高立超　許立忠　李　沖

燕山大學，秦皇島，066004

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單級放大機電集成壓電諧波電機設計與仿真分析

高立超許立忠李沖

燕山大學，秦皇島，066004

摘要：設計了一種單級放大機電集成壓電諧波電機，闡述了該種電機的工作原理，給出了其設計方法、連續(xù)傳動條件及參數(shù)選擇原則。針對電機中容易發(fā)生失效的區(qū)域，推導了最大應力公式，通過有限元仿真對比驗證了理論公式的正確性。分析了電機的固有頻率和振型以及電機在簡諧激勵下的位移和應力響應。結果表明：電機理論最大應力為45.54 MPa，與仿真最大應力相差4.04%；激勵作用下，活齒振動位移最大，活齒架應力集中最嚴重。

關鍵詞：單級放大；壓電諧波電機；最大應力；有限元仿真

0引言

壓電電機是一種利用壓電材料的逆壓電效應使壓電體變形產生往復振動，通過傳動機構將振動位移轉換為直線或旋轉運動的新型復合電機[1]。與電磁電機相比，壓電電機具有結構簡單、響應速度快、定位精度高等優(yōu)點[2]。Toyama[3]設計了一種球形壓電超聲電機，并將該種電機作為相機作動器安裝在管狀探測機器人上；Tomoaki[4]研制了一臺定子體積只有1 mm3的微型壓電超聲電機，該電機成為最小的壓電電機之一；朱鵬舉等[5]設計了一種大推力直線壓電電機，當驅動頻率為100 Hz時，該電機最大輸出力為130 N；張海峰等[6]設計了一種高效壓電旋轉驅動器，解決了壓電雙晶片旋轉驅動器能量利用效率低的問題；Chen等[7]利用20個壓電堆和20個塊狀彈簧產生的行波，研制了一臺利用徑向彎曲模態(tài)的行波壓電超聲電機。

傳統(tǒng)壓電電機主要靠摩擦傳動，其缺點是接觸面磨損嚴重、壽命短，非接觸式壓電電機雖避免了定轉子間的摩擦，但其承載能力較低，而壓電諧波電機卻能克服上述缺陷。2000年，德國學者Barth[8]提出利用諧波齒輪箱和壓電堆傳動的諧波壓電電機，利用齒輪箱的柔輪代替了傳統(tǒng)的行波發(fā)生器。2004年，辛洪兵等[9]設計了一臺利用位移放大機構的壓電諧波電機。以上諧波電機采用了諧波齒輪傳動，造成柔輪承受較大的交變載荷，且諧波齒輪傳動比下限值較高[10]。

基于上述原因，許立忠等[11-12]提出了一種既降低摩擦損耗、延長電機壽命，同時又增大電機輸出力矩的機電集成壓電諧波電機，該種電機利用活齒嚙合取代定轉子間的摩擦力來驅動轉子，具有低速、大轉矩等特性。為了增大電機的輸出轉矩，本文對機電集成壓電諧波電機進行了改進，設計出單級放大機電集成壓電諧波電機。經過理論計算，機電集成壓電諧波電機的輸出力矩為0.11 N·m，而單級放大機電集成壓電諧波電機的輸出轉矩為3 N·m，故單級放大電機更具優(yōu)勢。本文給出了單級放大機電集成壓電諧波電機的設計過程，并進行了電機關鍵零部件的有限元仿真。

