樊 銳，劉力軍，王 丹，郭江真

（北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191）

樊 銳

北京航空航天大學(xué)教授，博導(dǎo)。主要研究方向?yàn)閿?shù)控技術(shù)、傳感器技術(shù)、機(jī)電控制及自動(dòng)化等。1992年起參與組織International Conference on the Progress of Cutting Technology（加工技術(shù)進(jìn)展國(guó)際會(huì)議），歷任秘書長(zhǎng)、副主席、主席。

可靠性是指“產(chǎn)品在規(guī)定條件和規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成規(guī)定功能的能力”[1]。機(jī)床可靠性試驗(yàn)是機(jī)床可靠性保障的基礎(chǔ)工作。很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，機(jī)床可靠性分析的主要信息來(lái)自于機(jī)床客戶在使用過(guò)程中的數(shù)據(jù)反饋，這種方法耗時(shí)、低效，且難以控制試驗(yàn)條件。與之相比，試驗(yàn)臺(tái)測(cè)試可以進(jìn)行主動(dòng)激發(fā)試驗(yàn)，效率高，條件易控制，是機(jī)床可靠性試驗(yàn)的重要發(fā)展方向[2]。試驗(yàn)臺(tái)試驗(yàn)的關(guān)鍵問(wèn)題是加載機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，機(jī)床加工過(guò)程中主軸受力復(fù)雜，往往是多維力的共同作用，為了使試驗(yàn)臺(tái)模擬的加工受力狀況與實(shí)際加工過(guò)程相似，采用的機(jī)構(gòu)需要具備輸出多維力的能力。本課題研制的6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，結(jié)構(gòu)緊湊，剛度大，且能輸出多維力，能夠滿足機(jī)床主軸的可靠性試驗(yàn)要求，適合作為加載機(jī)構(gòu)對(duì)機(jī)床主軸進(jìn)行加載。

6-PUS并聯(lián)加載機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)床主軸加載的難點(diǎn)在于力控制器的設(shè)計(jì)。一般情況下，控制器的設(shè)計(jì)首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然而對(duì)于非線性強(qiáng)的系統(tǒng)往往很難建立其數(shù)學(xué)模型或者很難建立精確的數(shù)學(xué)模型，并且很多系統(tǒng)參數(shù)無(wú)法確定。對(duì)于某些系統(tǒng)簡(jiǎn)化的線性方程很難代表系統(tǒng)的實(shí)際情況[3]，浙江大學(xué)王宣銀試驗(yàn)室研制了并聯(lián)六自由度電液伺服機(jī)構(gòu)，以PID控制器實(shí)現(xiàn)了一維力的加載[4]；哈爾濱工業(yè)大學(xué)研究了基于Steward平臺(tái)的電液加載試驗(yàn)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了根據(jù)不同負(fù)載剛度來(lái)調(diào)整PID參數(shù)的控制策略，并仿真驗(yàn)證了控制方法的有效性[5]。與電液驅(qū)動(dòng)不同，本文提出的6-PUS并聯(lián)力加載機(jī)構(gòu)采用電動(dòng)驅(qū)動(dòng)，控制模型復(fù)雜，且系統(tǒng)參數(shù)難以確定，因此適合設(shè)計(jì)非基于系統(tǒng)模型的控制器。模糊PID控制器既保持了傳統(tǒng)PID的簡(jiǎn)潔性，又由于比例、積分、微分參數(shù)可以根據(jù)實(shí)際情況合理調(diào)節(jié)，可更好地適應(yīng)非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)。

本文介紹了6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多維力加載原理；建立了加載機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，得到了表示機(jī)構(gòu)末端多維力與支鏈力之間映射關(guān)系的力雅克比矩陣，并將對(duì)加載機(jī)構(gòu)多維力的控制轉(zhuǎn)化為對(duì)機(jī)構(gòu)6條單支鏈力的控制；最后將模糊PID控制算法應(yīng)用于單支鏈的力控制過(guò)程，并在并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜態(tài)情況下分別以傳統(tǒng)PID和模糊PID對(duì)其進(jìn)行了多維力靜態(tài)加載試驗(yàn)，驗(yàn)證了模糊PID在6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜態(tài)加載中的有效性，為后期在6-PUS并聯(lián)加載機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)六維力加載奠定了理論和試驗(yàn)基礎(chǔ)。

加載原理介紹

1 6-PUS并聯(lián)加載機(jī)構(gòu)

