李昀鴻

摘 要：小概率事件原理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)學(xué)科中的一個(gè)基本原理。然而正確理解小概率事件的原理及其推斷方法，并能辯證地分析、處理、應(yīng)用小概率事件對(duì)人們的生活有著非凡的實(shí)際意義。本文主要是圍繞小概率事件及其應(yīng)用展開(kāi)相關(guān)研究與討論：首先，對(duì)概率論的起源以及小概率事件的定義、原理進(jìn)行闡釋與推理；其次，對(duì)小概率事件原理與小概率事件推斷方法進(jìn)行了較為詳細(xì)的介紹與歸納，并闡述了小概率事件 與不可能事件 之間的區(qū)別與聯(lián)系；最后，本研究針對(duì)生活與生產(chǎn)實(shí)踐中的小概率事件作了深層次的說(shuō)明，并結(jié)合實(shí)例，在深刻剖析小概率事件原理及其在實(shí)踐中應(yīng)用的基礎(chǔ)上，對(duì)小概率事件原理的實(shí)用價(jià)值與實(shí)踐意義做了詳細(xì)闡述，并為人們加深對(duì)小概率事件的科學(xué)認(rèn)識(shí)與有效把握與采取正確、合理的態(tài)度來(lái)對(duì)待小概率事件提出了一些參考建議。

關(guān)鍵詞：小概率事件 假設(shè)檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)推斷

中圖分類號(hào)：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2016）06（a）-0000-00

1 緒論

小概率事件又被稱作為"黑天鵝”事件，是指就理論而言由事件存在發(fā)生的條件與可能性，但在現(xiàn)實(shí)情況下，事件發(fā)生的可能性很小，小到幾乎可以忽略不計(jì)。在我們的現(xiàn)實(shí)生活中，到處都存在著小概率事件，只是因?yàn)槠浒l(fā)生的可能性小，從而不易引起我們的注意。基于對(duì)小概率事件這種在理論上可能發(fā)生，而現(xiàn)實(shí)中又幾乎可以認(rèn)為它不可能發(fā)生的認(rèn)知，不少人經(jīng)常會(huì)對(duì)小概率事件持著兩種完全相反的立場(chǎng)：一種是徹底忽略小概率事件，就把它劃歸于不可能事件來(lái)處理；另一種則是承認(rèn)小概率事件的存在，終日提心吊膽。對(duì)于有些人來(lái)講，大概一輩子也碰不到一次，但也有那么一些人可能多次碰到。比如前幾年的四川地震，在汶川大地震后，過(guò)了五年，四川蘆山又發(fā)生了大地震，使得兩個(gè)地域交界的居民在短短的幾年內(nèi)接連受到兩次特大地震的影響。從這個(gè)例子可以看出，小概率事件很是很難發(fā)生一次，但是我們不能忽視小概率事件會(huì)發(fā)生的這一事實(shí)，而且一般而言，小概率事件一旦發(fā)生其引發(fā)的反響都不小。

事實(shí)上，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究范圍領(lǐng)域中，對(duì)小概率事件的存在與發(fā)生已經(jīng)有了科學(xué)且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)識(shí)與論述。在前人研究的基礎(chǔ)上，本文嘗試?yán)棉q證思維方法對(duì)小概率事件及其原理進(jìn)行闡釋，并通過(guò)實(shí)例如工、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中存在的質(zhì)量管理問(wèn)題，醫(yī)學(xué)中的醫(yī)療效果推斷問(wèn)題，運(yùn)動(dòng)員比賽狀態(tài)推斷問(wèn)題以及保險(xiǎn)管理中的危險(xiǎn)事件發(fā)生概率推斷問(wèn)題等，來(lái)說(shuō)明小概率事件在現(xiàn)實(shí)生活中的重要意義與價(jià)值，以期加深人們對(duì)小概率事件的科學(xué)認(rèn)識(shí)與有效把握，進(jìn)而促使人們采取一種正確、合理的態(tài)度來(lái)對(duì)待小概率事件。我們之所以研究小概率事件，歸根結(jié)底不是設(shè)法研究如何避免小概率事件發(fā)生的方法，而是想充分的利用小概率事件所包含的信息來(lái)研究事件本身的特征，為事件及其相關(guān)事件的后期發(fā)展作出預(yù)測(cè)。