1電機工作原理

圖1　單級放大機電集成壓電諧波電機

單級放大機電集成壓電諧波電機如圖1所示，該電機由驅動部分和傳動部分組成，驅動部分主要包括壓電疊堆(2個)、下壓盤、擺桿和彈簧(2個)，傳動部分主要包括波發(fā)生器、中心輪、活齒(30個)、活齒架和輸出軸。電機中，下壓盤和擺桿共同構成單級放大機構，下壓盤相當于杠桿，支點位于底座軸承的中心處。電機中2個壓電疊堆以相位差90°分布于擺桿外側(圖1中只顯示出一個壓電疊堆，另一個在擺桿后面未顯示出來)。工作時，分別給2個壓電疊堆通入相位差90°、帶正偏置的余弦信號，壓電疊堆在激勵信號作用下發(fā)生伸縮變形，壓電疊堆帶動下壓板發(fā)生左右和前后擺動，同時由于擺桿和下壓板固連，故擺桿能夠同時發(fā)生左右和前后擺動，在連續(xù)信號作用下，波發(fā)生器邊緣處就形成了連續(xù)諧波。這種通過擺桿擺動形成諧波與傳統(tǒng)圓周轉動形成諧波在形式上不同，但諧波效果相同。諧波力推著活齒沿齒廓方向滑動，活齒架在活齒帶動下轉動一定角度。以此類推，在輸出軸端獲得連續(xù)轉動。

電機設計指標如下：傳動比為30，單級放大倍數(shù)大于6，偏心距0.1 mm，輸出轉矩3 N·m，轉速小于等于6 r/min。

2電機參數(shù)設計

電機傳動部分活齒系統(tǒng)如圖2所示。本文設計活齒個數(shù)Zp=30，中心輪波齒數(shù)Zc=29，則電機活齒系統(tǒng)傳動比為

(1)

設計電機活齒系統(tǒng)偏心距a=0.1mm。中心輪齒廓是活齒傳動的關鍵部位，中心輪齒廓方程為

X=bcos[θ-arcsin(asin(icp-1)θ/b)]+

acosicpθ±rpcosψ

Y=bsin[θ-arcsin(asin(icp-1)θ/b)]+

asinicpθ±rpsinψ

b=rs+rp

式中，θ為活齒架轉角；ψ為活齒中心運動軌跡上該點法線與x軸的夾角；rs、rp分別為波發(fā)生器和活齒的半徑；X、Y為中心輪齒廓坐標。

圖2　活齒傳動系統(tǒng)圖

(1)

(2)

(a)齒根位置　　　　　(b)齒頂位置圖3　活齒在中心輪齒廓上的幾何關系

取波發(fā)生器半徑rs=14.5mm，活齒半徑rp=1mm，由式(1)和式(2)可得15.6mm

本文選用結構尺寸為10mm×10mm×50mm的壓電疊堆作驅動源。圖4為驅動部分計算圖，其中δnp、Fnp分別為壓電疊堆最大變形量和最大輸出力，l1為壓電疊堆作用力臂，l2為下底板與擺桿鉸支點間的距離，l3為波發(fā)生器邊緣與擺桿鉸支點間的距離。由位移關系可得

δnp/l1=δB/l2

δB/δC=l2/l3

式中，δB、δC分別為圖4中B、C點的位移。

則波發(fā)生器邊緣處的位移為

δC=δBl3/l1

對O點取矩，可得C點垂直于擺桿的力為

FC=Fnpl1/l3

圖4　驅動部分計算圖

已知壓電疊堆最大位移δnp=0.05mm，最大輸出力Fnp=3600N，l1=13mm，l3=95mm，則波發(fā)生器邊緣處C點的位移為δC=0.365mm，受力為FC=492.6N。故單級放大機構的放大倍數(shù)為δC/δnp=7.3。當偏心距a=0.1mm時，波發(fā)生器位移大于等于0.2mm時才能夠使活齒系統(tǒng)發(fā)生連續(xù)轉動，δC>0.2mm滿足連續(xù)轉動條件。

3電機靜力學分析

3.1電機傳動力學模型

活齒受力如圖5所示，活齒分別受波發(fā)生器作用的力FHj、活齒架作用的力FSj和中心輪作用的力FKj。假設活齒架的轉角為θ，則βj=[θ0+icpθ+2π(j-1)/icp]/icp，θ0為初始位置活齒架角度。波發(fā)生器的轉角β1j=icpβj，由βj和β1j可得β2j=(icp-1)βj，β3j=arcsin(asinβ2j/b)，j表示第j個活齒。前文中已得出波發(fā)生器受力FC，該力等于各參與嚙合活齒受力FHj的合力,即

(3)

