萬(wàn)中杰

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中考題中的幾何變換

萬(wàn)中杰

幾何變換作為重要的研究手段和方法，在探索與發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)與圖形的關(guān)系等方面有著極為廣泛的應(yīng)用.幾何變換包括圖形的平移、翻折與旋轉(zhuǎn).近幾年中考中，出現(xiàn)了大量與此相關(guān)的問(wèn)題.“平移、翻折與旋轉(zhuǎn)”刻畫(huà)的是兩個(gè)全等圖形特定的位置關(guān)系，任何圖形通過(guò)“平移、翻折與旋轉(zhuǎn)”后得到的新圖形與原圖形之間僅僅是位置發(fā)生了變化，而圖形的形狀與大小都沒(méi)有變化.下面舉例說(shuō)明.

一、在平移中構(gòu)造與發(fā)現(xiàn)

例1（2015·棗莊）如圖1，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′.

（1）證明△A′AD′≌△CC′B；

（2）若∠ACB=30°，試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)C′在線段AC上的什么位置時(shí)，四邊形ABC′D′是菱形，并請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

【解析】（1）矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′得A′D′=BC=AD，A′D′∥AD∥BC，AA′=CC′，∴∠D′A′C′=∠BCA，∴△A′AD′≌△CC′B.

（2）當(dāng)點(diǎn)C′是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABC′D′是菱形，理由如下：

【點(diǎn)評(píng)】決定平移前后圖形位置的兩個(gè)基本因素是平移的方向和距離，本題通過(guò)“平移不改變圖形的形狀和大小”的性質(zhì)，再結(jié)合平移前后圖形的相應(yīng)位置進(jìn)行分析、綜合、探究與解答.

二、在翻折中體驗(yàn)與發(fā)現(xiàn)

例2（2015·揚(yáng)州）如圖2，將?ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線l折疊，使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D′處，折痕l交CD邊于點(diǎn)E，連接BE.

（1）求證：四邊形BCED′是平行四邊形；

（2）若BE平分∠ABC，求證：AB2=AE2+ BE2.

圖2

【思路點(diǎn)撥】（1）利用翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，我們有∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，進(jìn)而利用平行四邊形的判定方法得出四邊形DAD′E是平行四邊形，進(jìn)而求出四邊形BCED′是平行四邊形；

（2）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出答案.

證明：（1）∵將?ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線l折疊，使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D′處，

∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，

∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，

∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，

∴∠DAD′=∠DED′，

∴四邊形DAD′E是平行四邊形，

∴DE=AD′，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴CE=D′B，CE∥D′B，

∴四邊形BCED′是平行四邊形；

（2）∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠EBA，

∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，

∵∠DAE=∠BAE，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠AEB=90°，

∴AB2=AE2+BE2.

【點(diǎn)評(píng)】圖形的折疊問(wèn)題是近幾年中考試題常見(jiàn)題型.在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要明白折痕兩邊的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，然后再利用軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)解題.它要求我們能根據(jù)題目中的折疊發(fā)現(xiàn)其中的變量與不變量，或者變化的趨勢(shì)與內(nèi)在聯(lián)系，挖掘其中隱含的規(guī)律或相關(guān)的結(jié)論.

三、在旋轉(zhuǎn)中構(gòu)造與探究

例3（2015·甘南州）如圖3，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB= ∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB、BC分別交于M、H.

（1）求證：CF=CH；

（2）如圖4，△ABC不動(dòng)，將△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到∠BCE=45°時(shí)，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結(jié)論.

圖3

圖4

【思路點(diǎn)撥】（1）要證明CF=CH，可先證明△BCF≌△ECH，由∠ACB=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，從而得出結(jié)論；

（2）根據(jù)△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到∠BCE= 45°，推出四邊形ACDM是平行四邊形，又由AC=CD，從而判斷出四邊形ACDM是菱形.

【解析】（1）證明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°.

在△BCF和△ECH中，

∴△BCF≌△ECH（ASA），

∴CF=CH（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；

（2）解：四邊形ACDM是菱形.

證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，

∠BCE=45°，

∴∠1=∠2=45°.

∵∠E=45°，∴∠1=∠E，

∴AC∥DE，

∴∠AMH=180°-∠A=135°=∠ACD，

又∵∠A=∠D=45°，

∴四邊形ACDM是平行四邊形（兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形），

∵AC=CD，∴四邊形ACDM是菱形.

【點(diǎn)評(píng)】在旋轉(zhuǎn)變換中要把握好三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)方向，對(duì)于圖形的旋轉(zhuǎn)變換，在變化過(guò)程中的不變量、變化量以及由此構(gòu)造出的新圖形的形狀、位置、大小關(guān)系要引起高度重視.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是以聯(lián)系、發(fā)展的動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)，捕捉和確定某些特殊的圖形或位置，這樣就可以找到解題思路.

例4已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG.

（1）求證：EG=CG；

（2）將圖5（1）中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖5（2）所示，取DF的中點(diǎn)G，連接EG、CG.問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖5（1）

圖5（2）

（3）將圖5（1）中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖5 （3）所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）

圖5（3）

【思路點(diǎn)撥】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以證出EG= CG；

（2）△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，充分利用G為DF中點(diǎn)，通過(guò)添加輔助線，分別構(gòu)造△DMG≌△FNG，△DAG≌△DCG，△AMG≌△ENG，從而得證；

【解析】（1）證明：在Rt△FCD中，

∵G為DF的中點(diǎn)，

∴CG=EG.

（2）（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG.

圖6

連接AG，過(guò)G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn).

在△DAG與△DCG中，

∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴△DAG≌△DCG.∴AG=CG.

在△DMG與△FNG中，

∵∠DGM=∠FGN，F(xiàn)G=DG，∠MDG= ∠NFG，

∴△DMG≌△FNG.∴MG=NG.

在矩形AENM中，AM=EN.

在Rt△AMG與Rt△ENG中，

∵AM=EN，MG=NG，

∴△AMG≌△ENG，

∴AG=EG.∴EG=CG.

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立，即EG= CG.其他的結(jié)論還有：EG⊥CG.

圖7

【點(diǎn)評(píng)】充分挖掘相關(guān)圖形的信息，關(guān)注圖形的性質(zhì)、定理，把題目中的某些隱含條件挖掘出來(lái)，并適當(dāng)添加輔助線，化一般為特殊，化未知為已知，用從特殊到一般的思想，歸納猜想出結(jié)論.

對(duì)于“平移、翻折與旋轉(zhuǎn)”這一類(lèi)的問(wèn)題，我們要緊緊抓?。鹤儞Q后的圖形，其形狀不改變，大小不改變，只是位置發(fā)生改變.因此要通過(guò)尋找全等的圖形，找到其中線（角）之間的聯(lián)系，從而得出結(jié)論.