如圖1所示，6-PUS并聯(lián)加載機(jī)構(gòu)由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和6條電機(jī)驅(qū)動(dòng)的支鏈組成。每條支鏈包括滾珠絲杠驅(qū)動(dòng)、作為移動(dòng)副的直線導(dǎo)軌、萬(wàn)向節(jié)、已知長(zhǎng)度的連桿、可測(cè)連桿支撐力的單向力傳感器和復(fù)合球鉸。靜平臺(tái)上3個(gè)斜坡繞靜平臺(tái)中心軸均勻分布，移動(dòng)副的直線導(dǎo)軌固定在斜面上，方向與斜臺(tái)方向平行。此種結(jié)構(gòu)可以在較小的靜平臺(tái)下產(chǎn)生盡可能大的工作空間。

圖1 6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)物圖Fig.1 6-PUS parallel machine

動(dòng)平臺(tái)上設(shè)計(jì)有與被加載機(jī)構(gòu)聯(lián)接的接口，作為機(jī)構(gòu)多維力的輸出部件。在6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行靜態(tài)多維力加載過(guò)程中，被加載機(jī)構(gòu)始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，并聯(lián)加載機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)與被加載機(jī)構(gòu)通過(guò)螺紋固定聯(lián)接，當(dāng)電機(jī)在移動(dòng)副產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)力時(shí)，移動(dòng)副產(chǎn)生一個(gè)沿力方向的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，這使得支鏈的連桿產(chǎn)生沿連桿方向的拉力或者壓力，這個(gè)力可以由力傳感器直接測(cè)量得到。控制卡采集6條支鏈力傳感器數(shù)值，將6個(gè)力帶入當(dāng)前姿態(tài)下機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)模型即可得到機(jī)構(gòu)的實(shí)際多維力。同時(shí)，調(diào)節(jié)6條支鏈上的力就可以達(dá)到對(duì)機(jī)構(gòu)輸出的多維力的間接調(diào)整。以上分析可以得出：6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出的多維力是由6條支鏈協(xié)同配合形成，對(duì)輸出多維力的控制可轉(zhuǎn)化為對(duì)6條支鏈力的間接控制[4,6]。因此，有必要建立6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)力學(xué)模型，確定機(jī)構(gòu)輸出多維力與支鏈力之間相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。

2 6-PUS力雅克比矩陣

圖2 6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of 6-PUS parallel machine

如圖2所示，在靜平臺(tái)中心位置建立世界坐標(biāo)系Oxyz，在動(dòng)平臺(tái)中心建立動(dòng)坐標(biāo)系。A1，A2，…，A6和B1，B2，…，B6分別為機(jī)構(gòu)支鏈上鉸鏈點(diǎn)和下鉸鏈在世界坐標(biāo)系的位置；C1，C2，…，C6為導(dǎo)軌起始點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的位置；λi為移動(dòng)副i相對(duì)直線導(dǎo)軌起點(diǎn)Ci的位移；ri和si分別為導(dǎo)軌i和支鏈i單位方向向量。在機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)的任一位置，有以下等式成立：

將（1）式等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)可得：

由（2）式中各向量及其導(dǎo)數(shù)的物理意義，可以進(jìn)一步整理為:

式中，Vm和ω分別為動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心在世界坐標(biāo)系Oxyz中的平動(dòng)速度向量和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度向量；li和ωi分別為支鏈i的長(zhǎng)度和其在世界坐標(biāo)系Oxyz中的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；Pi代表移動(dòng)副i沿導(dǎo)軌單位向量ri方向的速度。

將式（3）等號(hào)兩邊分別與si作點(diǎn)乘得到：

考慮到liωi·si·si=0，將式（4）移項(xiàng)、整理成為向量相乘的形式：

令，則可得動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度向支鏈驅(qū)動(dòng)速度轉(zhuǎn)化的關(guān)系為：

則，Jλ=（Jλ1，Jλ2，Jλ3，Jλ4，Jλ5，Jλ6）’是機(jī)構(gòu)的速度雅克比矩陣。

6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出多維力為FD=（Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，Mx，My，Mz），由相互作用力的關(guān)系可得作用在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的反作用力為-FD。其中Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分別為在世界坐標(biāo)系中沿x軸、y軸、z軸的力；Mx，My，Mz分別為在世界坐標(biāo)系中繞x軸、y軸、z軸的力矩。

由虛功原理可得，若使機(jī)構(gòu)平衡，則作用在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的作用力-FD與6個(gè)移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)力的關(guān)系為[7]：

