李克娥,余美晨,孫佳偉

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

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基于Copula模型的滬深股指相關(guān)性比較研究

李克娥,余美晨,孫佳偉

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

[摘要]Copula理論(技術(shù))是一種建立在聯(lián)合分布的基礎(chǔ)上,可以按照不同的要求靈活構(gòu)建出所需數(shù)學(xué)模型的函數(shù)理論。由于能夠更好地刻畫出隨機(jī)變量間非線性、非對稱、非正態(tài)的分布特征,Copula理論近20年來被廣泛應(yīng)用于金融領(lǐng)域之中。介紹了多種常用Copula函數(shù)以及主要的相關(guān)性度量指標(biāo),利用多種不同的常規(guī)Copula函數(shù)模型,分別對不同階段滬、深股指日收益率之間的相關(guān)性進(jìn)行了比較研究,并對不同Copula函數(shù)模型之間的擬合效果做了比較。對比分析發(fā)現(xiàn)，“牛市”時2個市場間的相關(guān)性最弱,該階段t-Copula函數(shù)模型的擬合效果最好。

[關(guān)鍵詞]Copula函數(shù); 秩相關(guān)系數(shù); 尾部相關(guān)系數(shù)

股票市場作為一個地區(qū)乃至于國家經(jīng)濟(jì)和金融活動的寒暑表,大量投機(jī)者和投資者活躍在股票市場之中,當(dāng)股票市場出現(xiàn)不良現(xiàn)象例如無貨沽空等,往往會引發(fā)股災(zāi)等各種危害。中國有上海股票交易所和深圳股票交易所2個交易市場,保持2個市場的健康發(fā)展對國內(nèi)經(jīng)濟(jì)發(fā)展至關(guān)重要。根據(jù)股市行情的不同可大致將其劃分為“牛市”、“熊市”、“過渡期”3個階段,在以往關(guān)于滬、深股指之間相關(guān)性的研究中,通常只針對某一時間段的數(shù)據(jù)進(jìn)行整體分析,容易忽略不同階段之間的特點以及差異性。

Copula函數(shù)自20世紀(jì)90年代后期被Rockinger M等應(yīng)用到金融領(lǐng)域,便立即得到廣泛使用[1]。Copula對應(yīng)的中文意思是“連接”,Copula函數(shù)就是一種連接函數(shù)[2]。依據(jù)Sklar的研究成果，利用特定的連接函數(shù)和邊際分布函數(shù)能夠分解任一已知多元分布函數(shù),與之相對應(yīng)的Copula函數(shù)可以被唯一確定,當(dāng)且僅當(dāng)該函數(shù)的邊際分布是連續(xù)函數(shù)的時候[3]。作為一種新的統(tǒng)計分析方法,Copula函數(shù)可以幫助更加方便靈活的研究一些金融方面的問題。目前國內(nèi)對Copula函數(shù)在實際應(yīng)用上的研究雖然做了很多,尤其是相關(guān)性以及金融風(fēng)險分析等領(lǐng)域,不過在實證分析方面的研究并不是很多。下面,筆者結(jié)合前人研究工作的方法和結(jié)果,采用多種常用Copula函數(shù)對不同時間段的滬、深股指日收益率間的相關(guān)性進(jìn)行了對比研究。

1常用Copula函數(shù)

1.1正態(tài)Copula函數(shù)

正態(tài)Copula函數(shù)也被稱為高斯Copula函數(shù),N元正態(tài)Copula函數(shù)[4，5]的表達(dá)式為:

C(u1,u2,…,uN;ρ)=Φρ[Φ-1(u1),Φ-1(u2),…,Φ-1(uN)]

(1)

其密度函數(shù)的表達(dá)式為:

(2)

式中, ρ表示對角線元素全為1的N階對稱正定矩陣；|ρ|為正定矩陣ρ的行列式；Φρ表示相關(guān)系數(shù)矩陣為ρ,并且服從N元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)；Φ-1為Φ(服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù))的反函數(shù)；ξT=[Φ-1(u1),Φ-1(u2),…,Φ-1(uN)]；I為單位矩陣。

1.2 t-Copula函數(shù)

