咼林兵

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

鄒新民

(湖北省監(jiān)利中學(xué)，湖北 監(jiān)利 433300)

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實(shí)對(duì)稱矩陣的2種特殊分解及其應(yīng)用

咼林兵

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

鄒新民

(湖北省監(jiān)利中學(xué)，湖北 監(jiān)利 433300)

[摘要]對(duì)稱矩陣有很多特殊的性質(zhì)，其分解形式也有很多種，但較少涉及實(shí)對(duì)稱矩陣與可逆對(duì)稱矩陣尤其是與矩陣的主子式之間的關(guān)系。根據(jù)對(duì)稱矩陣的特點(diǎn)給出了實(shí)對(duì)稱矩陣A的第一種特殊的分解形式A=QTDQ(Q為秩為r的r×n階矩陣，D是r階的可逆對(duì)稱矩陣)，再利用這種分解形式得到了關(guān)于秩為r的n階實(shí)對(duì)稱矩陣的任一r階子式的一個(gè)重要結(jié)論，從而導(dǎo)出了實(shí)對(duì)稱矩陣與主子式相關(guān)的另一種重要分解形式，并給出了這2種分解式在矩陣中的一些應(yīng)用，對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣研究有一定的指導(dǎo)意義。

[關(guān)鍵詞]對(duì)稱矩陣；可逆矩陣；主子式

矩陣的分解形式有許多形式，在很多文獻(xiàn)[1,2]中有新的突破，對(duì)稱矩陣的分解也有新的研究，得到了一些重要結(jié)論[3,4]，但較少涉及實(shí)對(duì)稱矩陣與可逆對(duì)稱矩陣尤其是與矩陣的主子式之間的關(guān)系。下面，筆者利用矩陣的相關(guān)知識(shí)對(duì)此進(jìn)行了研究，得到了實(shí)對(duì)稱矩陣2種特殊的分解形式，并得出了一些重要結(jié)論。

1引理

引理1[5]設(shè)A是秩為r的n階方陣，則必存在n階可逆矩陣P，使得：

式中，B為秩為r的r×n階矩陣。

證明對(duì)秩為r的n階方陣A，必有n階可逆矩陣Q，R[6]，使得：

且B為秩為r的r×n階矩陣。

2主要結(jié)論

定理1設(shè)A是秩為r的n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A必可分解為：

A=QTDQ

式中，Q為秩為r的r×n階矩陣；D是r階的可逆對(duì)稱矩陣。

證明A是秩為r的n階方陣，由引理1可知，存在n階可逆矩陣P使得：

式中，B1為秩為r的r×r階矩陣；B2為r×(n-r)矩陣。

則：

令B1=D，即得A=QTDQ，且其中D為r階的可逆對(duì)稱矩陣。

定理2設(shè)A是秩為r的n階實(shí)對(duì)稱矩陣，對(duì)任意的1≤i1

證明顯然：

式中，ei1表示第i1個(gè)元素為1其他元素均為0的n維單位列向量[7]。

由定理1可知，A有分解式A=QTDQ，其中Q為秩為r的r×n階矩陣，D是r階的可逆對(duì)稱矩陣。

記：

(ei1,ei2,eir)=I(ej1,ej2,…,ejr)=J

則：

Ar=ITQTDQJ

從而：

|Ar|2=|ITQTDQJ|2=|ITQT|2|D|2|QJ|2

由于|ITQT|=|QI|，|JTQT|=|QJ|，則：

|Ar|2=|ITQT||D||QI||JTQT||D||QJ|=|ITQTDQI||JTQTDQJ|=|ITAI||JTAJ|

即：

推論1如果秩為r的n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的所有r階主子式都不等于零，則A的所有r階子式均不等于零。

推論2[8]秩為r的n階實(shí)對(duì)稱矩陣A至少有一個(gè)r階主子式不等于零。

證明由定理2，對(duì)秩為r的n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，有|Ar|2=|AI||Aj|，因矩陣A的秩為r，必有一個(gè)r階子式不等于零，即必至少存在一個(gè)|Ar|≠0，則必至少有一個(gè)|AI|≠0，即至少有一個(gè)r階主子式不等于零。

定理3設(shè)A為秩為r的n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A必可分解為：

A=QTAIQ

另設(shè)T=T(i1,i2,…,ir,ir+1,…,in)=(ei1,ei2,…,eir,eir+1,…,ein)為一n階排列陣，且1≤ir+1

記：

則：

由于A的秩為r，則A的第ir+1,ir+2,…,in行均可由第i1,i2,…,ir行線性表出，即：

air+1,j=k11ai1,j+k12ai2,j+…+k1rair,j

air+2,j=k21ai1,j+k22ai2,j+…+k2rair,j

……

ain,j=k(n-r)1ai1,j+k(n-r)2ai2,j+…+k(n-r)rair,jj=1,2,…,n

當(dāng)j=i1,i2,…,ir時(shí)即有：

當(dāng)j=ir+1,ir+2,in時(shí)有:

因?yàn)锳I為可逆的對(duì)稱矩陣，則：

從而：

因A為對(duì)稱陣，則：

即：

則：

從而：

即：

3結(jié)語

實(shí)對(duì)稱矩陣是一種特殊的矩陣，有很多很好的性質(zhì)。筆者根據(jù)引理得到了與可逆對(duì)稱矩陣相關(guān)的一種對(duì)稱分解形式，進(jìn)一步得到實(shí)對(duì)稱矩陣的子式與其主子式的一個(gè)關(guān)系，最終給出了與矩陣的主子式有關(guān)的實(shí)對(duì)稱矩陣的又一種對(duì)稱分解式，還得到了一些重要的結(jié)論，豐富了矩陣方面的理論,有助于對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣和一般矩陣的進(jìn)一步研究。

[參考文獻(xiàn)]

[1]Stewart G W.The decompositional .approach to matrix[J].Computation computing in Science &Engineering, 2000,2: 50～59.

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[3]宋國鄉(xiāng),馮象初.對(duì)稱矩陣的一種特殊分解[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1990，7(3)：122～126.

[4] 鄒紅星，王殿軍，戴瓊海，等.行或列對(duì)稱矩陣的QR分解[J].中國科學(xué)(A輯)，2002,32(9)：842～849.

[5] 錢吉林.高等代數(shù)題解精粹[M].北京:中央民族大學(xué)出版社,2002:163～172.

[6] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，1988:192～196.

[7] 屠伯塤，徐誠浩，王芬.高等代數(shù)學(xué) [M] .上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1987：24～29.

[8]許甫華，張賢科.高等代數(shù)解題方法[M].北京:清華大學(xué)出版社，2006:108～112.

[編輯]張濤

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號(hào)]1673-1409(2016)13-0007-04

[中圖分類號(hào)]O151.21

[作者簡介]咼林兵(1970-)，男，碩士，副教授，現(xiàn)主要從事矩陣論方面的研究工作；E-mail:843130020@qq.com。

[收稿日期]2016-01-27

[引著格式]咼林兵，鄒新民.實(shí)對(duì)稱矩陣的2種特殊分解及其應(yīng)用[J].長江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版)，2016,13(13)：7～10.