式中，F(xiàn)q=（Fq1,Fq2,Fq3,Fq4,Fq5,Fq6）T為6個(gè)移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)力構(gòu)成的列向量。

理論上，只要控制每個(gè)支鏈移動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)力即可，而實(shí)際6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)單向力傳感器安裝在每個(gè)支鏈的連桿上，并作為支鏈的一部分。因此，把對(duì)驅(qū)動(dòng)力的控制轉(zhuǎn)化成對(duì)支鏈的支持力的控制才能形成力閉環(huán)。如圖3所示，F(xiàn)qi是計(jì)算出的電機(jī)i的驅(qū)動(dòng)力，F(xiàn)li為支鏈在驅(qū)動(dòng)力Fqi下的支持力，導(dǎo)軌與支鏈之間的夾角為θ。

圖3 支鏈力示意圖Fig.3 Schematic diagram of limb force

則容易得到以下關(guān)系式：

式中，cos(θ)=ri·si，即經(jīng)過(guò)以上計(jì)算最終將對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)多維力FD的控制轉(zhuǎn)化為了支鏈連桿支持力Fqi的間接控制。

模糊PID控制力控制

傳統(tǒng)PID因其簡(jiǎn)潔性和易操作性，被廣泛地應(yīng)用于工業(yè)控制中，并且取得了良好的效果，由于其控制參數(shù)固定，在非線性控制系統(tǒng)中的適應(yīng)性差，難以勝任系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變化的控制工作，因此根據(jù)控制過(guò)程不斷變化的情況來(lái)實(shí)時(shí)地調(diào)節(jié)控制參數(shù)是非常必要的。模糊控制是將工程師長(zhǎng)期的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)作為調(diào)節(jié)規(guī)則，通過(guò)類似人腦推理的方法得出對(duì)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)規(guī)則，控制方式相比傳統(tǒng)PID更加靈活[8]。

1 PID控制原理

PID控制器的傳遞函數(shù)可以表示為：

式中，U（s）是PID控制器的輸出量；E（s）是期望值與實(shí)際輸出值相減得到的偏差；KP是比例系數(shù)，TI是積分時(shí)間常量；TD是微分時(shí)間常量；s是拉普拉斯算子。式（9）可以進(jìn)一步整理為：

式中，KI=KP/TI是積分增益，KD=KPTD是微分增益。

將控制信號(hào)在時(shí)域內(nèi)可以表示成為：

式中，e（t）是期望值與實(shí)際值的偏差，u（t）是輸送給伺服電機(jī)的電壓信號(hào)。

2 模糊PID控制原理

模糊PID與傳統(tǒng)PID的區(qū)別為：模糊PID的比例、積分和微分增益是根據(jù)一定的控制規(guī)則不斷變化的，模糊PID的設(shè)計(jì)任務(wù)就是設(shè)計(jì)出可以調(diào)節(jié)PID參數(shù)的控制器。模糊PID的設(shè)計(jì)可以分為以下幾個(gè)步驟：

（1）量化因子選擇。試驗(yàn)中各支鏈力跟隨偏差的大致范圍為[-60,60]，偏差變化率范圍為[-600,600]。為了方便操作，將單支鏈力偏差e（t）及其變化率ec（t）的基本論域映射到輸入語(yǔ)言變量論域。在實(shí)際應(yīng)用中為了簡(jiǎn)化計(jì)算，滿足控制的實(shí)時(shí)性要求，往往需要將輸入模糊變量進(jìn)行離散化處理，即將輸入語(yǔ)言變量在論域內(nèi)取有限值。將模糊語(yǔ)言變量e和ec的論域離散為（-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6），則實(shí)際力偏差向其對(duì)應(yīng)的模糊語(yǔ)言變量論域映射的量化因子為Ge=6/60=0.1，偏差變化率對(duì)應(yīng)的量化因子為Gec=6/600=0.01。量化因子確定后，實(shí)際偏差e（t）及偏差變化率ec（t）分別與其量化因子相乘便可得到模糊語(yǔ)言論域?qū)?yīng)值e和ec，數(shù)值取舍按照四舍五入的原則[9]。

針對(duì)輸入模糊語(yǔ)言變量e、ec和輸出語(yǔ)言變量 ΔKP、ΔKI、ΔKD選取NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB7個(gè)語(yǔ)言變量值，其分別代表負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中、正大。