θHj=θ0+iθ+β3j+2π(j-1)/i

分別在x、y方向上對活齒列平衡方程，得

(4)

式中，αj為活齒中心運動軌跡切線與x軸夾角，αj=-dy/dx。

活齒的中心運動軌跡方程為

(5)

聯(lián)立式(3)～式(5)即可求得活齒受力FHj、FSj和FKj。

當兩彈性體接觸時，假設兩彈性體沿接觸點切平面法線方向受到的分布壓力的合力為F(FHj、FSj或FKj)，接觸點處應力為σ，如圖6所示，則兩彈性體曲面方程和接觸點附近應力分別為

(6)

(7)

式中，S為兩彈性體接觸面在切平面上投影的面積，mm2。

圖6　應力計算模型

兩彈性體接觸點附近表面上與切平面垂線相交的兩點之間的直線距離為z1+z2，則

z1+z2=Ax2+By2

(8)

式中，k11、k12、k21、k22分別為兩彈性體在接觸點處的主曲率；η1和η2分別為在切平面內進行坐標變換時坐標軸間的夾角。

由式(4)知，接觸面在切平面上的投影為橢圓，F(xiàn)在橢圓內部某點引起的垂直位移W為

(9)

D(e)=(K(e)-E(e))/e2

式中， E、μ分別為材料的彈性模量和泊松比；a1、b1分別為兩彈性體接觸面投影的長半軸和短半軸；e為橢圓率；K(e)、E(e)為系數(shù)。

根據(jù)彈性體理論，假設接觸點附近兩點變形后位移為W1+W2，δ為接觸變形量，則接觸面內在平行于接觸點切平面法線方向上任意兩點的位移方程為

z1+z2=δ-(W1+W2)

(10)

由式(8)～式(10)可得

(11)

聯(lián)立式(7)、式(11)，可得應力方程為

(12)

將式(12)中的F替換為FHj、FSj和FKj即可得到活齒受到的應力。

3.2應力求解與分析

活齒系統(tǒng)是單級放大機電集成壓電諧波電機中傳遞運動最為核心的部分，由于活齒在工作過程中與構件間是點接觸，故活齒是整個電機較為薄弱的受力點，因此對活齒進行應力分析是非常有必要的。圖7是由式(12)通過理論計算得到的活齒應力隨活齒架轉角的變化曲線，圖8是對電機進行有限元仿真得到的活齒應力云圖。

(a)σHj隨轉角θ變化

(b)σKj隨轉角θ變化

(c)σSj隨轉角θ變化圖7　活齒所受各應力隨活齒架轉角變化曲線

由圖7、圖8可知：

(1)活齒架每轉過π/29時，活齒所受各應力又回到最小值；在活齒架每轉過奇數(shù)個π/58時，活齒所受各應力達到最大值。

(a)網格劃分

(b)活齒應力云圖圖8　活齒有限元分析

(2)活齒所受應力隨活齒架轉角變化而出現(xiàn)突變現(xiàn)象，且每經過π/435時應力突變一次。這是由于當系統(tǒng)有30個活齒工作時，只有一半左右的活齒處于嚙合狀態(tài)，且嚙合活齒數(shù)始終在15齒和16齒之間跳躍變化，同時嚙合齒數(shù)變化周期為π/435，故活齒應力會在π/435時發(fā)生突變。

(3)在活齒應力云圖中，只有一半左右的活齒所受應力較大，且處于中間的幾個嚙合活齒的應力值達到最大值，這與圖7中應力曲線的規(guī)律是一致的。

(4)理論計算活齒最大應力處于活齒與活齒架嚙合處，為45.54MPa，有限元得到的最大應力為47.38MPa，誤差為4.04%。

4電機動力學分析

4.1模態(tài)分析

單級放大機電集成壓電諧波電機結構較復雜，其形狀變化多樣且材料特性各異，目前很難用解析法獲得精確的動力學解，且模型簡化求解得到的誤差較大，無法滿足電機性能要求。而有限單元法可以較準確地模擬電機的動態(tài)特性。

