吳安琪,舒慧生
(東華大學(xué) 理學(xué)院, 上海 201620)
基于跳擴(kuò)散模型帶負(fù)債的最優(yōu)資產(chǎn)選擇
吳安琪,舒慧生
(東華大學(xué) 理學(xué)院, 上海 201620)
摘要:構(gòu)造了一個基于跳擴(kuò)散帶負(fù)債的最優(yōu)資產(chǎn)選擇模型,假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)價格和累積負(fù)債的變動均由布朗運動與Poisson跳所驅(qū)動,利用均值-方差分析方法和隨機(jī)線性二次型控制理論求出最優(yōu)投資組合策略和有效前沿.
關(guān)鍵詞:投資組合選擇; 跳擴(kuò)散過程; 資產(chǎn)負(fù)債模型; 隨機(jī)線性二次型控制; 有效前沿
投資組合管理是當(dāng)今金融工程中的重要研究內(nèi)容,也是金融風(fēng)險管理的重要技術(shù)和手段. 文獻(xiàn)[1]為現(xiàn)代投資組合理論奠定了基礎(chǔ),它闡述了如何構(gòu)造一個投資組合的邊界,使得在給定的風(fēng)險水平下組合中的每一證券的預(yù)期收益率都達(dá)到最大化,此即為經(jīng)典的均值-方差理論. 此后,均值方差框架下最優(yōu)投資組合選擇的研究得到很快的發(fā)展,研究內(nèi)容由最初的單周期模型推廣到多周期模型以及連續(xù)時間模型,研究方法也有很大創(chuàng)新. 文獻(xiàn)[2]采用嵌入法分析研究了多階段的均值-方差問題;文獻(xiàn)[3]首次引入隨機(jī)線性二次型控制方法來研究連續(xù)時間均值-方差投資組合選擇問題.
但在實際金融市場中,資產(chǎn)的價格過程不一定是連續(xù)過程,例如遇到重大事件突發(fā)、政策調(diào)整等問題時,股票的價格會發(fā)生大幅度的跳躍,且投資者很可能面臨負(fù)債,資產(chǎn)與負(fù)債的管理問題也必須考慮. 因此,這兩類問題的研究得到越來越多的關(guān)注. 文獻(xiàn)[4]研究了均值-方差下多階段的帶負(fù)債資產(chǎn)的最優(yōu)投資策略和有效前沿;文獻(xiàn)[5]研究了在均值-方差下連續(xù)時間的資產(chǎn)與負(fù)債的管理問題,并采用隨機(jī)控制理論得到了最優(yōu)投資策略和有效前沿;文獻(xiàn)[6]研究了不完備金融市場上帶有負(fù)債的投資組合選擇問題;文獻(xiàn)[7]研究了跳擴(kuò)散過程的最優(yōu)投資消費問題;文獻(xiàn)[8]研究了跳擴(kuò)散金融市場的均值-方差投資組合選擇問題;文獻(xiàn)[9]研究了跳擴(kuò)散市場投資組合選擇問題;文獻(xiàn)[10]研究了基于跳躍擴(kuò)散過程的保險資金最優(yōu)投資問題.
然而,現(xiàn)有的研究沒有既考慮資產(chǎn)服從跳擴(kuò)散問題又考慮資產(chǎn)負(fù)債管理問題,實際上這兩個問題往往同時存在.源于這一情況,本文在已有研究基礎(chǔ)上做一推廣,研究基于跳擴(kuò)散模型帶負(fù)債的最優(yōu)資產(chǎn)選擇問題. 由于金融市場中重大信息發(fā)生的時間和產(chǎn)生的影響是隨機(jī)的,可以用概率空間上的Poisson過程來刻畫. 因此,本文假定風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程和累積負(fù)債過程均由布朗運動加Poisson跳所驅(qū)動,采用隨機(jī)線性二次型控制方法求得最優(yōu)投資組合以及相應(yīng)最優(yōu)值函數(shù)的解析解,并利用隨機(jī)分析方法求得該最優(yōu)投資組合選擇問題的有效前沿.
1問題描述
在實際的金融市場中,資產(chǎn)價格的變動由兩部分構(gòu)成[11]:第一種變化是價格的正常波動,例如供需的暫時不平衡、經(jīng)濟(jì)前景引起的變化等,這種變化可以用概率空間上的布朗運動來描述,它具有連續(xù)的樣本路徑;第二種變化是價格的不正常振動,如受到政策調(diào)整等的影響,價格會發(fā)生大起大落式的跳躍,這種變化發(fā)生的時間和產(chǎn)生的影響是隨機(jī)的,可以用概率空間上的Poisson過程來刻畫.
設(shè)市場上有m+1種可連續(xù)交易資產(chǎn),其中一種無風(fēng)險資產(chǎn)(債券)價格A0(t)滿足以下微分方程:
(1)
其中:α(t)為無風(fēng)險資產(chǎn)的利率.
另外m種風(fēng)險資產(chǎn)(股票)的價格滿足以下跳擴(kuò)散隨機(jī)微分方程:
(2)
假設(shè)投資者初始資產(chǎn)為x0,初始負(fù)債值為l0,L(t)為投資者t時刻的累積負(fù)債值,滿足以下跳擴(kuò)散隨機(jī)微分方程:
(3)
其中:μ(t)表示負(fù)債增值率;υ(t)=(υ1(t),υ2(t),…,υn(t))∈C([0,T];Rn×n)表示負(fù)債波動率;η(t)=(η1(t),η2(t),…,ηn(t))∈C([0,T];Rn×n)表示負(fù)債跳躍幅度. 上述所有方程都假定在t∈[0,T]上可測且一致有界.