（2）確定輸入和輸出語(yǔ)言變量。本文將單支鏈力目標(biāo)力與單支鏈實(shí)際力的偏差e（t）和偏差的變化率ec（t）作為模糊控制器的輸入變量，將 ΔKP，ΔKI，ΔKD作為模糊控制器的輸出變量，則控制過(guò)程中模糊PID最終采用的控制參數(shù)為：

式中，KP0，KI0，KD0分別為初始比例、積分、微分系數(shù)；ΔKP，ΔKI，ΔKD分別為模糊控制器調(diào)節(jié)后的各系數(shù)增量。

將e（t）和ec（t）映射到對(duì)應(yīng)的模糊論域可得e、ec。為了在輸入值較小的情況下提高控制器靈敏度，e、ec的隸屬度函數(shù)隨著絕對(duì)值的變小逐漸變陡（圖4）；輸出模糊變量的隸屬度函數(shù) ΔKP，ΔKI，ΔKD在整個(gè)論域內(nèi)均勻分布（圖5）。

（3）模糊規(guī)則。傳統(tǒng)PID在工業(yè)控制中使用廣泛，且已經(jīng)形成了比較成熟的調(diào)整原則。根據(jù)試驗(yàn)過(guò)程中積累的經(jīng)驗(yàn)，可將KP、KI、KD按照表 1、2、3 的思路調(diào)整[10]。

（4）解模糊。采用重心法將輸出得到的模糊集合轉(zhuǎn)化為精確值[11]，并建立模糊控制離線查詢表，減小在線計(jì)算的運(yùn)算量，保證控制系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性。

按照上面的過(guò)程可實(shí)現(xiàn)調(diào)整KP、KI、KD的 3 個(gè)子模糊控制器，進(jìn)而構(gòu)成了模糊PID的完整結(jié)構(gòu)，結(jié)合對(duì)6-PUS機(jī)構(gòu)單支鏈控制，可知單支鏈的模糊PID控制器結(jié)構(gòu)如圖6所示。其中，F(xiàn)qi是單支鏈的期望力，F(xiàn)ai是單支鏈的實(shí)際力。

如圖7所示，并聯(lián)多維力加載的完整過(guò)程可以作如下總結(jié)：計(jì)算機(jī)通過(guò)光柵讀取移動(dòng)副的位置，代入機(jī)構(gòu)正解算法得到當(dāng)下機(jī)構(gòu)位姿；最后根據(jù)位姿解算出機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出多維力FD映射到各個(gè)支鏈的支持力，作為各個(gè)支鏈上小閉環(huán)力控制的目標(biāo)；力控制算法將通過(guò)控制電機(jī)絲杠滑塊的微動(dòng)來(lái)調(diào)節(jié)支鏈力，使它不斷逼近期望值，進(jìn)而協(xié)同輸出的多維力FD。

圖4 e、ec隸屬度函數(shù)Fig.4 Membership function for e and ec

圖5 ΔKP、ΔKI、ΔKD隸屬度函數(shù)Fig.5 Membership fuction for ΔKP,ΔKI and ΔKD

表1 ΔKP模糊規(guī)則表

表2 ΔKI 模糊規(guī)則表

表3 ΔKD模糊規(guī)則表

圖6 單支鏈模糊PID控制系統(tǒng)圖Fig.6 Configuration of fuzzy-PID controller for single limb

圖7 模糊PID整體控制系統(tǒng)示意圖Fig.7 Configuration of fuzzy-PID controller for whole system

加載試驗(yàn)

根據(jù)前文介紹的試驗(yàn)原理搭建了多維力加載平臺(tái)，如圖8所示。龍門結(jié)構(gòu)作為加載試驗(yàn)中的被加載對(duì)象，固定在基座上；6-PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)固定在底座上，動(dòng)平臺(tái)與龍門通過(guò)專門設(shè)計(jì)的接口卡緊；加載機(jī)構(gòu)的輸出力是通過(guò)支鏈力來(lái)合成得到的，因此加載機(jī)構(gòu)既充當(dāng)了加載部件的角色，同時(shí)還承擔(dān)了測(cè)量多維力的任務(wù)。

圖8 加載試驗(yàn)臺(tái)實(shí)物圖Fig.8 Load test bench

試驗(yàn)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)元件采用日本安川SGDM-08ADA型交流伺服電機(jī)，控制器為美國(guó)泰道公司Power PMAC運(yùn)動(dòng)控制卡，支鏈的傳感器為BK-2B S型測(cè)力傳感器。試驗(yàn)時(shí)，6-PUS動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心位置為世界坐標(biāo)系正上方450mm處；在控制過(guò)程中，電機(jī)需要通過(guò)微小的轉(zhuǎn)動(dòng)變化來(lái)調(diào)節(jié)支鏈力的大小，控制卡需要實(shí)時(shí)的計(jì)算并更新加載機(jī)構(gòu)的位姿，因此，實(shí)際上并聯(lián)加載機(jī)構(gòu)在世界坐標(biāo)系正上方450mm處附近微動(dòng)。