Nelson(1998)在正態(tài)Copula函數(shù)的基礎(chǔ)上,從t分布推導(dǎo)得到多元t-Copula函數(shù)[6]。N元t-Copula函數(shù)的表達(dá)式為:

(3)

其密度函數(shù)的表達(dá)式為:

(4)

1.3阿基米德Copula函數(shù)

在1986年Genest和Mackay[7]才首次提出了阿基米德Copula函數(shù),函數(shù)的具體表達(dá)式為:

(5)

式中,φ(u)表示阿基米德Copula函數(shù)C(u1,u2,…,uN)的生成元,φ(1)=0,對任意u∈[0,1],都有φ′(u)<0,φ″(u)>0;φ-1(u)表示φ(u)的反函數(shù),是在區(qū)間[0,∞)上單調(diào)連續(xù)并且非增的函數(shù)[5]。

阿基米德 Copula函數(shù)由其生成元唯一確定，表1給出了3種常用單參數(shù)二元阿基米德Copula函數(shù)的表達(dá)式。

表1　3種常用單參數(shù)二元阿基米德Copula函數(shù)列表

1.4經(jīng)驗Copula函數(shù)

設(shè)(Xi,Yi)(i=1,2,…,n)是來自總體(X,Y)的樣本,記X,Y的經(jīng)驗分布函數(shù)分別為Fn(x)和Gn(y),定義樣本的經(jīng)驗Copula函數(shù)[8，9]如下:

(6)

式中，I[·]為示性函數(shù)。

2Copula函數(shù)與相關(guān)性度量

目前針對隨機(jī)變量間相關(guān)性的度量方法有很多,通常分為秩相關(guān)系數(shù)法和尾部相關(guān)系數(shù)法,前者一般指的Kendall秩相關(guān)系數(shù)法以及Spearman秩相關(guān)系數(shù)法[10]。Schweizer和Wolff(1981)證明了Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ、Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs均可根據(jù)相應(yīng)的Copula函數(shù)給出[11]。

2.1Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ

令(X1,Y1),(X2,Y2)為二維隨機(jī)向量(X,Y)的組觀測值,若(X1-X2)(Y1-Y2)>0,則稱(X1,Y1)和(X2,Y2)是和諧的(concordant)；若(X1-X2)(Y1-Y2)<0,則稱他們是不和諧的(discordant)。

定義1設(shè)(X1,Y1),(X2,Y2)是二維隨機(jī)向量(X,Y)的2個不同觀測值,P((X1-X2)(Y1-Y2)>0)表示兩者間和諧的概率，P((X1-X2)(Y1-Y2)<0)表示兩者間不和諧的概率,兩者之差就是X與Y的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ,即：

τ=P((X1-X2)(Y1-Y2)>0)-P((X1-X2)(Y1-Y2)<0)

(7)

設(shè)(X1,Y1)為取自總體(X,Y)的樣本,連接函數(shù)為C(u,v),則樣本的Kendall秩相關(guān)系數(shù)：

(8)

Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ度量了變量間的一致性程度。

2.2Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs

定義2 設(shè)(X,Y)與(X0,Y0)相互獨立,(X,Y)有聯(lián)合分布H(X,Y),對應(yīng)的邊緣分布為F(X)與G(Y),X0∈X,Y0∈Y且(X0,Y0)～F(X)G(Y),X與Y的Spearman秩相關(guān)系數(shù)定義如下:

ρs=3[P((X-X0)(Y-Y0)>0)-P((X-X0)(Y-Y0)<0)]

(9)

這里X與Y相互獨立。在對隨機(jī)變量X和Y進(jìn)行單調(diào)性相同的嚴(yán)格變換時,Spearson秩相關(guān)系數(shù)ρs的數(shù)值不會改變。

設(shè)(X,Y)的Copula函數(shù)為C(u,v),u=F(X),v=G(Y) ,則Spearson秩相關(guān)系數(shù)ρs又可以表示為：

(10)

Spearson秩相關(guān)系數(shù)ρs度量了變量間變化的協(xié)調(diào)性。

2.3尾部相關(guān)系數(shù)

