徐永清

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帶你走進(jìn)“圖形旋轉(zhuǎn)”中考題

徐永清

中心對(duì)稱圖形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是歷年中考的熱點(diǎn).所涉及的圖形旋轉(zhuǎn)變換題又是中考的一大難點(diǎn)，現(xiàn)結(jié)合中考試題舉例說(shuō)明，供同學(xué)們參考.

【走進(jìn)中考】在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn).若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°<α≤180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P.

（1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，線段BD1的長(zhǎng)等于_______，線段CE1的長(zhǎng)等于_______；（直接填寫結(jié)果）

（2）如圖2，當(dāng)α=135°時(shí)，求證：BD1= CE1，且BD1⊥CE1.

圖1

圖2

【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別得出BD1的長(zhǎng)和CE1的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，進(jìn)而求出△D1AB≌△E1AC （SAS），即可得出答案.

【解答】（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴AE=AD=2，

∵等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α≤180°），

（2）當(dāng)α=135°時(shí)，如圖2，∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到，

∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，

∴△D1AB≌△E1AC（SAS），

∴BD1=CE1，

且∠D1BA=∠E1CA，記直線BD1與AC交于點(diǎn)F，

∴∠BFA=∠CFP，

∴∠CPF=∠FAB=90°，∴BD1⊥CE1.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了幾何變換以及等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意證出△D1AB≌△E1AC是解題的關(guān)鍵.

【回歸教材】蘇科版八（下）第91頁(yè)復(fù)習(xí)鞏固第4題

如圖3，△ABC和△ADE都是頂角為45°的等腰三角形，BC，DE分別是這兩個(gè)等腰三角形的底邊.圖中△ACE可以看成由哪個(gè)三角形通過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的？證明△ACE與這個(gè)三角形全等.

圖3

【分析】本題根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)和等腰三角形的性質(zhì)，可以得到△ACE≌△ABD.

【解答】如圖3中△ACE可以看成由△ABD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的.

∵△ABC和△ADE都是頂角為45°的等腰三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=45°.

∴∠BAD=∠CAE.

∴△ACE≌△ABD（SAS）.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)以及等腰三角形的性質(zhì)，比較容易解決.

【變式訓(xùn)練】如圖：兩個(gè)等腰Rt△ABC、△DEF，將△DEF繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

（1）如圖4，若DF與AC在同一條直線上時(shí)，連接BF、AE，請(qǐng)問(wèn)它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

圖4

圖5

（2）如圖5，若DF落到了△ABC的形內(nèi)，結(jié)論還成立嗎？

（3）如圖6，若DF落到了△ABC的形外，結(jié)論還成立嗎？

【分析】本題是一道幾何圖形的變換題，主要考查旋轉(zhuǎn)變換中全等三角形的判定與性質(zhì).當(dāng)DF落到了△ABC的形內(nèi)、形外時(shí)，我們可由圖形變換中的一些本質(zhì)屬性完成結(jié)論的證明.

圖6

【解答】（1）∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，DE=DF，∠BCA=∠EDF=90°.

∴△BCF≌△ACE（SAS），∴BF=AE.

（2）∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，DE=DF，∠BCA=∠ECF=90°.

∵∠BCF=∠BCA-∠ACF=90°-∠ACF，∠ACE=∠ECF-∠ACF=90°-∠ACF，

∴∠BCF=∠ACE.

∴△BCF≌△ACE（SAS），∴BF=AE.

（3）∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，DE=DF，∠BCA=∠ECF=90°.

∵∠BCF=∠BCA+∠ACF=90°+∠ACF，∠ACE=∠ECF+∠ACF=90°+∠ACF，

∴∠BCF=∠ACE.

∴△BCF≌△ACE（SAS），∴BF=AE.

【點(diǎn)評(píng)】本題抓住圖形旋轉(zhuǎn)中的一般規(guī)律，點(diǎn)動(dòng)形變、方法不變的本質(zhì)，即證明△BCF≌△ACE（SAS）.其實(shí)圖中的這兩條線段所在的直線始終保持垂直的位置關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們不妨試著完成證明.

【名題欣賞】如圖7，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且點(diǎn)D在AB邊上，AB、EF的中點(diǎn)均為O，連接BF、CD、CO，顯然點(diǎn)C、F、O在同一條直線上.

（1）證明BF=CD；

（2）將圖7中的Rt△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到圖8，猜想此時(shí)線段BF與CD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖7

圖8

【分析】本題是一道幾何綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換中全等三角形的判定與性質(zhì).解題關(guān)鍵是：第一，善于發(fā)現(xiàn)幾何變換中不變的邏輯關(guān)系，即△BOF≌△COD；第二，熟練運(yùn)用等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì).本題（1）（2）問(wèn)的解題思路一脈相承，有利于同學(xué)們進(jìn)行學(xué)習(xí)與探究.

【解答】（1）如圖7所示，∵△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，

∴OB=OC，∠BOC=90°.

∵△DEF為等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊EF的中點(diǎn)，

∴OF=OD，∠DOF=90°.

∴∠BOF=∠COD=90°.

∴△BOF≌△COD（SAS），∴BF=CD.

（2）猜想：BF=CD，BF⊥CD.

如圖9所示，連接OC、OD，延長(zhǎng)BF交CD于點(diǎn)G.

∵△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，

圖9

∴OB=OC，

∠BOC=90°.

∵△DEF為等腰直角三角形，

點(diǎn)O為斜邊EF的中點(diǎn)，

∴OF=OD，∠DOF=90°.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD.

∴△BOF≌△COD（SAS），∴BF=CD，

∠ABF=∠DCO.

∵∠ABF+∠1+∠BOC=∠DCO+∠2+ ∠BGC=180°，

∴∠BGC=∠BOC=90°，即BF⊥CD.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，抓住幾何變換中的一些變與不變的解題思路，這對(duì)以后的學(xué)習(xí)與探究很有幫助.

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校）