為了檢驗(yàn)本文采用的模糊PID控制器在實(shí)際應(yīng)用中的效果，在相同的試驗(yàn)環(huán)境及機(jī)構(gòu)姿態(tài)點(diǎn)的情況下分別采用傳統(tǒng)PID及模糊PID進(jìn)行了六維力階躍信號(hào)響應(yīng)試驗(yàn)，將信號(hào)寫為六維力的形式FD=（200,200,200,10,10,10）T。值得注意的是，此六維力的加載是同時(shí)向x、y和z軸施加力和力矩，為了將每個(gè)單維度的力表達(dá)得更清晰，下面將6個(gè)力的響應(yīng)曲線單獨(dú)繪制。

x向200N階躍力信號(hào)響應(yīng)如圖9所示，可以看出模糊PID控制器超調(diào)量約為25N，遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)PID的約75N的超調(diào)量；模糊PID控制器上升時(shí)間略快于傳統(tǒng)PID，更快地趨于穩(wěn)定。

圖9 x 向力響應(yīng)曲線Fig.9 Force response of x axis

y向200N階躍力響應(yīng)曲線如圖10所示，可以看出在y向200N階躍響應(yīng)中，模糊PID的超調(diào)量約為50N，明顯小于傳統(tǒng)PID約為90N的超調(diào)量；模糊PID控制器上升時(shí)間略快于傳統(tǒng)PID系統(tǒng)，且更快地趨于穩(wěn)定。

圖10 y 向力響應(yīng)曲線Fig.10 Force response of y axis

z向200N階躍力響應(yīng)曲線如圖11所示，可以看出在z向200N階躍響應(yīng)中，模糊PID的超調(diào)量約為25N，明顯小于傳統(tǒng)PID約為75N的超調(diào)量；模糊PID控制器上升時(shí)間略快于傳統(tǒng)PID系統(tǒng)，且更快地趨于穩(wěn)定。

圖11 z 向力響應(yīng)曲線Fig.11 Force response of z axis

x、y、z軸的力矩如圖12、圖13、圖14所示，可以看出當(dāng)對(duì)機(jī)構(gòu)輸入幅值為10Nm的階躍力矩信號(hào)時(shí)，模糊PID控制器響應(yīng)過(guò)程中的超調(diào)量明顯小與傳統(tǒng)PID控制器造成的超調(diào)量。從圖9x向力加載曲線和圖13y軸力矩加載響應(yīng)速度較慢可以推斷，龍門x向剛度較其他兩個(gè)方向較弱，這一點(diǎn)可以從龍門的結(jié)構(gòu)得到驗(yàn)證，如圖8中x向缺少擋板，剛度較弱，因此加載力響應(yīng)特性比其他兩個(gè)方向差。

圖12 x 軸力矩響應(yīng)曲線Fig.12 Torch response of x axis

圖14 z 軸力矩響應(yīng)曲線Fig.14 Torch response of z axis

結(jié)論

以上分析可知，在6-PUS并聯(lián)多維力加載機(jī)構(gòu)中，模糊PID控制器由于在響應(yīng)過(guò)程中不斷調(diào)整控制參數(shù)，適應(yīng)了不同階段對(duì)控制器參數(shù)變化的要求，整體上動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能更優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器，表明了模糊PID控制器在6-PUS并聯(lián)力加載機(jī)構(gòu)力控制上的有效性，為后期進(jìn)行多維力的動(dòng)態(tài)加載奠定了基礎(chǔ)。

[1] 可靠性基本名詞術(shù)語(yǔ)及定義:GB3187-82 [S],北京: 國(guó)家質(zhì)檢總局,1982.

Basic terms and definitions of reliability:GB3187-82 [S],Beijing: General Administration of Quality Supervision,Inspection and Quarantine of the People’s Republic of China,1982.

[2] 楊兆軍,陳傳海,陳菲,等, 數(shù)控機(jī)床可靠性技術(shù)的研究進(jìn)展[J],機(jī)械工程學(xué)報(bào),2013,49(20): 130-139.

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