于瀟雁，陳　力

(1．福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州 350116；2．福建省高端裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心，福州 350116)

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飄浮基兩桿柔性空間機(jī)械臂的振動(dòng)分析與振動(dòng)抑制

于瀟雁1,2，陳力1

(1．福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州 350116；2．福建省高端裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心，福州 350116)

摘要:對(duì)載體位置無(wú)控、姿態(tài)受控的飄浮基兩桿柔性空間機(jī)械臂操作過(guò)程中的振動(dòng)進(jìn)行了分析，并提出了對(duì)振動(dòng)進(jìn)行有效抑制的方法。首先利用拉格朗日方程并結(jié)合系統(tǒng)總質(zhì)心定義，得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。然后對(duì)該系統(tǒng)操作過(guò)程中的振動(dòng)進(jìn)行了分析。接著利用奇異攝動(dòng)法，將兩桿柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)分解為一個(gè)關(guān)于載體姿態(tài)、桿件關(guān)節(jié)軌跡跟蹤的慢變子系統(tǒng)和一個(gè)描述柔性臂變形的快變子系統(tǒng)。以此為基礎(chǔ)，提出了一個(gè)由慢變控制項(xiàng)和一個(gè)快變控制項(xiàng)組成的復(fù)合控制器，使得機(jī)械臂在操作過(guò)程中跟蹤上載體姿態(tài)和關(guān)節(jié)期望軌跡的同時(shí)柔性臂的振動(dòng)得到了有效的抑制。該控制方案的顯著優(yōu)點(diǎn)為不需要測(cè)量反饋載體的位置、移動(dòng)速度、移動(dòng)加速度。

關(guān)鍵詞:飄浮基柔性空間機(jī)械臂；載體姿態(tài)受控；奇異攝動(dòng)法；振動(dòng)分析；振動(dòng)抑制

1引言

在未來(lái)的空間操作作業(yè)中，空間機(jī)器人將扮演著重要的角色，其應(yīng)用將減少宇航員艙外活動(dòng)的危險(xiǎn)和載人航天的費(fèi)用，因此各國(guó)研究人員對(duì)空間機(jī)器人進(jìn)行了廣泛的研究[1-5]。由于工作地點(diǎn)是太空這一特殊環(huán)境，空間機(jī)器人系統(tǒng)的機(jī)械臂與載體之間存在著強(qiáng)烈的動(dòng)力學(xué)耦合問(wèn)題，其動(dòng)力學(xué)和控制問(wèn)題遠(yuǎn)比地面固定基機(jī)器人來(lái)得復(fù)雜。為了節(jié)省發(fā)射費(fèi)用，空間機(jī)械臂系統(tǒng)需越來(lái)越輕，從而導(dǎo)致機(jī)械臂的柔性越來(lái)越大。由于剛性運(yùn)動(dòng)和柔性振動(dòng)的相互作用，每一個(gè)關(guān)節(jié)的控制力矩不但要保證跟蹤上關(guān)節(jié)期望運(yùn)動(dòng)軌跡，同時(shí)要控制相應(yīng)的柔性臂的振動(dòng)，使得控制漂浮基柔性空間機(jī)器人要比相應(yīng)的剛性空間機(jī)器人復(fù)雜得多。

目前對(duì)空間機(jī)械臂的研究主要集中在剛性空間機(jī)械臂和剛?cè)峄旌系目臻g機(jī)械臂。Walker[6]和馬保離等[7]討論了載體位置無(wú)控、姿態(tài)受控空間機(jī)械臂的自適應(yīng)控制問(wèn)題。Gu等[8]對(duì)載體位置和姿態(tài)均不受控制的情形，提出了自適應(yīng)控制的標(biāo)準(zhǔn)形式增廣法。陳力[9]則給出了帶滑移鉸空間機(jī)械臂慣性空間的復(fù)合自適應(yīng)控制方案。洪昭斌等[10]利用奇異攝動(dòng)理論實(shí)現(xiàn)了剛?cè)峄旌系娘h浮基空間機(jī)械臂的模糊控制。

從節(jié)省控制燃料、增加空間機(jī)器人系統(tǒng)的有效使用壽命、減少發(fā)射費(fèi)用的角度考慮，使用載體位置、姿態(tài)均不受控制的空間機(jī)器人系統(tǒng)將非常必要。但為了保證通信設(shè)備、視覺(jué)設(shè)備和太陽(yáng)能帆板正常工作，空間機(jī)器人系統(tǒng)的載體必須保持一定的姿態(tài)，因此空間機(jī)器人系統(tǒng)也常設(shè)計(jì)為載體位置不控、姿態(tài)受控的形式。本文對(duì)載體位置不控、姿態(tài)受控的飄浮基柔性空間機(jī)械臂操作過(guò)程中的振動(dòng)進(jìn)行了分析，并提出了對(duì)振動(dòng)進(jìn)行抑制的方法。首先利用拉格朗日方程并結(jié)合系統(tǒng)總質(zhì)心定義，得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程；然后對(duì)該系統(tǒng)操作過(guò)程中的振動(dòng)進(jìn)行了分析；接著利用奇異攝動(dòng)法，將柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)分解為一個(gè)關(guān)于載體姿態(tài)和桿件關(guān)節(jié)軌跡跟蹤的慢變子系統(tǒng)和一個(gè)描述柔性臂振動(dòng)快變子系統(tǒng)。以此為基礎(chǔ)，提出了一個(gè)由慢變控制項(xiàng)和快變控制項(xiàng)組成的復(fù)合控制器。其中，慢變控制項(xiàng)實(shí)現(xiàn)載體姿態(tài)、桿件關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制。柔性臂快變控制項(xiàng)使柔性臂振動(dòng)得到有效的抑制。

