刁素蘭，吳紅英

（1.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510006；2.懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南懷化418008）

刁素蘭1，吳紅英2

（1.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510006；2.懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南懷化418008）

研究了0.5-平均跟蹤的一些性質(zhì).我們證明了：如果f是滿(mǎn)射且有0.5-平均跟蹤性質(zhì)，則f是鏈傳遞的.如果f是等度連續(xù)滿(mǎn)射且有0.5-平均跟蹤性質(zhì)，則f是拓?fù)浔闅v的.

跟蹤性質(zhì)；平均偽軌；拓?fù)浔闅v；鏈傳遞

1 引言與預(yù)備知識(shí)

設(shè)（X，f）是一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱(chēng)動(dòng)力系統(tǒng)），是指（X，ρ）是一個(gè)緊致度量空間，其中ρ表示X上的一個(gè)度量，f∶X→X是一個(gè)連續(xù)滿(mǎn)射.跟蹤性質(zhì)在動(dòng)力系統(tǒng)中扮演著重要的角色.1980年，Blank[1，2]引進(jìn)了平均跟蹤性質(zhì)的概念并證明了某些攝動(dòng)雙曲系統(tǒng)具有平均跟蹤性質(zhì).自從平均跟蹤的概念問(wèn)世以來(lái)，我們觀察到兩個(gè)現(xiàn)象.其一，平均跟蹤性質(zhì)受到了較多學(xué)者的關(guān)注[3-7].其二，越來(lái)越多新的跟蹤概念出現(xiàn)[6，8-10].

設(shè)Z+是非負(fù)整數(shù)集.設(shè)A?Z+，用|A|表示集合A的基數(shù).用d（A）表示集合A的上密度，用d（A）表示集合A的下密度，用d（A）表示集合A的密度.

設(shè)x0=x，x1，…，xn=y∈X，δ＞0.對(duì)任意的i∈{0，1，…，n-1}，如果ρ（f（xi），xi+1）δ，則稱(chēng)序列x0，x1，…，xn為映射f的從x到y(tǒng)長(zhǎng)度為n的δ-鏈.稱(chēng)映射f是鏈傳遞的，是指對(duì)任意的兩個(gè)點(diǎn)x，y∈X和任意的δ＞0，都存在一條從x到y(tǒng)的δ-鏈.

設(shè)（X，f）是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng).U，V?X，記N（U，V）={i∈Z+∶U∩f-i（V）≠?}.稱(chēng)映射f是傳遞的，是指對(duì)任意兩個(gè)非空開(kāi)集U，V?X，有N（U，V）≠?.稱(chēng)映射f是拓?fù)浔闅v的，是指d（N（U，V））＞0.

這時(shí)，也稱(chēng)點(diǎn)z，ε-平均跟蹤ξ.

定義1.1設(shè)（X，f）是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，q∈[0，1），稱(chēng)f具有平均跟蹤性質(zhì)，是指對(duì)任意的ε＞0，存在δ＞0，使得對(duì)f的每一條δ-平均偽軌，存在點(diǎn)z∈X，滿(mǎn)足

D.Ahmadi Dastjerdi在[8]引進(jìn)了遍歷偽軌的d-跟蹤（d-跟蹤）的概念.稱(chēng)映射f具有d-跟蹤性質(zhì)（d-跟蹤性質(zhì)），如果對(duì)任意的ε＞0，存在δ＞0，使得映射f的每一條δ-遍歷偽軌都能夠被X中的某點(diǎn)沿著下密度大于0（上密度大于0.5）的時(shí)間集ε-跟蹤.

D.AhmadiDastjerdi在[8]中證明了：若映射f有d-跟蹤性質(zhì)（或d-跟蹤性質(zhì)），則f是鏈傳遞的.

