家處在一個成本函數(shù)值小于其帝國主義國家的位置時，那么它們之間就要交換位置，即成本函數(shù)值較低的殖民地變?yōu)榈蹏蹏優(yōu)橹趁竦貒?。下一次迭代時，算法將會按照交換之后的帝國和殖民地關系進行運算。

1.4計算帝國集團的總成本

一個帝國集團總的勢主要由它本身的勢力構成，但是它所統(tǒng)治的殖民地國家對其勢力的影響也是不可忽略的。為此，可按照下式計算一個帝國集團的總成本函數(shù)值。

式中，tn表示第n個帝國集團的總成本，cn代表帝國集團中帝國的成本函數(shù)值，后一項代表帝國集團中所有殖民地國家成本函數(shù)值的均值，其中f（Ki）表示第i個殖民地國家的成本函數(shù)值，yn表示第n個帝國集團中殖民地國家的數(shù)量，系數(shù)ξ是一個小于1的數(shù)，一般情況下，取0．1。

1.5帝國集團之間相互競爭

在帝國集團之間的競爭過程中，每個帝國集團都試圖占領并控制其它帝國集團的殖民地國家。這就導致了在競爭過程中強國更強，弱國更弱。帝國競爭中，一般先選出所有帝國集團中最弱的一個，接著其它帝國集團就通過競爭逐漸去占領它。在這個過程中，基于各自的力量，每個集團都有占領最弱帝國的可能性。

為了開始這個競爭過程，首先最弱帝國集團的一個殖民地被挑選出來，并確定每個帝國占領的可能性。第n個帝國集團占領的可能性可以用Pn表示，為了計算該可能性，引入第n個帝國集團標準化總成本的概念，用Tn表示，它與第n個帝國集團總成本tn的關系為

Tn=tn-max{ti} （8）

式中，max{ti}表示所有帝國集團總成本的最大值。根據(jù)以上說明，定義Pn為

為了將殖民地國家按勢力大小按比例分配給相應的帝國集團，引入一個向量P，形式如下

P=[P1，P2，P3，…，Pm]（10）

接著，又引入一個與P向量同規(guī)格的向量R，形式如下

R=[R1，R2，R3，…，Rm]，R1，R2，R3，…，Rm～U（0，1）（11）

最后，構建出一個向量D，通過向量P減去向量R，形式如下

D=P-R=[D1，D2，D3，…，Dm]=[P1-R1，P2-Rd，P3-R3，…，Pm-Rm]（12）

式中，向量D中最大元素值所對應的帝國集團即會占領上述最弱殖民地國家。

1.6淘汰無殖民地的帝國

經過一定次數(shù)的迭代，如果出現(xiàn)某個帝國集團的殖民地都被其它帝國集團占領，那么即可認為該帝國集團滅亡，其它帝國集團占領淘汰帝國集團的殖民地后繼續(xù)進行競爭。

1.7算法收斂

經過一定次數(shù)的迭代運算，除了一個最強大的帝國集團之外，其它帝國集團均滅亡，并且除了那個最強大的帝國之外，其它國家均成為它的殖民地，所有的國家均處在一個相同位置上，此時得到的位置就是問題的最優(yōu)解，算法終止。另外一種情況，就是當算法達到預先設定的最大迭代次數(shù)的時候，算法也終止。

2　ICA識別結構模態(tài)參數(shù)

誤差，建立目標函數(shù)，該目標函數(shù)中包括了所要識別的結構模態(tài)參數(shù)。利用ICA尋找使得目標函數(shù)最小的結構模態(tài)參數(shù)，即可識別出結構的模態(tài)參數(shù)[10]。不失一般性，設y（t）為k個自由度粘性阻尼系統(tǒng)的結構振動響應，其數(shù)學表達式為

式中，yi（t）為結構振動響應輸出，Ai為振動幅值，ωni、ωdi分別為無阻尼固有圓頻率和有阻尼圓頻率，ξi為阻尼比φi為初始相位角，t為時間變量。其中有阻尼圓頻率ωdi滿足：