2機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模

圖1　飄浮基柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)Fig.1　A planar flexible free-floating space manipulator

建立平動(dòng)的慣性坐標(biāo)系(O-xy)，設(shè)各分體在(x,y)平面作平面運(yùn)動(dòng)，θ0、θ1和θ2分別為系統(tǒng)載體姿態(tài)及機(jī)械臂關(guān)節(jié)鉸的相對(duì)轉(zhuǎn)角，載體和柔性臂B1、B2的質(zhì)心OCi(i=0,1,2)相對(duì)于慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)O的矢徑為ri。

由系統(tǒng)位置幾何關(guān)系及利用系統(tǒng)總質(zhì)心定義，載體質(zhì)心矢徑r0可表示為式(1)：

(1)

(2)

忽略太空中的微重力，整個(gè)系統(tǒng)的總勢(shì)能V為式(3)：

(3)

可以得到系統(tǒng)的Lagrange函數(shù) L=T-V。根據(jù)第二類Lagrange方程，可以推導(dǎo)得到這個(gè)載體位置不控、姿態(tài)有控的柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如式(4)：

(4)

3機(jī)械臂操作過(guò)程中的振動(dòng)分析

(5)

由于Dff可逆，由(5)式第二式可得式(6)：

(6)

將(6)式代入(5)式第一式得到式(7)：

(7)

設(shè)計(jì)基于模型的控制律如式(8)：

(8)

仿真運(yùn)動(dòng)初始值均取為：δ11(0)=δ12(0)=0 m，δ21(0)=δ22(0)=0 m，θ0(0)=0.1 rad，θ1(0)=0.05π-0.1 rad，θ2(0)=0.4π+0.2 rad，整個(gè)追蹤過(guò)程所用的時(shí)間t=10 s?？刂破鞯膮?shù)Kd=Kp=diag([40,40,40])。

仿真結(jié)果如圖2—圖7所示。圖2為機(jī)械臂載體姿態(tài)角、關(guān)節(jié)鉸的軌跡跟蹤圖；圖3、圖4分別為柔性桿1一階、二階振動(dòng)模態(tài)；圖5、圖6分別為柔性桿2一階、二階振動(dòng)模態(tài)；圖7為系統(tǒng)的輸入力矩。

圖2　系統(tǒng)載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤圖Fig.2　Comparison between the actual angular trajectory and the desired one of the base attitude and the joints

圖3　桿1一階振動(dòng)模態(tài)Fig.3　The first vibration mode of link 1

圖4　桿1二階振動(dòng)模態(tài)Fig.4　The second vibration mode of link 1

圖5　桿2一階振動(dòng)模態(tài)Fig.5　The first vibration mode of link 2

圖6　桿2二階振動(dòng)模態(tài)Fig.6　The second vibration mode of link 2

圖7　輸入力矩Fig.7　The input torque

從仿真結(jié)果可以看出，在有著較大初始誤差的情況下，PID控制能夠使載體姿態(tài)、機(jī)械臂關(guān)節(jié)軌跡快速而穩(wěn)定地追蹤上期望運(yùn)動(dòng)軌跡。但是系統(tǒng)始終存在比較大的振動(dòng)。為了消除柔性臂的振動(dòng)，提高柔性空間機(jī)械臂的操作性能，有必要對(duì)柔性臂的振動(dòng)進(jìn)行抑制。

4機(jī)械臂操作過(guò)程中的振動(dòng)抑制

由于與載體姿態(tài)和關(guān)節(jié)鉸的運(yùn)動(dòng)相比，柔性桿的振動(dòng)為高頻振動(dòng)，所以載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制和柔性臂的振動(dòng)抑制的時(shí)間尺度是可以通過(guò)奇異攝動(dòng)理論[12]分開(kāi)考慮的。

4.1動(dòng)力學(xué)模型的奇異攝動(dòng)分解

由于系統(tǒng)慣性矩陣D是對(duì)稱、正定的，因此其逆矩陣可定義為式(9)所示N：

(9)

式中：

則式(5)可以寫為式(10)：

(10)

(11)

