戴 松

(安徽精益測繪有限公司，安徽 淮南 232000)

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移動最小二乘法在礦區(qū)開采沉陷中的應用探究

戴 松

(安徽精益測繪有限公司，安徽 淮南 232000)

針對開采沉陷地表移動變形監(jiān)測中獲取的不同時間、位置的離散數(shù)據(jù)，采用移動最小二乘法擬合，獲取了在時間和空間上連續(xù)的變形量，更加精確的分析地表移動變形的過程，經過實例檢驗，移動最小二乘法能在不依賴于既定模型的情況下有效利用離散的地表變形數(shù)據(jù)，達到分析及模擬地表移動變形的目的。

移動最小二乘法，開采沉陷，曲線擬合，曲率

0 引言

礦山開采后，開采區(qū)域周圍巖體的原始應力平衡狀態(tài)受到破壞。在應力重新分布，達到新平衡的過程中，巖層和地表產生連續(xù)的移動變形和非連續(xù)的破壞，此種現(xiàn)象叫做開采沉陷[1]。開采沉陷研究的最常用方法為沿沉陷區(qū)傾向及走向主斷面設置觀測站，跟蹤觀測點位的移動以分析地表變形的過程。由于開采沉陷中觀測點位的布設有一定密度，觀測時間有一定間隔，故無法獲取連續(xù)的變形數(shù)據(jù)。為解決此問題通常以概率積分法模型、Knothes時間函數(shù)模型等對實測數(shù)據(jù)進行最小二乘擬合求參，但由于地表移動變形過程的復雜性和模型本身的限制，用固定模型擬合的結果往往難以反映出地表變形的真實情況。移動最小二乘法能夠在缺少已知函數(shù)模型的情況下，充分利用已知數(shù)據(jù)擬合求解未知量，故將其引入開采沉陷數(shù)據(jù)處理中，獲取在時間及空間上連續(xù)的變形數(shù)據(jù)[1,2]。

1 移動最小二乘法

Lancaster和Salkauskas等最先在曲面生成中使用了移動最小二乘法，在擬合區(qū)域的一個局部子域上，擬合函數(shù)f(x)表示為:

f(x)=p(x)Tα(x)

(1)

其中，α(x)為待求系數(shù)，α(x)=[α1(x),α2(x),…,αm(x)]；p(x)為基函數(shù)，在二維曲線擬合中，線性基p(x)=[1,x,y]T，二次基p(x)=[1,x,y,x2,xy,y2]T。根據(jù)最小二乘原理可得：

(2)

其中，w(x-xI)為每個節(jié)點xI的權函數(shù)，選取權函數(shù)時應注意以下幾點：

1)權函數(shù)w(x-xI)應該具有緊支性，也就是權函數(shù)在x的一個子域內不等于0，在這個子域之外全為0，這個子域稱為權函數(shù)的支持域(即x的影響區(qū)域)。

3)權函數(shù)還應具有一定的光滑性，從而使擬合函數(shù)會繼承權函數(shù)的連續(xù)性。

本文權函數(shù)采用三次樣條函數(shù)，三次樣條函數(shù)式如下：

(3)

求解式(2)得到移動最小二乘的擬合結果。此處移動最小二乘的擬合結果并不是一個固定的函數(shù)，而是在擬合范圍內每個節(jié)點的最佳擬合值，相鄰節(jié)點間的距離為步長，可以根據(jù)情況自由設置。

相比于普通最小二乘法移動最小二乘法具有以下優(yōu)點：1)移動最小二乘法的擬合函數(shù)由一個系數(shù)向量α(x)和基函數(shù)p(x)構成，在有大量離散點而缺少現(xiàn)行的函數(shù)模型時仍然適用。2)移動最小二乘法引入了緊支概念，認為點x處的y值受x附近一定范圍內節(jié)點影響，這個范圍稱為影響區(qū)域，并在影響區(qū)域上定義一個權函數(shù)w(x)。這樣在曲線擬合中可以取不同階的基函數(shù)以獲得不同的精度，取不同的權函數(shù)以改變擬合曲線(曲面)的光滑度[3,4]。

2 移動最小二乘法在點位動態(tài)下沉中的應用

地表變形與時間的動態(tài)關系一直是開采沉陷研究的重要內容，1952年波蘭學者Knothe根據(jù)概率積分法建立了Knothe方程以模擬動態(tài)的下沉過程，但由于概率積分法的局限性以及地表變形的不確定性使得其與實際地表變形過程并不完全吻合。在此利用移動最小二乘法結合實際數(shù)據(jù)對點位的動態(tài)下沉過程進行分析[6]。

以淮南謝橋煤礦11316工作面為例，地表變形監(jiān)測工程中在其走向和傾向主斷面上各設置了半條觀測線。在工作面開采前對各觀測站進行了首次全面觀測，并在隨后的兩年時間內定期跟蹤觀測。在獲取的所有數(shù)據(jù)中選取較有代表性的6個點位，以首次全面觀測為起始時間，觀測時間與相應的下沉量如表1所示。

