徐永清
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帶你走進(jìn)“圖形旋轉(zhuǎn)”中考題
徐永清
中心對(duì)稱圖形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,也是歷年中考的熱點(diǎn).所涉及的圖形旋轉(zhuǎn)變換題又是中考的一大難點(diǎn),現(xiàn)結(jié)合中考試題舉例說(shuō)明,供同學(xué)們參考.
【走進(jìn)中考】在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到等腰Rt△AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤180°),記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P.
(1)如圖1,當(dāng)α=90°時(shí),線段BD1的長(zhǎng)等于_______,線段CE1的長(zhǎng)等于_______;(直接填寫結(jié)果)
(2)如圖2,當(dāng)α=135°時(shí),求證:BD1= CE1,且BD1⊥CE1.
圖1
圖2
【分析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別得出BD1的長(zhǎng)和CE1的長(zhǎng);
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出,∠D1AB=∠E1AC=135°,進(jìn)而求出△D1AB≌△E1AC (SAS),即可得出答案.
【解答】(1)∵∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),∴AE=AD=2,
∵等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到等腰Rt△AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤180°),
(2)當(dāng)α=135°時(shí),如圖2,∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到,
∴AD1=AE1,∠D1AB=∠E1AC=135°,
∴△D1AB≌△E1AC(SAS),
∴BD1=CE1,
且∠D1BA=∠E1CA,記直線BD1與AC交于點(diǎn)F,
∴∠BFA=∠CFP,
∴∠CPF=∠FAB=90°,∴BD1⊥CE1.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了幾何變換以及等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí),根據(jù)題意證出△D1AB≌△E1AC是解題的關(guān)鍵.
【回歸教材】蘇科版八(下)第91頁(yè)復(fù)習(xí)鞏固第4題
如圖3,△ABC和△ADE都是頂角為45°的等腰三角形,BC,DE分別是這兩個(gè)等腰三角形的底邊.圖中△ACE可以看成由哪個(gè)三角形通過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的?證明△ACE與這個(gè)三角形全等.
圖3
【分析】本題根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)和等腰三角形的性質(zhì),可以得到△ACE≌△ABD.
【解答】如圖3中△ACE可以看成由△ABD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的.
∵△ABC和△ADE都是頂角為45°的等腰三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=45°.
∴∠BAD=∠CAE.
∴△ACE≌△ABD(SAS).
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)以及等腰三角形的性質(zhì),比較容易解決.
【變式訓(xùn)練】如圖:兩個(gè)等腰Rt△ABC、△DEF,將△DEF繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).
(1)如圖4,若DF與AC在同一條直線上時(shí),連接BF、AE,請(qǐng)問(wèn)它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?
圖4
圖5
(2)如圖5,若DF落到了△ABC的形內(nèi),結(jié)論還成立嗎?
(3)如圖6,若DF落到了△ABC的形外,結(jié)論還成立嗎?
【分析】本題是一道幾何圖形的變換題,主要考查旋轉(zhuǎn)變換中全等三角形的判定與性質(zhì).當(dāng)DF落到了△ABC的形內(nèi)、形外時(shí),我們可由圖形變換中的一些本質(zhì)屬性完成結(jié)論的證明.
圖6
【解答】(1)∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,DE=DF,∠BCA=∠EDF=90°.
∴△BCF≌△ACE(SAS),∴BF=AE.
(2)∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,DE=DF,∠BCA=∠ECF=90°.
∵∠BCF=∠BCA-∠ACF=90°-∠ACF,∠ACE=∠ECF-∠ACF=90°-∠ACF,
∴∠BCF=∠ACE.
∴△BCF≌△ACE(SAS),∴BF=AE.
(3)∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,DE=DF,∠BCA=∠ECF=90°.
∵∠BCF=∠BCA+∠ACF=90°+∠ACF,∠ACE=∠ECF+∠ACF=90°+∠ACF,
∴∠BCF=∠ACE.
∴△BCF≌△ACE(SAS),∴BF=AE.
【點(diǎn)評(píng)】本題抓住圖形旋轉(zhuǎn)中的一般規(guī)律,點(diǎn)動(dòng)形變、方法不變的本質(zhì),即證明△BCF≌△ACE(SAS).其實(shí)圖中的這兩條線段所在的直線始終保持垂直的位置關(guān)系,請(qǐng)同學(xué)們不妨試著完成證明.
【名題欣賞】如圖7,△ABC與△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且點(diǎn)D在AB邊上,AB、EF的中點(diǎn)均為O,連接BF、CD、CO,顯然點(diǎn)C、F、O在同一條直線上.
(1)證明BF=CD;
(2)將圖7中的Rt△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到圖8,猜想此時(shí)線段BF與CD的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
圖7
圖8
【分析】本題是一道幾何綜合題,考查了旋轉(zhuǎn)變換中全等三角形的判定與性質(zhì).解題關(guān)鍵是:第一,善于發(fā)現(xiàn)幾何變換中不變的邏輯關(guān)系,即△BOF≌△COD;第二,熟練運(yùn)用等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì).本題(1)(2)問(wèn)的解題思路一脈相承,有利于同學(xué)們進(jìn)行學(xué)習(xí)與探究.
【解答】(1)如圖7所示,∵△ABC為等腰直角三角形,點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn),
∴OB=OC,∠BOC=90°.
∵△DEF為等腰直角三角形,點(diǎn)O為斜邊EF的中點(diǎn),
∴OF=OD,∠DOF=90°.
∴∠BOF=∠COD=90°.
∴△BOF≌△COD(SAS),∴BF=CD.
(2)猜想:BF=CD,BF⊥CD.
如圖9所示,連接OC、OD,延長(zhǎng)BF交CD于點(diǎn)G.
∵△ABC為等腰直角三角形,點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn),
圖9
∴OB=OC,
∠BOC=90°.
∵△DEF為等腰直角三角形,
點(diǎn)O為斜邊EF的中點(diǎn),
∴OF=OD,∠DOF=90°.
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
∴△BOF≌△COD(SAS),∴BF=CD,
∠ABF=∠DCO.
∵∠ABF+∠1+∠BOC=∠DCO+∠2+ ∠BGC=180°,
∴∠BGC=∠BOC=90°,即BF⊥CD.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換,抓住幾何變換中的一些變與不變的解題思路,這對(duì)以后的學(xué)習(xí)與探究很有幫助.
(作者單位:江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校)