2 小概率事件原理

2.1 小概率事件的定義

在概率統(tǒng)計(jì)理論中，我們用數(shù)值 來(lái)具體量化隨機(jī)事件 發(fā)生的可能性，它滿足如下特征：

（1）對(duì)于任何事件 ，則有： ；

（2）對(duì)于不可能事件 與必然事件 ，則有： ；

（3）對(duì)于數(shù)個(gè)個(gè)事件 兩兩互不相容，則有：

。

定義2.1 對(duì)于某件事發(fā)生的概率無(wú)限趨近于1，那么它的對(duì)立事件發(fā)生的概率也就無(wú)限趨近于0。而在概率論中，一般把概率無(wú)限趨近于0的事件稱之為小概率事件。

2.2 小概率事件的原理

定理2.1（伯努利大數(shù)定律） 在 次獨(dú)立重復(fù)的實(shí)驗(yàn)中，記事件A發(fā)生的次數(shù)為 ， 是事件 發(fā)生的概率。則對(duì)于任意正數(shù) ，則有：

或

根據(jù)伯努利大數(shù)定律，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件出現(xiàn)的頻率無(wú)限接近于它們的概率。也即是說(shuō)反復(fù)做相同試驗(yàn)的情況下，事件 出現(xiàn) 的頻率與概率值 呈現(xiàn) 正相關(guān)，若 的值很小為 ，則 則出現(xiàn)的頻次就很少，量化情況下就是1000次相同的隨機(jī)事件下才出現(xiàn)1次。因此，發(fā)生概率極其低的一個(gè)事件在偶然一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)實(shí)際上基本是不可能的。因此對(duì)于實(shí)際應(yīng)用方面，也稱這樣的事件為實(shí)際不可能事件。下面我們給出一定的理論推導(dǎo)。設(shè)事件 對(duì)于某一個(gè)隨即試驗(yàn)而言出現(xiàn)的概率為 ，因?yàn)闉樾「怕适录?，所以其?duì)應(yīng)的概率值 可以認(rèn)為是一個(gè)任意小的正數(shù)。而 表示“ 在第 次隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)”，則有： ， 。故在前 次相互獨(dú)立的試驗(yàn)中事件 一次都不出現(xiàn)的概率為：

那么，在前 次相互獨(dú)立的隨機(jī)試驗(yàn)中 至少出現(xiàn)一次的概率 為：

由于 是一個(gè)任意小的正數(shù)，因此有

從上面的理論及公式推導(dǎo)，可以發(fā)現(xiàn)單次隨即試驗(yàn)下不可能發(fā)生的事件并不是一直都不發(fā)生，一直都不可能發(fā)生的事件是不可能事件 ，而隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，增加到一個(gè)很大程度上時(shí)，小概率事件就會(huì)發(fā)生。

3 小概率事件原理的應(yīng)用

3.1 經(jīng)典小概率事件的研究

在城市街頭巷尾經(jīng)常能見(jiàn)到一類叫“摸球游戲”的游戲。這個(gè)游戲的規(guī)則是：在一袋有16個(gè)大小，形狀，光滑程度相同的玻璃球，總共8紅8白。玩家可以從中隨意的摸出8個(gè)球，當(dāng)所摸出的球的顏色比例（紅色：白色）滿足表1中所列比例情況時(shí)，則可以獲得相應(yīng)比例情況下給出的獎(jiǎng)金。

解：這個(gè)游戲表面看起來(lái)非常具有吸引力的。一方面，給出的5種比例性中居然有4種可以獲得獎(jiǎng)金，而僅只有一種要被扣錢(qián)，而且最高獎(jiǎng)10元，扣錢(qián)才2元，從表面上來(lái)看，感覺(jué)是一個(gè)穩(wěn)賺不賠的賭博。另一方面，由于五種賭注情況下對(duì)應(yīng)的賭資金額不大，從學(xué)生到成年人都能拿出錢(qián)來(lái)玩。從這兩方面可以說(shuō)明這個(gè)游戲的吸引力大，而且參與人數(shù)多，進(jìn)而說(shuō)明這個(gè)游戲反復(fù)玩的次數(shù)肯定多，對(duì)應(yīng)與概率中的術(shù)語(yǔ)就是，此隨機(jī)實(shí)驗(yàn)?zāi)芊磸?fù)進(jìn)行多少次。

可是，玩的人少之又少，到底是什么原因呢？事實(shí)上，這是概率知識(shí)的一個(gè)具體應(yīng)用：從16個(gè)球中任意取出8個(gè)，所有可能的取出方法為 種。事件總數(shù)是一個(gè)固定值，并且是選球是隨機(jī)抽取，這是個(gè)等可能性的事件，符合典型的古典概型要求?，F(xiàn)在假定已經(jīng)進(jìn)行了2000次的這種摸球?qū)嶒?yàn)，則通過(guò)概率的計(jì)算公式，可以得出上述5種顏色比例結(jié)果對(duì)應(yīng)的概率及出現(xiàn)的次數(shù)如下表1-2所示。

