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        帶你走進(jìn)“圖形旋轉(zhuǎn)”中考題

        2016-06-01 03:25:01徐永清
        初中生世界 2016年22期
        關(guān)鍵詞:繞點(diǎn)逆時(shí)針等腰三角

        徐永清

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        帶你走進(jìn)“圖形旋轉(zhuǎn)”中考題

        徐永清

        中心對(duì)稱圖形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,也是歷年中考的熱點(diǎn).所涉及的圖形旋轉(zhuǎn)變換題又是中考的一大難點(diǎn),現(xiàn)結(jié)合中考試題舉例說(shuō)明,供同學(xué)們參考.

        【走進(jìn)中考】在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到等腰Rt△AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤180°),記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P.

        (1)如圖1,當(dāng)α=90°時(shí),線段BD1的長(zhǎng)等于_______,線段CE1的長(zhǎng)等于_______;(直接填寫結(jié)果)

        (2)如圖2,當(dāng)α=135°時(shí),求證:BD1= CE1,且BD1⊥CE1.

        圖1

        圖2

        【分析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別得出BD1的長(zhǎng)和CE1的長(zhǎng);

        (2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出,∠D1AB=∠E1AC=135°,進(jìn)而求出△D1AB≌△E1AC (SAS),即可得出答案.

        【解答】(1)∵∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),∴AE=AD=2,

        ∵等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到等腰Rt△AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤180°),

        (2)當(dāng)α=135°時(shí),如圖2,∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到,

        ∴AD1=AE1,∠D1AB=∠E1AC=135°,

        ∴△D1AB≌△E1AC(SAS),

        ∴BD1=CE1,

        且∠D1BA=∠E1CA,記直線BD1與AC交于點(diǎn)F,

        ∴∠BFA=∠CFP,

        ∴∠CPF=∠FAB=90°,∴BD1⊥CE1.

        【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了幾何變換以及等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí),根據(jù)題意證出△D1AB≌△E1AC是解題的關(guān)鍵.

        【回歸教材】蘇科版八(下)第91頁(yè)復(fù)習(xí)鞏固第4題

        如圖3,△ABC和△ADE都是頂角為45°的等腰三角形,BC,DE分別是這兩個(gè)等腰三角形的底邊.圖中△ACE可以看成由哪個(gè)三角形通過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的?證明△ACE與這個(gè)三角形全等.

        圖3

        【分析】本題根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)和等腰三角形的性質(zhì),可以得到△ACE≌△ABD.

        【解答】如圖3中△ACE可以看成由△ABD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的.

        ∵△ABC和△ADE都是頂角為45°的等腰三角形,

        ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=45°.

        ∴∠BAD=∠CAE.

        ∴△ACE≌△ABD(SAS).

        【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)以及等腰三角形的性質(zhì),比較容易解決.

        【變式訓(xùn)練】如圖:兩個(gè)等腰Rt△ABC、△DEF,將△DEF繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

        (1)如圖4,若DF與AC在同一條直線上時(shí),連接BF、AE,請(qǐng)問(wèn)它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

        圖4

        圖5

        (2)如圖5,若DF落到了△ABC的形內(nèi),結(jié)論還成立嗎?

        (3)如圖6,若DF落到了△ABC的形外,結(jié)論還成立嗎?

        【分析】本題是一道幾何圖形的變換題,主要考查旋轉(zhuǎn)變換中全等三角形的判定與性質(zhì).當(dāng)DF落到了△ABC的形內(nèi)、形外時(shí),我們可由圖形變換中的一些本質(zhì)屬性完成結(jié)論的證明.

        圖6

        【解答】(1)∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,

        ∴AC=BC,DE=DF,∠BCA=∠EDF=90°.

        ∴△BCF≌△ACE(SAS),∴BF=AE.

        (2)∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,

        ∴AC=BC,DE=DF,∠BCA=∠ECF=90°.

        ∵∠BCF=∠BCA-∠ACF=90°-∠ACF,∠ACE=∠ECF-∠ACF=90°-∠ACF,

        ∴∠BCF=∠ACE.

        ∴△BCF≌△ACE(SAS),∴BF=AE.

        (3)∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,

        ∴AC=BC,DE=DF,∠BCA=∠ECF=90°.

        ∵∠BCF=∠BCA+∠ACF=90°+∠ACF,∠ACE=∠ECF+∠ACF=90°+∠ACF,

        ∴∠BCF=∠ACE.

        ∴△BCF≌△ACE(SAS),∴BF=AE.

        【點(diǎn)評(píng)】本題抓住圖形旋轉(zhuǎn)中的一般規(guī)律,點(diǎn)動(dòng)形變、方法不變的本質(zhì),即證明△BCF≌△ACE(SAS).其實(shí)圖中的這兩條線段所在的直線始終保持垂直的位置關(guān)系,請(qǐng)同學(xué)們不妨試著完成證明.

        【名題欣賞】如圖7,△ABC與△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且點(diǎn)D在AB邊上,AB、EF的中點(diǎn)均為O,連接BF、CD、CO,顯然點(diǎn)C、F、O在同一條直線上.

        (1)證明BF=CD;

        (2)將圖7中的Rt△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到圖8,猜想此時(shí)線段BF與CD的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

        圖7

        圖8

        【分析】本題是一道幾何綜合題,考查了旋轉(zhuǎn)變換中全等三角形的判定與性質(zhì).解題關(guān)鍵是:第一,善于發(fā)現(xiàn)幾何變換中不變的邏輯關(guān)系,即△BOF≌△COD;第二,熟練運(yùn)用等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì).本題(1)(2)問(wèn)的解題思路一脈相承,有利于同學(xué)們進(jìn)行學(xué)習(xí)與探究.

        【解答】(1)如圖7所示,∵△ABC為等腰直角三角形,點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn),

        ∴OB=OC,∠BOC=90°.

        ∵△DEF為等腰直角三角形,點(diǎn)O為斜邊EF的中點(diǎn),

        ∴OF=OD,∠DOF=90°.

        ∴∠BOF=∠COD=90°.

        ∴△BOF≌△COD(SAS),∴BF=CD.

        (2)猜想:BF=CD,BF⊥CD.

        如圖9所示,連接OC、OD,延長(zhǎng)BF交CD于點(diǎn)G.

        ∵△ABC為等腰直角三角形,點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn),

        圖9

        ∴OB=OC,

        ∠BOC=90°.

        ∵△DEF為等腰直角三角形,

        點(diǎn)O為斜邊EF的中點(diǎn),

        ∴OF=OD,∠DOF=90°.

        ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,

        ∴∠BOF=∠COD.

        ∴△BOF≌△COD(SAS),∴BF=CD,

        ∠ABF=∠DCO.

        ∵∠ABF+∠1+∠BOC=∠DCO+∠2+ ∠BGC=180°,

        ∴∠BGC=∠BOC=90°,即BF⊥CD.

        【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換,抓住幾何變換中的一些變與不變的解題思路,這對(duì)以后的學(xué)習(xí)與探究很有幫助.

        (作者單位:江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校)

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