對金融風(fēng)險進(jìn)行分析的時候,更需要考慮的問題是：當(dāng)一個隨機(jī)變量X增加(或減少)時,另一個隨機(jī)變量Y是否會隨之增加(或減少)；如果后者受到前者的影響,影響有多大。這時就需要研究隨機(jī)變量之間的尾部相關(guān)性[12]。

定義3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的邊緣分布分別為F(x)和G(y),分別定義:

(11)

(12)式中，λup和λlo分別表示X與Y的上尾相關(guān)系數(shù)和下尾相關(guān)系數(shù)。當(dāng)λup和λlo存在，且λup,λlo∈[0,1],若λup(λlo)>0,則稱隨機(jī)變量X,Y上尾(或下尾)相關(guān);若λup(λlo)=0,則稱隨機(jī)變量X,Y上尾(或下尾)漸近獨立。

常用二元Copula函數(shù)Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ、Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs和尾部相關(guān)系數(shù)λ的解析式見表2。

由表2可知,5種常用Copula函數(shù)模型中,正態(tài)Copula和Frank Copula這2種函數(shù)模型的尾部相關(guān)系數(shù)(上尾λup與下尾λlo)均為0,說明這2種模型無法描述滬深股指之間的尾部相關(guān)性，因此后面研究滬深股指之間尾部相關(guān)性時只需考慮其他3種函數(shù)模型。其中，Gumbel-Copula函數(shù)對變量在上尾部的變化比較敏感,而 Clayton-Copula函數(shù)對變量在下尾部的變化比較敏感。

3實證分析

從上證指數(shù)與深證成指同時期日收益率中各取4組數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來源于網(wǎng)易股票數(shù)據(jù)),跨度分別為2002年1月至2004年1月(前平穩(wěn)期)、2005年10月至2007年10月(暴漲期,牛市)、2007年11月至2009年11月(暴跌期,熊市)、2011年1月至2013年1月(后平穩(wěn)期)各480個數(shù)據(jù)。將4組數(shù)據(jù)分別記為前期、牛市、熊市、后期。

表2　5種常用二元Copula函數(shù)的相關(guān)性度量系數(shù)表達(dá)式

ρ和a都是Copula函數(shù)中的參數(shù)。

3.1相關(guān)系數(shù)的估計及比較分析

借助Matlab軟件,分別計算出4組數(shù)據(jù)的秩相關(guān)系數(shù)和尾部相關(guān)系數(shù),結(jié)果見表3、表4和表5。

表3　各時段Kendall秩相關(guān)系數(shù)

表4　各時段Spearman秩相關(guān)系數(shù)

表5　各時段尾部相關(guān)系數(shù)

由表3和表4可以看出,相對于其他時間段,“牛市”時滬、深股指之間的秩相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)了大幅度的減小,也就是說在“牛市”時,滬、深2個市場收益率間的一致性下降了,其中一個市場的變化對另一個市場的影響較其他階段要弱。從表5可以發(fā)現(xiàn),在t-Copula函數(shù)模型中,滬深股指之間的尾部相關(guān)性呈現(xiàn)出隨著時間的推移而逐步增強(qiáng)的趨勢,其中,從“熊市”到后期的增長幅度要遠(yuǎn)大于之前的增長幅度,這說明金融危機(jī)之后,在國外經(jīng)濟(jì)形勢不容樂觀的情況下,國內(nèi)上市公司之間的聯(lián)系更加緊密,企業(yè)家們將更多的目光關(guān)注到國內(nèi)的市場之中。而Gumbel-Copula與Clayton-Copula這2種函數(shù)模型,則分別細(xì)致地刻劃了滬深股指之間的上尾相關(guān)性和下尾相關(guān)性,與t-Copula函數(shù)模型不同的是,滬深股指之間的上尾或下尾相關(guān)性并沒有呈現(xiàn)出明顯的隨時間推移而增強(qiáng)的趨勢,不過“熊市”時的上尾(下尾)相關(guān)性均強(qiáng)于“牛市”時,進(jìn)一步證實了“牛市”時市場間的聯(lián)系更弱。

再分別將各Copula函數(shù)求出的秩相關(guān)系數(shù)與原始數(shù)據(jù)的秩相關(guān)系數(shù)進(jìn)行對比(越接近原始數(shù)據(jù)的函數(shù)說明其反映的效果越好),對比折線圖分別見圖1、圖2、圖3、圖4。

