謝鵬芳，謝 敏，裴志濤，黃旭光，黃家榮，周俊朝

林分直徑分布是指在林分內(nèi)各種大小直徑林 木按徑階的分配狀態(tài)，也稱為林分直徑結(jié)構(gòu)。無論在理論上還是在實(shí)際上，林分直徑結(jié)構(gòu)是最重要、最基本的林分結(jié)構(gòu)，不僅因?yàn)榱址种睆奖阌跍y定，更是因?yàn)榱址謨?nèi)各種大小直徑的樹木的分配狀態(tài)，將直接影響樹木的樹高、干形、材積、材種及樹冠等因子的變化［1］。在理論上它為許多森林經(jīng)營技術(shù)及測樹制表技術(shù)提供了依據(jù)。多數(shù)研究認(rèn)為，林分直徑分布擬合模型中3參數(shù)Weibull分布模型最優(yōu)［2－5］，對函數(shù)參數(shù)估計(jì)的方法多為傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)估計(jì)方法，多數(shù)研究認(rèn)為，最大似然估計(jì)(Maximum Likelihood estimation，MLE) 求的參數(shù)最優(yōu)［6－7］。但最大似然估計(jì)要用迭代法求解，過程復(fù)雜。此外，由于3參數(shù)Weibull分布不能滿足通常的正則條件，導(dǎo)致有時(shí)最大似然估計(jì)不存在或有多個(gè)解［8］。為解決這些問題，研究基于Weibull分布3參數(shù)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)模型［9－10］，建立Weibull參數(shù)估計(jì)系統(tǒng)(Estimation System of Weibull Parameters，WPES)，以尋求一種操作簡單、快捷的方法估計(jì)Weibull分布參數(shù)。

1 材料與方法

1.1 材料來源

材料來源于貴州省安順、龍里和開陽，考慮到林齡和地理位置對林分直徑分布的影響，分別選擇不同齡級(14，22和30 a)、不同密度級、不同地區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)地調(diào)查數(shù)據(jù)來進(jìn)行研究。貴州省氣候?yàn)闇貨鰸駶櫹虬霛駶欉^渡類型，年均氣溫為12～14℃，1月均溫為2～4℃。≥10℃的積溫約為4 000℃，生長期約為250 d，年降水量為1 000～1 200 mm，適于馬尾松林分的生長。3塊標(biāo)準(zhǔn)地的林分基本情況如表1。

表1 標(biāo)準(zhǔn)地?cái)?shù)據(jù)表Table 1 The data table of sample plot

1.2 Weibull分布函數(shù)

Weibull分布函數(shù)的概率密度函數(shù)［4］:

式中:x為林木胸高直徑;a為位置參數(shù)，這里為林分直徑最小徑階下限值≥0;b為尺度參數(shù);c為形狀參數(shù)。

1.3 Weibull參數(shù)估計(jì)系統(tǒng)(WPES)

根據(jù)西澤正久相關(guān)表中120組c，Γ1，CVx的數(shù)值，用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，以CVx作為輸入向量，以c，Γ1作為輸出向量，研究提出了由圖1、式(3)～式(5)和表2組成的Weibull分布參數(shù)估計(jì)模型［9］。圖1為估計(jì)模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)圖形表達(dá)，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為1∶6∶2，即1個(gè)輸入節(jié)，6個(gè)隱層神經(jīng)元，2個(gè)輸出神經(jīng)元。

其數(shù)學(xué)模型為:

累積分布函數(shù):

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(1∶6∶2)Fig.1 Neural network model(1∶6∶2)

式中:pure lin()和log sig()為MATLAB的神經(jīng)元線性傳遞函數(shù)和對數(shù)S形傳遞函數(shù);為從隱含層i節(jié)點(diǎn)至輸出層節(jié)點(diǎn)的連接權(quán);hi為隱含層i節(jié)點(diǎn)的輸出值;為輸出層節(jié)點(diǎn)的閾值;為從輸入層節(jié)點(diǎn)至隱含層i節(jié)點(diǎn)的連接權(quán);為隱含層i節(jié)點(diǎn)的閾值。

表2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸入層的權(quán)值和閾值Table 2 Weights and thresholds of neural network model

根據(jù)上述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸出和模擬對象的分布特征數(shù)，計(jì)算Weibull分布3參數(shù):

1)用模擬對象的最小徑階中值(MD)減去徑階距(△D)的一半作為位置參數(shù)(a):

2)用式(4)計(jì)算位置尺度參數(shù)Γ 1 后，用Γ 1 除林分算術(shù)平均直徑(Dm)與位置參數(shù)(a)的差作為

3)用式(3)計(jì)算形狀參數(shù)c。

按上述模型或方法，可進(jìn)行Weibull參數(shù)估計(jì)系統(tǒng)構(gòu)建［12］，通過MATLAB的GUI界面編輯器增加控件，構(gòu)建系統(tǒng)界面如圖2。根據(jù)系統(tǒng)可以直接輸入各經(jīng)階中值和株數(shù)得到Weibull 3個(gè)參數(shù)。

圖2 Weibull參數(shù)預(yù)估系統(tǒng)界面Fig.2 The interface of estimation system for Weibull parameters

1.4 最大似然法(MLE)

本研究選擇多數(shù)研究者認(rèn)為最優(yōu)的最大似然法(MLE)作對比分析。根據(jù)前人的研究［6－8］，對于林分直徑的Weibull分布，計(jì)算形狀參數(shù)(c)的公式為:

位置參數(shù)(a)算法同式(8)。

式中:k為徑階個(gè)數(shù);xi為第i階中值;fi為第i徑

階內(nèi)林木株數(shù);n為總株數(shù)。

1.5 擬合效果檢驗(yàn)

用精度檢驗(yàn)和χ2檢驗(yàn)2種方法檢驗(yàn)上述系統(tǒng)和方法估計(jì)的林分直徑分布效果。精度算式:

式中:Pc為擬合精度;N為各徑階實(shí)測株數(shù);N1為各徑階擬合株數(shù);sum()和abs()為MATLAB的求和函數(shù)和絕對值函數(shù)。其中N1為:

式中:f(xi)為由式(1)求出的第i徑階中值為xi的概率密度函數(shù)值;△D為徑階距。

卡方檢驗(yàn)(χ2)是關(guān)于理論頻數(shù)與實(shí)際頻數(shù)間吻合程度的一個(gè)檢驗(yàn)方法［11］。卡方值算式:

2 結(jié)果與分析

2.1 Weibull參數(shù)估計(jì)結(jié)果

利用構(gòu)建的Weibull參數(shù)估計(jì)系統(tǒng)(WPES)可以直接計(jì)算Weibull參數(shù)值，如圖3所示為安順標(biāo)準(zhǔn)地的Weibull 3參數(shù)的計(jì)算結(jié)果。同理計(jì)算龍里、開陽標(biāo)準(zhǔn)地的結(jié)果，并與最大似然估計(jì)(MLE)的計(jì)算結(jié)果對照列如表3(WPES系統(tǒng)計(jì)算取了小數(shù)點(diǎn)后5位，為了與MLE方法統(tǒng)一起來，2種方法都取小數(shù)點(diǎn)后4位)。

圖3 安順Weibull 3參數(shù)計(jì)算結(jié)果Fig.3 Weibull three parameter calculation results of Anshun

2.2 直徑分布擬合結(jié)果

將表3中2種方法(WPES，MLE)估計(jì)的參數(shù)代入Weibull分布的概率密度函數(shù)式(1)和累積分布函數(shù)式(2)，計(jì)算各標(biāo)準(zhǔn)地、各徑階的概率密度函數(shù)值和累積分布函數(shù)值，進(jìn)而計(jì)算各徑階的擬合株數(shù)。計(jì)算結(jié)果與實(shí)測結(jié)果對照見表4。

由表4可知，用 WPES和 MLE估計(jì)并按式(12)計(jì)算的安順、龍里、開陽3塊標(biāo)準(zhǔn)地直徑分布的擬合精度分別為84%、85%、85%和78%、64%、67%。顯然，用WPES估計(jì)Weibull參數(shù)值的擬合精度比MLE的高，要高出5% ～20%。用WPES估計(jì)的各徑階擬合株數(shù)與實(shí)測株數(shù)相對吻合，而用MLE估計(jì)的相差較大。由表4還可以看出，在林齡為14 a的安順標(biāo)準(zhǔn)地中，MLE的擬合精度相對比在林齡較大的龍里、開陽2塊標(biāo)準(zhǔn)地上的擬合精度高，精度值從78%降到64%，相差10%以上;而WPES在不同年齡段的擬合都保持約85%的較高精度，相差僅1%。這說明，由于系統(tǒng)中人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的作用，WPES不僅具有較高的估計(jì)效果，而且具有較強(qiáng)的適應(yīng)性。

表3 Weibull 3參數(shù)估計(jì)值Table 3 Estimated value of the three－parameter Weibull

表4 直徑分布實(shí)測與擬合結(jié)果Table 4 Actual and Fitting Results for Diameter Distribution n

2.3 卡方檢驗(yàn)

基于表4的徑階分布數(shù)據(jù)，用式(14)計(jì)算2種方法的χ2值，連同相關(guān)參數(shù)一并對照列如表5。

由表5可知，取α=0.05，安順、龍里和開陽的自由度分別為6、8和9，WPES估計(jì)的檢驗(yàn)χ2值分別為7.17、8.73 和2.40，而 MLE 估計(jì)的檢驗(yàn) χ2值分別為52.62、45.31 和 7.96。對照結(jié)果顯示，安順和龍里WPES檢驗(yàn)值是MLE的1/7和1/6，這2塊標(biāo)準(zhǔn)地用MLE方法估計(jì)的漸進(jìn)顯著性＜0.05，拒絕原假設(shè)，說明不符合原來的分布;開陽標(biāo)準(zhǔn)地的檢驗(yàn)值都相對較小，2種方法的漸進(jìn)顯著性都＞0.05，說明2種方法得出的結(jié)果都是符合原分布的;研究表明，WPES有較強(qiáng)的適應(yīng)性。

表5 χ2檢驗(yàn)Table 5 Chi-square test

3 結(jié)論

以貴州不同林場、不同林齡的3塊馬尾松標(biāo)準(zhǔn)地林分直徑分布數(shù)據(jù)為驗(yàn)證材料，基于Weibull參數(shù)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)模型，用MATLAB的GUI界面編輯了一個(gè)3參數(shù)Weibull估計(jì)系統(tǒng)(WPES)。并與最大似然估計(jì)(MLE)作對比分析，對WPES的估計(jì)準(zhǔn)確度、適應(yīng)性等進(jìn)行了驗(yàn)證研究，得出如下結(jié)論:

(1)WPES的擬合精度較高，比 MLE高出5%～20%。

(2)WPES對不同時(shí)間和空間的適應(yīng)性較強(qiáng)，其變動(dòng)幅度是MLE的1/10。

(3)WPES界面簡單明了，操作方便，使用簡捷，便于推廣應(yīng)用。

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