從表2的數(shù)據(jù)，可以得出該攤主預(yù)期可得：

（元）

這個(gè)例子的結(jié)果可能會(huì)讓人很驚訝，沒(méi)想到中獎(jiǎng)10元的概率是這么的小，他只有0.0001554的概率，這顯然是一個(gè)小概率事件，也可以說(shuō)是一個(gè)表面上看中獎(jiǎng)可能性大的陷阱。

在我們的生活中，有很多類似的例子，比如彩票等。許多人喜歡買(mǎi)彩票，并且因此一夜暴富，成為一個(gè)富翁。事實(shí)上，人們應(yīng)該知道彩票中獎(jiǎng)是一個(gè)小概率事件。但畢竟這是一個(gè)福利事業(yè)，要以獻(xiàn)愛(ài)心為目的，中獎(jiǎng)自然是好事，但不要妄想去中獎(jiǎng)。

3.2 小概率事件原理在商業(yè)保險(xiǎn)中的應(yīng)用

現(xiàn)有一家保險(xiǎn)公司，有2500個(gè)年齡相近、處于相同社會(huì)階層的人購(gòu)買(mǎi)了公司某保險(xiǎn)，從社會(huì)的數(shù)據(jù)可知，每個(gè)人在一年內(nèi)死亡的概率是0.002。每一個(gè)被投保人在1月1日支付12元，如果他在這一年內(nèi)死亡，公司將會(huì)向他的家屬發(fā)放2000元的保險(xiǎn)費(fèi)。求此保險(xiǎn)公司虧本的概率。

解：根據(jù)題目可知保險(xiǎn)公司的保費(fèi)收入為30000元，假定被投保人死亡數(shù)為 ，則保險(xiǎn)公司每年需要支付 元。那額保險(xiǎn)公司的虧本數(shù)計(jì)算方法為 ，即 。由于此問(wèn)題可以看成是2500重伯努利實(shí)驗(yàn)，則根據(jù)泊松定理可得投保人中一年內(nèi)出現(xiàn)15人死亡的概率為

從結(jié)果來(lái)看，出現(xiàn)虧本完全是一個(gè)小概率事件。而且保險(xiǎn)公司也是企業(yè)，企業(yè)的最大經(jīng)營(yíng)目的是盈利，包括銀行在內(nèi)沒(méi)有一家企業(yè)是會(huì)甘愿坐賠本買(mǎi)賣(mài)的。而且實(shí)際上，可以計(jì)算出如果保險(xiǎn)公司的盈利出現(xiàn)在10000元以下的概率只有0.014，這顯然也是一個(gè)小概率事件，所以可以推斷保險(xiǎn)公司針對(duì)這一保單的盈利不會(huì)低于10000元。

通過(guò)具體的數(shù)學(xué)計(jì)算我們可以論證保險(xiǎn)公司實(shí)際上就是一個(gè)玩小概率事件的盈利企業(yè)，保險(xiǎn)公司在推出每一款保險(xiǎn)之前，都是由精算師進(jìn)行了大量的數(shù)據(jù)論證與分析，而這些的目的是在于確保保險(xiǎn)公司的盈利性，而且是確保的最大盈利模式。但是也不得不說(shuō)明，人們不能因?yàn)檫@個(gè)原因以及人為認(rèn)為判斷小概率事件不可能在自己身上發(fā)生而直接忽略購(gòu)買(mǎi)合適的保險(xiǎn)。

3.3 小概率事件原理在假設(shè)檢驗(yàn)中的應(yīng)用

假設(shè)檢驗(yàn)是數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)理論的重要發(fā)展，是一種統(tǒng)計(jì)推斷理論。其核心思想是基于小概率反證法來(lái)研究樣本間存在差異性的原因。而反證法的思路則是先提出假設(shè)檢驗(yàn) ，然后運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法求解該檢驗(yàn)成立的概率。通過(guò)概率計(jì)算判斷，如果概率很小，是一個(gè)小概率事件的話，則最開(kāi)始提出的假設(shè)就不成立。下面通過(guò)舉例來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。