由于不同函數(shù)的尾部有對稱結(jié)構(gòu)和不對稱結(jié)構(gòu)2種情況,因此將正態(tài)Copula函數(shù)、t-Copula函數(shù)和Frank-Copula函數(shù)(尾部對稱結(jié)構(gòu))與Gumbel-Copula函數(shù)和Clayton-Copula函數(shù)(尾部不對稱結(jié)構(gòu))分開考慮。從圖1、圖2、圖3、圖4中不難看出,就秩相關(guān)性而言,盡管在各時間段5種常用Copula函數(shù)模型的反映效果有些波動,但整體來說正態(tài)Copula函數(shù)的效果要優(yōu)于Frank-Copula函數(shù),后者又好于t-Copula函數(shù); Clayton-Copula函數(shù)的效果則明顯差于Gumbel-Copula函數(shù)。

圖1　對稱尾部的Copula函數(shù)τ值折線圖　　　　圖2　非對稱尾部的Copula函數(shù)τ值折線圖

圖3　對稱尾部的Copula函數(shù)ρs值折線圖 　　　　圖4　非對稱尾部的Copula函數(shù)ρs值折線圖

3.2模型評價

分別求出各Copula函數(shù)與經(jīng)驗Copula函數(shù)的平方歐式距離：

(13)

求出的d2值越小,表示擬合原始數(shù)據(jù)的情況越好,計算結(jié)果見圖5和圖6。

由圖5和圖6不難看出,在平方歐式距離標(biāo)準(zhǔn)下,二元t-Copula模型與正態(tài)Copula模型擬合滬、深兩市日收益率觀測數(shù)據(jù)的效果明顯優(yōu)于Frank-Copula模型;Gumbel-Copula模型則優(yōu)于Clayton-Copula模型。

圖5　對稱尾部的Copula函數(shù)平方距離計算結(jié)果折線圖　圖6　非對稱尾部的Copula函數(shù)平方距離計算結(jié)果折線圖

4結(jié)語

用多種常用Copula函數(shù)模型分別對“前期(過渡期)”、“牛市”、“熊市”、“后期(過渡期)”4個不同時間段的滬、深指數(shù)日收益率間的相關(guān)性進(jìn)行了實證研究。通過對比分析發(fā)現(xiàn),5種常用Copula函數(shù)模型的擬合效果在熊市階段均優(yōu)于牛市階段,這說明牛市時更容易出現(xiàn)極端事件,也就是說,在市場行情不好的時候人們會更加理性,而在行情走好時更容易選擇盲目冒險。當(dāng)市場行情波動較大(牛市或熊市)時,正態(tài)Copula函數(shù)模型的效果要好于t-Copula函數(shù)模型。從相關(guān)性的角度來說,“牛市”時市場間的相關(guān)性更弱,這時t-Copula函數(shù)模型的擬合效果最好。此外,滬、深股指之間的尾部相關(guān)性有隨時間增強(qiáng)的趨勢。Gumbel-Copula模型的擬合效果優(yōu)于Clayton-Copula模型,說明滬、深股指之間的上尾相關(guān)性要強(qiáng)于下尾相關(guān)性。不過要想表現(xiàn)出滬、深指數(shù)之間復(fù)雜的相關(guān)性,僅僅依靠某一函數(shù)模型是不可能的，往后會在常用Copula函數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)造出更加靈活有效的混合Copula函數(shù)。

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[編輯]張濤

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號]1673-1409(2016)13-0001-06

[中圖分類號]O211

[作者簡介]李克娥(1975-)，女，碩士，副教授，現(xiàn)主要從事于應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計等方面的教學(xué)與研究工作；E-mail:756843019@qq.com。

[基金項目]湖北省教育廳青年人才項目(20141306)；長江大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科科學(xué)研究發(fā)展基金項目(2013cjy03);湖北省高等學(xué)校大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目(20140920)。

[收稿日期]2016-01-19

[引著格式]李克娥,余美晨,孫佳偉.基于Copula模型的滬深股指相關(guān)性比較研究[J].長江大學(xué)學(xué)報(自科版)，2016,13(13)：1～6.