(4)
其中:
B(t)=(γ1(t)-α(t),γ2(t)-α(t),…,γm(t)-α(t))
Z(t)=(Z1(t),Z2(t),…,Zm(t))′,
由此可得
(5)
投資者希望構(gòu)造一個最優(yōu)的投資組合策略,使得在均值所刻畫的期望回報和方差所刻畫的風(fēng)險之間達(dá)到最優(yōu)的平衡. 即均值-方差框架下投資組合選擇遵從:
(6)
由定義可知,問題即轉(zhuǎn)為求有效前沿上的有效投資組合. 而根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)多目標(biāo)最優(yōu)化理論,一個有效投資組合可以通過求解一個單目標(biāo)最優(yōu)化問題來獲得. 因此,上述多目標(biāo)最優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化成以下單目標(biāo)最優(yōu)化問題:
(7)
其中:ω>0.
由于這個目標(biāo)函數(shù)在動態(tài)規(guī)劃意義下是不可分的,根據(jù)文獻(xiàn)[2-3]的結(jié)論,可以將其轉(zhuǎn)化為以下標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)線性二次型問題(輔助問題):
(8)
其中:ω>0,-∞<σ<+∞.
2最優(yōu)投資組合策略求解
為了得到最優(yōu)投資組合策略,類似文獻(xiàn)[5]的思想,先求出一般的隨機(jī)線性二次型問題的解,則基于此解即可得到所需的輔助問題的解.
2.1一般的隨機(jī)線性二次型問題
以下模型是一個一般的隨機(jī)線性二次型問題:
(9)
(10)
2.2跳擴(kuò)散隨機(jī)線性二次型問題的解
為了求解上述隨機(jī)線性二次型問題,需要運用推廣的伊藤公式.
引理2.1[7]跳擴(kuò)散過程的廣義伊藤公式.設(shè)跳擴(kuò)散過程x(t)具有以下微分形式
(11)
其中:W(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動;N(t)是強(qiáng)度為λ的m維Poisson過程.m∈L1([0,T];R),σ,φ∈L2([0,T];Rn×n),則對任意V∈C2×1(R×R+;R)有以下等
式成立.
(12)
定義變分算子LV:R×R+→R,有
(13)
其中:M(t)是與Poisson過程N(yùn)(t)相關(guān)的鞅,與W(t)相互獨立.
運用上述引理,可以得到下面這個定理,具體證明過程省略.
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
則隨機(jī)線性二次型問題(9)和(10)的最優(yōu)投資組合策略為
Z*(t,χ,y)=-u(t)-1[ξ(t)χ+σ(t)y+θ(t)]
相應(yīng)的最優(yōu)值函數(shù)為
(19)
2.3輔助問題的解
對比相應(yīng)的系數(shù)后,應(yīng)用定理2.1,則輔助問題的最優(yōu)投資組合策略為
(20)
其中:
最優(yōu)投資組合策略亦可表述成總資產(chǎn)財富x與負(fù)債L的形式:
(21)
注:當(dāng)跳躍幅度φk(t)與η(t)等于0時,模型即轉(zhuǎn)化成一般的僅由布朗運動驅(qū)動的模型,此時求出最優(yōu)投資組合策略為
其中:
β(t)=μ(t);
該最優(yōu)投資組合策略與文獻(xiàn)[5]中求得的結(jié)果相一致,這也從側(cè)面印證了本文研究結(jié)果的正確性.
3有效前沿
其中:
通過定理3.1很容易得到凈財富S(t)的有效前沿為
(22)
其中:
4結(jié)語
本文主要研究了均值-方差框架下,基于跳擴(kuò)散模型帶負(fù)債的最優(yōu)投資組合選擇問題. 采用隨機(jī)線性二次型控制方法得到了最優(yōu)投資組合策略與有效前沿的解析解. 由于本文是先求出一般的隨機(jī)線性二次型問題的解,通過對比相應(yīng)的系數(shù)得到實際問題的解,因此研究結(jié)果更具有一般性,便于后續(xù)進(jìn)一步研究. 此外具有交易費用的跳擴(kuò)散最優(yōu)投資組合的選擇問題,仍值得深入探索與研究.
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Optimal Portfolio Selection with Liability Management and Jump-Diffusion Processes
WUAn-qi,SHUHui-sheng
(College of Science, Donghua University, Shanghai 201620, China)
Abstract:The optimal portfolio selection model with liability management and jump-diffusion processes is constructed. Assuming that the risk asset prices and the accumulated liabilities are driven by the Brownian motion and Poisson jumps, mean-variance analysis and stochastic linear quadratic control theory are used to obtain the optimal portfolio strategy and the efficient frontier.
Key words:portfolio selection; jump-diffusion process; asset-liability model; stochastic linear quadratic control; efficient frontier
文章編號:1671-0444(2016)02-0299-07
收稿日期:2014-12-29
基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(60974030)
作者簡介:吳安琪(1991—),女,江西鷹潭人,碩士研究生,研究方向為概率及隨機(jī)方向. E-mail: wuanqitvxq@163.com 舒慧生(聯(lián)系人),男,教授, E-mail: hsshu@dhu.edu.cn
中圖分類號:O 211.6
文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A