文中將采用均方誤差函數(shù)作為ICA的成本函數(shù)，表達式為

式中，y贊（t）為預測模型的輸出，‖·‖表示矢量的歐幾里德范數(shù)，θ為需要估計的結構參數(shù)，T為采樣時間終點，F(xiàn)（·）即為優(yōu)化目標函數(shù)，形式上，優(yōu)化問題要求找到一個向量θ∈Rn以滿足某種質量判據(jù)，即使得誤差范數(shù)F（·）最小化。F（·）被稱為評價函數(shù)或目標函數(shù)[11]。在ICA中，一般是利用成本函數(shù)值來評價結果的好壞。因而結構參數(shù)識別問題可以描述成一個線性約束、多維非線性優(yōu)化問題，表達式為

其中，θmax，i和θmin，i分別表示第i個待識別參數(shù)取值的上下限。

3　數(shù)值算例

為了驗證ICA識別結構模態(tài)參數(shù)方法的有效性，文中對一個三層框架結構和一個8單元簡支梁結構在自由振動響應和環(huán)境激勵兩種情況下進行結構模態(tài)參數(shù)識別。

3.1自由響應下三層框架的結構模態(tài)參數(shù)識別

已知一個三層框架結構模型，見圖2，模型結構響應信號為自由振動響應信號，采樣頻率為100 Hz，時間為10 s，模型采用瑞利阻尼模型C=αM+βK，設一、三階阻尼比為0.5%，則第二階阻尼比為0.433 9%，模型的質量和剛度如表1所示。

圖2　三層框架模型

表1　三層框架模型物理參數(shù)

為了測量結構識別振型與理論振型的準確度，采用模態(tài)置信準則（Modal Assurance Criterion, MAC）作為衡量標準[12]。MAC的表達式為

從表2及圖3的識別結果可以看出，三層框架的各階模態(tài)參數(shù)識別值和理論值的誤差均非常小，且各階MAC值均無限接近于1，由此得出運用ICA識別自由響應下的結構模態(tài)參數(shù)是可行的，并且精度較高。

圖3　三層框架振型識別圖（自由響應）

3.2環(huán)境激勵下三層框架的結構模態(tài)參數(shù)識別

環(huán)境激勵下所用到三層框架與自由響應的相同，如圖2所示，在每層節(jié)點處施加有MATLAB程序產生的白噪聲模擬環(huán)境激勵，并在三個節(jié)點處采集加速度信號，采樣頻率為100 Hz，采樣時長為50 s。

對于環(huán)境激勵下的結構模態(tài)參數(shù)識別，可通過互相關取段，將整個響應信號轉化成一個近似于自由響應下的響應信號，接著利用ICA進行迭代運算，找出最優(yōu)值。對比自由響應識別結果表2和環(huán)境激勵識別結果表3可以發(fā)現(xiàn)，環(huán)境激勵信號的識別結果比自由響應稍低，究其原因還是因為環(huán)境激勵的激勵信號成分復雜，經過互相關之后的信號與原信號偏差更大。雖然環(huán)境激勵下結構模態(tài)參數(shù)識別結果比自由響應低，但從表3及圖4可以發(fā)現(xiàn)，總的來說，ICA識別模態(tài)振型和頻率精度還是挺高，即使阻尼的識別精度不高，但還是在可接受的范圍內。

表3　結構模態(tài)參數(shù)識別結果（環(huán)境激勵）

圖4　三層框架振型識別圖（環(huán)境激勵）

3.3自由響應下簡支梁的結構模態(tài)參數(shù)識別

如圖5所示，建立一簡支梁模型，模型采用兩端簡支的鋼板矩形梁，截面尺寸為26 mm×10 mm，梁長為3 m，材料為Q235鋼。模型的慣性矩2.167E-9，彈性模量2.06E5 MPa，密7 850 kg/m2度。梁被均勻分成8段并在節(jié)點處編號，在梁的節(jié)點1到節(jié)點7處布置7個加速度傳感器，模型結構激勵信號為自由振動響應信號。采樣頻率f=1 000 Hz，響應信號時間10 s，阻尼按照Rayleigh阻尼，第1階和第6階阻尼比設為，其余按公式計算，第二到第五階阻尼比分別為0.699 1%、0.694 6%、0.974 3%、1.417 2%。