用單元節(jié)點位移場表示單元應變場如下：

Bm=LmNm

假設壓電片上下面各存在一個電勢自由度qu和qd，等勢面上的節(jié)點共用此一對電勢自由度，即

qe=[quqd]T

假設壓電堆內電場均勻分布，電場強度表示為

E=[ExEyEz]T=Beqe

式中，Be為系數(shù)矩陣；lp為壓電片厚度。

則單元體動能表示為

彈性單元體勢能為

壓電單元體勢能為

式中，D為電位移;σ為壓電堆應力；Ve為單元體體積。

由Hamilton原理可得，電機機電耦合方程為

(13)

式中，Mmm、Kmm、Kme、Kee分別為質量矩陣、剛度矩陣、壓電耦合矩陣和介電傳導矩陣；Qq為壓電片電荷量；Ff為廣義力列向量。

電機自由振動方程可簡化為

式中，ω0為系統(tǒng)的固有頻率。

應用上述有限元法對單級放大機電集成壓電諧波電機進行模態(tài)求解，得到電機部分固有頻率及振型，如表1所示。由表1可知：

(1)當頻率較低時對應的振型多數(shù)是驅動部分的振動，頻率較高時對應的振型多數(shù)是傳動部分的振動。故當頻率較低時，驅動部分容易發(fā)生共振。

(2)各構件的振動中，擺桿由于是細長結構最容易發(fā)生彎曲振動，壓電堆同樣容易發(fā)生彎曲振動；活齒架由于具有復雜結構，故其振型既有彎曲振動又有旋轉振動；活齒振型主要以軸向振動為主；中心輪振型主要是彎曲振動。

表1　電機部分固有頻率及振型

4.2諧響應分析

當對壓電堆所加的電壓激勵頻率接近電機固有頻率時，電機各構件會被激發(fā)出各種振動模態(tài)。假設單位節(jié)點向量滿足

δm=Φq

(14)

Φ=[φ1φ2…φn]

q=(q1(t)，q2(t)，…，qn(t))T

式中，Φ為n個振動模態(tài)特征向量矩陣；q為n個正交模態(tài)對應的模態(tài)坐標。

將式(14)代入式(13)并歸一化，可得到諧響應矩陣方程如下：

對單級放大機電集成壓電諧波電機進行諧響應分析，設定激勵頻率最大值和最小值分別為fmax= 22 000 Hz、fmin= 1600 Hz，由激勵頻率范圍確定求解步長ΔΩ=2π[(fmax-fmin)/n]，取n=100。圖9和圖10分別給出了電機部分構件的振動位移響應和應力響應曲線。由圖9、圖10可知：

(a)活齒架端面位移響應

(b)中心輪端面位移響應

(c)活齒嚙合面位移響應

(d)擺桿柱面位移響應圖9　電機主構件振動位移響應曲線

(a)活齒架接觸面應力響應

(b)中心輪接觸面應力響應

(c)活齒接觸面應力響應

(d)擺桿接觸面應力響應圖10　電機主構件應力響應曲線

(1)各構件在x軸、y軸和z軸三個方向均有比較明顯的振動位移，其中活齒、活齒架、中心輪的最大振動位移發(fā)生在沿x軸方向，擺桿最大振動位移發(fā)生在沿z軸方向。

(2)各構件發(fā)生明顯共振的頻率點主要分布在8272 Hz、14 512 Hz和19 088 Hz附近；不同構件最大振動位移對應的頻率不同，活齒、活齒架、中心輪發(fā)生在19 088 Hz處，擺桿發(fā)生在8272 Hz處，這與前文模態(tài)振型分析是一致的，驅動部分在低頻處容易共振，傳動部分共振發(fā)生在高頻處。

(3)隨著頻率的變化，不同構件最大共振位移及其方向是不相同的；在8272 Hz頻率點處，活齒架、活齒、擺桿的最大共振位移出現(xiàn)在沿z軸方向，中心輪最大共振位移出現(xiàn)在x軸方向；在19 088 Hz頻率點處，各構件最大共振位移均發(fā)生在沿x軸方向。