為了得到漂浮基柔性空間機(jī)械臂的慢變子系統(tǒng)，設(shè)(11)式中的ε等于零，那么可得式(12)：

(12)

由(12)式第二式可得式(13)：

(13)

(14)

令ε=0并利用(12)式中的第二式，可得快變子系統(tǒng)近似表達(dá)式如式(15)：

(15)

(16)

4.2振動(dòng)抑制的復(fù)合控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于式(17)所示的慢變子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)基于模型的控制律：

(17)

(18)

其中P為Ricatti方程PA+ATP-PBR-1BTP+Q=O的解。

仿真結(jié)果如圖8～13所示。圖8為機(jī)械臂載體姿態(tài)角、關(guān)節(jié)鉸的跟蹤位置誤差圖，圖9、圖10分別為柔性桿1一階、二階振動(dòng)模態(tài)，圖11、圖12分別為柔性桿2一階、二階振動(dòng)模態(tài)，圖13為系統(tǒng)的輸入力矩。

圖8　系統(tǒng)載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤圖Fig.8　Comparison between the actual angular trajectory and the desired one of the base attitude and the joints

圖9　桿1一階振動(dòng)模態(tài)Fig.9　The first vibration mode of link 1

圖10　桿1二階振動(dòng)模態(tài)Fig.10　The second vibration mode of link 1

圖11　桿2一階振動(dòng)模態(tài)Fig.11　The first vibration mode of link 2

圖12　桿2二階振動(dòng)模態(tài)Fig.12　The second vibration mode of link 2

圖13　輸入力矩Fig.13　The input torque

從仿真結(jié)果可以看出，在有著較大初始誤差的情況下，所設(shè)計(jì)的基于奇異攝動(dòng)理論的復(fù)合控制器能夠快速跟蹤上載體姿態(tài)、關(guān)節(jié)鉸期望軌跡，同時(shí)也使柔性臂的振動(dòng)得到了有效的抑制。

5結(jié)論

1)本文利用拉格朗日方程并結(jié)合系統(tǒng)總質(zhì)心定義，建立了一個(gè)具有兩個(gè)柔性臂的飄浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。

2)在有較大初始誤差的情況下，對(duì)飄浮基柔性空間機(jī)械臂進(jìn)行PID控制，使載體姿態(tài)、機(jī)械臂桿件關(guān)節(jié)軌跡快速而穩(wěn)定地追蹤上機(jī)械臂期望的運(yùn)動(dòng)軌跡。但是系統(tǒng)始終存在比較大的周期性振動(dòng)。

3)利用奇異攝動(dòng)法，將這個(gè)柔性空間機(jī)械臂系統(tǒng)分解為一個(gè)慢變子系統(tǒng)和一個(gè)柔性臂快變子系統(tǒng)。對(duì)慢變子系統(tǒng)設(shè)計(jì)PID子控制器跟蹤載體姿態(tài)和關(guān)節(jié)期望軌跡，對(duì)柔性臂快變子系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)最優(yōu)線性子控制器來(lái)抑制柔性臂的振動(dòng)。然后將慢變子控制器與柔性臂快變子控制器組合成一個(gè)復(fù)合控制器。在有著較大初始誤差的情況下，這個(gè)基于奇異攝動(dòng)理論設(shè)計(jì)出的復(fù)合控制器能夠快速跟蹤上載體姿態(tài)、機(jī)械臂關(guān)節(jié)期望軌跡，同時(shí)也使柔性臂的振動(dòng)得到了有效的抑制。這種方法可以推廣到具有任意個(gè)柔性桿的飄浮基空間機(jī)械臂系統(tǒng)中。

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Vibration Analysis and Suppression of Free-floating Space Manipulator with Two Flexible Links

YU Xiaoyan1,2, CHEN Li1

(1.School of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fujian 350116, China;2. Fujian Provincial Collaborative Innovation Center for High-end Equipment Manufacturing,Fuzhou University, Fuzhou 350116, China)

Abstract:A free-floating flexible space manipulator with two flexible links was presented in this paper. The dynamical Lagrange equation was established and the flexible links’ vibration was analyzed. Then a singularly perturbed model was formulated and applied to the design of a reduced-order controller. This controller consists of a rigid control component and a fast control component. The rigid subsystem controller will track the desired trajectories of the base attitude and the joints. The flexible-link fast subsystem controller will damp out the vibration of the flexible links. Numerical simulations showed that the links’ vibration was stabilized effectively with good tracking performance.

Key words:free-floating flexible space manipulator; controlled base attitude; singular perturbation approach; vibration analysis; vibration suppression

收稿日期：2014-09-12；修回日期：2016-04-27

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11372073，11072061)；福建省自然科學(xué)基金(2016J01228)

作者簡(jiǎn)介：于瀟雁(1974-)，女，博士，副教授，研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)學(xué)、空間機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與非線性控制。E-mail：cool09@163.com

中圖分類號(hào)：TP241

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674-5825(2016)03-0354-07