圖5　簡支梁結構模型

從表4及圖6的識別結果可以看出，簡支梁的頻率和振型識別精度高，雖然阻尼比識別誤差較大，但是實際工程中很少用到。由此得出運用ICA識別自由響應下的結構模態(tài)參數(shù)是可行的，并且精度較高。

表4　結構模態(tài)參數(shù)識別結果（自由響應）

圖6　簡支梁振型識別圖（自由響應）

3.4環(huán)境激勵下簡支梁的結構模態(tài)參數(shù)識別

環(huán)境激勵下所用的簡支梁與自由響應的相同，如圖5所示，沿梁上1到7節(jié)點布置7個加速度傳感器，并在7個位置施加穩(wěn)態(tài)白噪聲激勵。采樣頻率f=1 000 Hz，響應信號時間50 s，阻尼按照Rayleigh阻尼，第1階和第6階阻尼比設為，第二階到第五階阻尼比為0.699 1%、0.694 6%、0.974 3%、1.417 2%。

從表5及圖7的識別結果可以看出，振型識別結果中第一階稍差，MAC為值98.9%，原因是環(huán)境激勵下采集的原信號雖說經過互相關取段，但與自由響應信號相比，原信號的自由衰減不如自由響應那么規(guī)律，導致部分參數(shù)在算法擬合過程中尋不到最優(yōu)值。除此之外，環(huán)境激勵下簡支梁的頻率識別結果較好，滿足實際工程應用要求。綜上所述，ICA在實際環(huán)境中的結構模態(tài)參數(shù)識別是可行的，且精度高。

表5　結構模態(tài)參數(shù)識別結果（環(huán)境激勵）

圖7　簡支梁振型識別圖（環(huán)境激勵）

4　結論

將結構的模態(tài)參數(shù)識別問題轉化成一個最優(yōu)化問題，利用一種新型的智能優(yōu)化方法——帝國主義競爭算法對最優(yōu)化問題進行最優(yōu)值搜索，進而得出結構模態(tài)參數(shù)的識別值。通過數(shù)值模擬，得出以下結論：

（1）新型智能算法ICA具有收斂速度快，穩(wěn)定性高的優(yōu)點，并且在識別結構模態(tài)參數(shù)時有很高的精度；

（2）雖然環(huán)境激勵下的響應信號經過互相關過程處理可近似于自由響應信號，但其模態(tài)參數(shù)識別結果精度還是不如自由響應，且簡支梁在環(huán)境激勵下的第一階振型識別還存在問題，這些有待進一步研究；

（3）基于ICA的結構參數(shù)識別可為實際工程結構的參數(shù)識別提供參考依據(jù)，促進參數(shù)識別的實際應用。

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通信聯(lián)系人：常軍（1973-），男，教授，博士，主要從事健康監(jiān)測與振動控制研究，Email：changjun21@mail.usts.edu.cn。

（責任編輯：經朝明）

Structural modal parameter identification based on imperialist competitive algorithm

SHAO Yongliang, HU Hao, CHANG Jun
（School of Civil Engineering, SUST, Suzhou 215011, China）

Abstract：Structural modal parameters identification（including the identification of structural modal shape, frequency and damping ratio）is the key point in the structural health monitoring and structural condition assessment.Imperialist Competitive Algorithm（ICA）, as a novel intelligent algorithm, has been successfully applied in many complex optimization issues.The essence of structural modal parameter identification by ICA is to transform the structural modal parameter identification into optimization through minimizing the error between theoretical equation of structural outputs（including structural modal parameters to be identified）and structural output data.Finally, a numerical model of three-story frame is adopted to verify the efficiency of the method herein.The results show that ICA can effectively identify structural modal parameters with high accuracy.

Key words：imperialist competitive algorithm; structural modal parameter identification; ambient excitation

中圖分類號：TU311

文獻標識碼：A

文章編號：1672-0679（2016）01-0020-07

[收稿日期]2015-09-16

[基金項目]江蘇省自然科學基金項目（BK20141180）；江蘇省結構工程重點實驗室開放課題（Z1405）；江蘇省建設系統(tǒng)科技項目（2015ZD77）

[作者簡介]邵永亮（1991-），男，江蘇鹽城人，碩士研究生。