稱(chēng)x∈X是f的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，如果對(duì)任意的ε＞0，存在δ＞0，對(duì)每一個(gè)y∈B（x，δ）和每一個(gè)正整數(shù)n，有ρ（fn（x），fn（y））＜ε.稱(chēng)f是Lyapunov穩(wěn)定（或等度連續(xù)）的，如果X中每一個(gè)點(diǎn)都是穩(wěn)定點(diǎn).

稱(chēng)映射f是拓?fù)浔闅v的，如果任意兩個(gè)非空開(kāi)集U，V?X，N（U，V）有正上密度.文[12]證明了：如果f是一個(gè)Lyapunov穩(wěn)定（等度連續(xù)）映射且有平均跟蹤性質(zhì)，則f是拓?fù)浔闅v的.

文[10]引進(jìn)了平均偽軌的部分跟蹤概念.稱(chēng)映射f具有q-平均跟蹤性質(zhì)，如果對(duì)任意的ε＞0，存在δ＞0，使得映射f的每一條δ-平均偽軌都能夠被X中的某點(diǎn)沿著下密度大于q的時(shí)間集ε-跟蹤.

本文將繼續(xù)研究平均偽軌的部分跟蹤性質(zhì).本文的主要結(jié)果為：如果f是滿(mǎn)射且有0.5-平均跟蹤性質(zhì)，則f是鏈傳遞的（見(jiàn)定理2.2）.如果f是等度連續(xù)滿(mǎn)射且有0.5-平均跟蹤性質(zhì)，則f是拓?fù)浔闅v的（見(jiàn)定理2.3）.

2 主要結(jié)果的證明

我們還需要下面的引理.

引理2.1設(shè)A，B?Z+，如果d（A）+d（B）＞1，則d（A∩B）＞0[9].

定理2.2設(shè)（X，f）是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng).如果映射f是滿(mǎn)射且有0.5-平均跟蹤性質(zhì)，則f是鏈傳遞的.

定理2.3設(shè)（X，f）是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng).如果映射f∶X→X是一個(gè)等度連續(xù)的滿(mǎn)射，并且具有0.5-平均跟蹤性質(zhì)，則f是拓?fù)浔闅v.

證明設(shè)U，V是X中的兩個(gè)非空開(kāi)集.我們選取x∈U，y∈V，取ε＞0，滿(mǎn)足B（x，ε）?U，B（y，ε）?V.由于f是等度連續(xù)的，則對(duì)上述ε＞0，存在δ＞0，使得當(dāng)ρ（f（x，y）＜δ時(shí)，對(duì)任意n∈Z+，有ρ（fn（x），fn（y））＜ε.

定義序列如下：

令

因此由引理2.1，d（J）x＞0，d（J）y＞0.選取i0∈JX，0≤k0≤N0-1，使得fi（0

z）∈B（f-k（0x），δ）.對(duì)任意j∈Jy，且j≥i0+ k0，存在0≤mj≤N0-1，使得f（jz）∈B（f-m（jy），δ）.由于f是等度連續(xù)的，因此有

注意到0≤mj≤N0-1，故d（N（U，V））＞0，所以f是拓?fù)浔闅v的.

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Some Properties of 0.5-average Shadowing

DIAO Su-lan1，WU Hong-ying2
（1.Department of Mathematics and Information Science，Guangzhou University，Guangzhou，Guangdong 510006；2.Department of Mathematics，Huaihua University，Huaihua，Hunan 418008）

In this paper，the authors studied some properties of the 0.5-average shadowing.We proved that if the map f is a surjection and has 0.5-average shadowing property，then it is chain transitive；If the map f is equicontinuous and has 0.5-average shadowing property，then it is topologically ergodic.

shadowing property；average pseudo-orbit；topologically ergodic；chain transitive

O189.11

A

1671-9743（2016）11-0018-03

2016-06-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助課題（11471125）；廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)科群重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目.

刁素蘭，1990年生，女，廣東河源人，碩士研究生，研究方向：代數(shù)；吳紅英，1974年生，女，湖南張家界人，副教授，研究方向：拓?fù)鋵W(xué)與數(shù)值計(jì)算.