表1 點位觀測時間及下沉量

使用移動最小二乘法對ml54的實測數(shù)據(jù)進行處理，其過程通過Matlab實現(xiàn)，結果得出每個節(jié)點的最佳擬合數(shù)值，即從首次全面觀測到第十五次全面觀測間共729d中每一天的下沉量，如ml54在第300天～第305天的累積下沉量分別為2.122 3m，2.124 5m，2.126 6m，2.128 8m，2.130 9m，2.133 0m。據(jù)此繪制下沉曲線，其結果如圖1所示。

根據(jù)擬合值和擬合殘差計算擬合決定系數(shù)，擬合決定系數(shù)如式(4)所示：

(4)

其中，SSR為擬合值平方和；SSE為殘差平方和。ml28，ml54擬合決定系數(shù)分別為0.997 5,0.998 7，擬合程度較高。

3 移動最小二乘法在主斷面下沉中的應用

地表移動變形監(jiān)測工程中沿傾向主斷面自工作面邊境-30m～270m之間均勻布置了33個觀測點位，將第六次全面觀測即第168天時測量所得的傾向線下沉數(shù)據(jù)列于表2。

表2 第168天傾向線點位及下沉量 m

首先對數(shù)據(jù)進行簡單處理，去除明顯帶有特征性的ms14和ms21。將剩余點位數(shù)據(jù)利用移動最小二乘法處理，其中步長設置為1m，擬合得到傾向主斷面上每隔1m的下沉數(shù)據(jù)，繪制圖像如圖2所示。

擬合決定系數(shù)R2=0.999 3，對解算數(shù)據(jù)進行分析，得出最大下沉值位于走向線218m處，下沉量23.6mm，傾向主斷面最大斜率為2.5mm/m，位于傾向線85m處，最小值-3.9mm/m，位于傾向線270m處。借由此數(shù)據(jù)可進一步求取每點的曲率，此處不再贅述[7]。

4 結語

1)移動最小二乘法并不依賴于既定的模型，而充分利用實測數(shù)據(jù)對地表變形進行分析，能更好的體現(xiàn)不同工作面的特征性，為不同條件下的開采沉陷積累數(shù)據(jù)經驗。

2)相比于直接利用離散的實測變形量演算地表移動規(guī)律，移動最小二乘法可以通過設置步長獲取不同密度的節(jié)點數(shù)據(jù)，在保證數(shù)據(jù)精度的同時求取開采沉陷區(qū)詳細的下沉量、下沉速度、加速度、斜率、曲率等數(shù)據(jù)，其在預計模型生成，災害預測、防治中具有重要的意義。

3)移動最小二乘法可根據(jù)需要改變基函數(shù)及權函數(shù)的種類以提高精度，縮放影響半徑調節(jié)擬合曲線的準確度及光滑程度，改變節(jié)點步長大小以確定求解數(shù)據(jù)的密度，從而更好的適應開采沉陷數(shù)據(jù)分析的需要。

[1] 何國清,楊 倫,凌賡娣,等.礦山開采沉陷學[M].徐州:中國礦業(yè)大學出版社,1995.

[2] 國家煤炭工業(yè)部.建筑物、水體、鐵路及主要井巷煤柱留設與壓煤開采規(guī)程[M].北京:煤炭工業(yè)出版社,2005.

[3] 程玉民.移動最小二乘法研究進展與述評[J].計算機輔助工程,2009(2):5-11,20.

[4] 王聚豐.插值型移動最小二乘法及其無網格方法的誤差估計[D].上海：上海大學,2013.

[5] 曾清紅,盧德唐.基于移動最小二乘法的曲線曲面擬合[J].工程圖學學報,2004(1):84-89.

[6] 陳俊杰,王 禮,郭延濤.基于概率積分法的礦山地表移動觀測[J].測繪科學,2014(3):146-148,152.

[7] 張華興.開采沉陷預測的標準化[J].煤礦開采,2014(1):1-2，20.

[8] 王麗男.開采沉陷動態(tài)預計模型研究[D].阜新：遼寧工程技術大學,2013.

Applicationofmovingleastsquaresmethodinminingsubsidence

DaiSong

(AnhuiLeanSurveyingandMappingLimited-LiabilityCompany,Huainan232000,China)

In order to analysis surface movement deformation process more accurate, using moving least squares fitting discrete data of different time and location which get from deformation monitoring of mining subsidence, to get continuous deformation in time and space. Result shows that moving least squares can use the discrete data of the surface deformation effectively without a known model, to achieve the objective of the analysis and inversion of surface movement deformation.

moving least square, mining subsidence, curve fitting, curvature

1009-6825(2016)12-0060-02

2016-02-18

戴 松(1963- )，男，工程師

TD823

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