(4)發(fā)生較大應力響應的頻率點主要分布在8272 Hz、14 512 Hz和19 088 Hz附近，這與位移響應是一致的;且在8272 Hz頻率點時，活齒架和擺桿的應力都達到最大值，在19 088 Hz時，中心輪和活齒的應力出現(xiàn)最大值。

(5)各構件最大應力在8272 Hz時發(fā)生在活齒架接觸面處，這是由于活齒架上的孔較大而容易發(fā)生應力集中現(xiàn)象。

5實驗驗證

對波發(fā)生器輸出位移進行實驗驗證，如圖11所示，激光測振儀采用德國OptoMET公司生產的Vector系統(tǒng)，是一種能夠同時輸出位移、速度及加速度的激光測試裝置。壓電驅動電源是一種采用XMT的多通道驅動設備，信號發(fā)生器是一種自制的可調控多信號發(fā)生裝置，控制器能夠將激光測振儀采集的信號進行處理,然后顯示在計算機上。分別對壓電疊堆施加3 Hz和50 Hz的正弦信號，得到波發(fā)生器的擺動波形如圖12所示。

圖11　實驗測試系統(tǒng)

將圖12中測試位移的電壓單位按照每2V對應0.5mm轉換成長度單位，可得輸入信號為3Hz和50Hz時對應的輸出位移分別為0.333mm和0.349mm，與第2節(jié)中理論位移0.365mm分別相差8.9%和4.4%。

對樣機的輸出轉矩也進行了實驗測試，但是輸出轉矩只達到0.5N·m，與目標轉矩差距較大，目前正在對電機進行調試。造成輸出轉矩較小的原因主要有：①各零件的加工精度沒有達到要求，造成裝配誤差較大；②由于擺桿所受的前后和左右兩方向的力存在相互影響，使得波發(fā)生器輸出力減小。針對出現(xiàn)的問題，目前正在尋求高精度數(shù)控機床進行關鍵零件的加工制造；對于兩方向力相互影響的問題，目前正在尋找最優(yōu)改進策略。

(a)3 Hz測試曲線

(b)50 Hz測試曲線圖12　波發(fā)生器輸出位移測試曲線

6結論

設計了一種單級放大機電集成壓電諧波電機，闡述了該種電機的工作原理，給出了其設計方法及尺寸選擇。推導了電機最大應力公式，并通過仿真驗證了理論值。分析了電機的固有頻率和振型以及電機在簡諧激勵下的位移和應力響應。結果表明：①活齒所受最大應力理論值與仿真值相差4.04%；②驅動構件在低頻時容易共振，傳動構件在高頻時容易共振；③在激勵作用下，活齒振動位移最大，活齒架應力集中最為嚴重。研究結果為單級放大機電集成壓電諧波電機的改進和實驗提供了理論基礎。

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(編輯蘇衛(wèi)國)

Design and Simulation of a Single Amplification Electromechanical Integrated Harmonic Piezoelectric Motor

Gao LichaoXu LizhongLi Chong

Yanshan University, Qinhuangdao， Hebei, 066004

Abstract:A single amplification electromechanical integrated harmonic piezoelectric motor was designed, and the working principles were illustrated. Besides, the design procedure, continuous transmission conditions and principles of parameter selection were given. For the failure regions existed in the motor, the maximum stress equation was deduced and was verified by comparing with FEM results. In addition, the natural frequencies, modal shape and displacement and stress response under excitation were analyzed. Results show, the maximum stress is as 45.54 MPa, and the difference is only 4.04% comparing with FEM results. Under the action of incentive, the vibration displacement of movable tooth is largest, and stress concentration on tooth carrier is most serious.

Key words:single amplification; harmonic piezoelectric motor; maximum stress; FEM simulation

收稿日期：2015-06-26

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51275441)

中圖分類號：TH122；TM356

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.10.002

作者簡介：高立超，男，1990年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。研究方向為單級放大機電集成壓電諧波電機。許立忠(通信作者)，男，1962年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。李沖，男，1988年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。