李建華

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中心對(duì)稱貫穿始終

李建華

本章以中心對(duì)稱為主線，從探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，過渡到中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形，進(jìn)而到中心對(duì)稱圖案的設(shè)計(jì)；接著研究屬于中心對(duì)稱的四邊形——平行四邊形及特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的概念、性質(zhì)及判定；最后從中心對(duì)稱的角度研究了三角形中位線的性質(zhì).從生活到實(shí)踐，從實(shí)踐到探索，從探索到發(fā)現(xiàn)，從發(fā)現(xiàn)到歸納，再把歸納得到的結(jié)論用來解決問題.

一、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

例1如圖1，在正方形網(wǎng)格中有△ABC，△ABC繞O點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖案應(yīng)該是（）.

圖1

【解析】根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：“一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.”分別找到點(diǎn)A、B、C繞O點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，從而選擇A.

二、中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形

例2（1）（2015·甘孜）如圖2，下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的為（）.

圖2

（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，若△ABC與△A1B1C1關(guān)于E點(diǎn)成中心對(duì)稱，則對(duì)稱中心E點(diǎn)的坐標(biāo)是（）.

圖3

A.（3，-1）B.（0，0）

C.（2，-1）D.（-1，3）

【解析】（1）本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念，要注意與軸對(duì)稱圖形概念的區(qū)別.識(shí)別軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形沿對(duì)稱軸折疊后兩部分可重合；識(shí)別中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合.答案：B.

（2）本題考查了中心對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)稱點(diǎn)的連線經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分.確定E點(diǎn)位置是關(guān)鍵.連接對(duì)稱點(diǎn)AA1、CC1，因?yàn)閷?duì)稱點(diǎn)的連線經(jīng)過對(duì)稱中心，則AA1與CC1的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心E點(diǎn)，在坐標(biāo)系內(nèi)確定出其坐標(biāo).答案：（3，-1）.

三、平行四邊形與矩形、菱形、正方形

例3（1）（2015·福建）如圖4，在?ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.

A. AB∥CD B. AB=CD

C. AC=BD D. OA=OC

圖4

圖5

圖6

（2）（2015·益陽）如圖5，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，以下說法錯(cuò)誤的是（）.

A.∠ABC=90°B. AC=BD

C. OA=OB D. OA=AD

（3）如圖6，在菱形ABCD中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.

A. BO=DO

B.∠DAC=∠BAC

C. AC⊥BD

D. AO=DO

（4）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師和同學(xué)們判斷一個(gè)四邊形門框是否為矩形，下面是一個(gè)學(xué)習(xí)小組擬定的方案，其中正確的是（）.

A.測量對(duì)角線是否相互平分

B.測量兩組對(duì)邊是否分別相等

C.測量對(duì)角線是否相等

D.測量其中三個(gè)角是否都為直角

【解析】本題考查了平行四邊形與矩形、菱形的性質(zhì)及判定，理解并熟記性質(zhì)及判定定理是解題的關(guān)鍵.平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分；矩形的四個(gè)角都是直角、對(duì)角線相等；菱形的四條邊相等、對(duì)角線互相垂直.一組對(duì)邊平行且相等或兩組對(duì)邊分別相等或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形；有三個(gè)角是直角的四邊形或?qū)蔷€相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形或?qū)蔷€互相垂直的平行四邊形是菱形.同時(shí)，注意任何一個(gè)圖形的定義既是判定定理，也是性質(zhì).故答案為：（1）C；（2）D；（3）D；（4）D.

例4（2015·南京）如圖7，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接EF，∠AEF、∠CFE的平分線交于點(diǎn)G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點(diǎn)H.

（1）求證：四邊形EGFH是矩形；

（2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索，過G作MN∥EF，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，過H作PQ∥EF，分別交AB，CD于點(diǎn)P，Q，得到四邊形MNQP，此時(shí)，他猜想四邊形MNQP是菱形，請(qǐng)?jiān)谙铝锌蛑醒a(bǔ)全他的證明思路.

由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證平行四邊形MNQP是菱形，只要證MN=NQ.由已知條件_____________________，MN∥EF，故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH.易證_____________________，________________________，故只要證∠MGE=∠QFH.易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，__________________，即可得證.

圖7

【解析】（1）利用角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠FEH+∠EFH=90°，進(jìn)而得出∠GEH=90°，進(jìn)而有四邊形EGFH是矩形；

（2）利用菱形的判定方法，要證?MNQP是菱形，只需證MN=NQ，易證∠MGE= ∠QFH，即可得出.

例5（2015·荊州）如圖8，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于F.

（1）證明：PC=PE；

（2）求∠CPE的度數(shù)；

（3）如圖9，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當(dāng)∠ABC=120°時(shí)，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖8

圖9

【解析】正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì).

（1）先證出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；

（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP = ∠BCP，進(jìn)而得∠DAP=∠DCP，由PA=PE，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF= ∠EDF=90°得到結(jié)論；

（3）借助（1）和（2）的證明方法容易證明結(jié)論.

四、三角形的中位線

例6如圖10，△ABC的中線BD、CE交于點(diǎn)O，連接OA，點(diǎn)G、F分別為OC、OB的中點(diǎn)，BC=8，AO=6，則四邊形DEFG的周長為（）.

圖10

A. 12 B. 14 C. 16 D. 18

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校）