某工廠有一批總計(jì)200個(gè)的產(chǎn)品，產(chǎn)品需經(jīng)檢驗(yàn)合格后方能出廠銷售。針對(duì)此產(chǎn)品國(guó)家制定的合格標(biāo)準(zhǔn)是不合格率不得大于1%。如今任取5個(gè)產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)5個(gè)產(chǎn)品內(nèi)包含有次品。 現(xiàn)在來(lái)論證這批產(chǎn)品能否順利出廠銷售。

解：設(shè)這批產(chǎn)品的次品率是 ，則要判斷產(chǎn)品是否達(dá)到合格標(biāo)準(zhǔn)就是要驗(yàn)證是否存在 。

首先假設(shè) 成立，那么這批共計(jì)200件產(chǎn)品只能出現(xiàn)2個(gè)次品。那么從200個(gè)中任取5個(gè)，會(huì)出現(xiàn)如下三種可能，即 ：“沒(méi)有抽到一個(gè)次品”， ： “抽到了一個(gè)次品”， ：“抽到了2個(gè)次品”。

因此任抽5個(gè)，出現(xiàn)次品的概率

上述結(jié)果表明在一次抽查中就遇到事件“任取5個(gè)，且出現(xiàn)次品”這樣的概率非常小。因此，假設(shè)是不可接受的。這只能說(shuō)明次品率超過(guò)0.01，因此，這批產(chǎn)品不能出廠。

前面已經(jīng)論述，在無(wú)限次的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，小概率事件是會(huì)在其中的某一次試驗(yàn)中發(fā)生的。所以，假設(shè)檢驗(yàn)中，可能會(huì)有兩類錯(cuò)誤：第一類錯(cuò)誤是在實(shí)際的成立的條件下，我們認(rèn)為它不成立，即就犯了“棄真”的錯(cuò)誤。第二類錯(cuò)誤是如果它本來(lái)是不成立的，然而事實(shí)上它被判斷成了成立，也就是我們犯了“采偽”。就從人們的主觀意愿來(lái)說(shuō)，自然是要使這兩種錯(cuò)誤盡可能不犯，就是讓這倆小概率事件的概率盡可能的小。但是，事實(shí)是，當(dāng)樣本容量確定下來(lái)后，兩種錯(cuò)誤的概率并不可能同時(shí)減少，減少一個(gè)，那么另外一個(gè)就會(huì)增加。只有增加樣本容量，才能使它們倆同時(shí)減少。在實(shí)際應(yīng)用中，統(tǒng)計(jì)人員一般把“棄真”看的比“采偽”重要，是為了控制第一類錯(cuò)誤發(fā)生的概率，這就是顯著性檢驗(yàn)。

假設(shè)檢驗(yàn)的基本方法一般是以采樣的樣本值為依據(jù)，通過(guò)記錄一個(gè)“小概率事件”在一次采樣中是否發(fā)生從而對(duì)總體進(jìn)行判斷某件事（最初的假設(shè)是否是正確的）。具體做法是：為了檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)成立與否，第一步要先假設(shè)它成立，如果得出了小概率事件（小于顯著性水平），就認(rèn)為這是“反證法”推出了矛盾，因此要否定它，反之則接受。

4 研究成果與展望

4.1 研究成果

本文經(jīng)過(guò)大量查閱文獻(xiàn)資料，對(duì)小概率事件原理的理論進(jìn)行學(xué)習(xí)研究，并對(duì)其原理進(jìn)行推導(dǎo)。然后詳細(xì)論述了小概率事件與不可能事件的異同點(diǎn)，以期幫助大學(xué)深刻認(rèn)識(shí)兩者的區(qū)別，不要產(chǎn)生混淆。最后結(jié)合典型實(shí)例來(lái)論述小概率事件在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，加深大家對(duì)小概率事件的認(rèn)知與理解。

4.2 展望

在如今的生活中有無(wú)數(shù)的例子表明人們通常喜歡忽略小概率。從行為經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度來(lái)看，這也是一種過(guò)度自信現(xiàn)象，比如司機(jī)過(guò)于相信自己的駕駛技術(shù)和忽略對(duì)事故發(fā)生的可能性，人們似乎很少去擔(dān)心小概率事件發(fā)生的危險(xiǎn)性。但是，換一個(gè)思路將，擔(dān)心歸擔(dān)心，但我們并不需要把關(guān)注的重心一直停留在小概率事件的極端個(gè)別現(xiàn)象。總之，如果我們掌握了小概率原理，在實(shí)際生活中，我們可以避害就利，科學(xué)地選擇好的方面，也盡量去避免不好的方面，讓這個(gè)神奇的小概率事件掌握在我們的手中。

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