陸久元

離散型隨機(jī)變量的均值和方差是統(tǒng)計(jì)學(xué)中兩大重要的數(shù)字特征，其中均值反映的是隨機(jī)變量的總體平均取值水平，而方差則反映的是隨機(jī)變量的集中或穩(wěn)定程度. 在實(shí)際應(yīng)用中，往往可先將實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，再借助這兩大數(shù)字特征進(jìn)行科學(xué)對(duì)比，合理規(guī)劃和決策.

已知離散型隨機(jī)變量的分布列求均值和方差

例1 已知隨機(jī)變量[ξ]的分布列如下表：

（1）求[ξ]的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差；

（2）設(shè)[η=2ξ+3]，求[E（η），D（η）].

解析 本題考查期望、方差的性質(zhì)：若[y=ax+b]，則[E（y）=aE（x）+b，D（y）=a2D（x）].

（1）均值[E（ξ）=（-1）×12+0×13+1×16=-13]，

方差[D（ξ）=[（-1）-（-13）]2×12][+[0-（-13）]2×13]

[+[1-（-13）]2×16=59]，

標(biāo)準(zhǔn)差[D（ξ）=53].

（2）[E（η）=2E（ξ）+3=73]，[D（η）=4D（ξ）=209].

例2 某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18，19，20層?？? 若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層下電梯的概率均為[13]，用[ξ]表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則隨機(jī)變量[ξ]的數(shù)學(xué)期望[E（ξ）=]（ ）

[A]. [43] [B]. [73]

[C]. [53] [D]. [23]

解析 一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn)，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，屬于二項(xiàng)分布于是[ξ]～[B（5，13）]，故[E（ξ）=np=5×13=53].

答案 [C]

[已知均值或方差求參數(shù)值]

例3 某射擊運(yùn)動(dòng)員射中的環(huán)數(shù)[ξ]的分布列如下：

已知[E（ξ）=8.9]，則[y]的值為（ ）

A. [0.4] B. [0.6]

C. [0.7] D. [0.9]

解析 本題運(yùn)用分布列的性質(zhì)和期望公式列方程組求解.

由條件得：[x+y+0.1+0.3=1，7x+8×0.1+9×0.3+10y=8.9，]

解得[x=0.2，y=0.4.]

答案 [A]

例4 張老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量[ξ]的分布列如下表：

[[ξ]＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&？＼&?。?？＼&]

請(qǐng)同學(xué)計(jì)算[ξ]的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處完全無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同. 據(jù)此得出正確答案[E（ξ）=] .

解析 設(shè)“？”為[a]，“！”為[b]，則[2a+b=1]，[E（ξ）=a+2b+3a=2（2a+b）=2]. 故填2.

[對(duì)兩種方案的對(duì)比判斷]

例5 最近，李師傅一家三口打算用10萬(wàn)元錢進(jìn)行投資理財(cái)，構(gòu)想了三種方案：

方案一：李師傅的兒子認(rèn)為，根據(jù)股市收益大的特點(diǎn)，應(yīng)該將10萬(wàn)元全部用來(lái)買股票. 據(jù)分析預(yù)測(cè)，投資股市一年可能獲利[40%]，也可能虧損[20%]（假定只有這兩種可能），且獲利的概率為[12]；

方案二：李師傅認(rèn)為，現(xiàn)在股市風(fēng)險(xiǎn)大，基金風(fēng)險(xiǎn)較小，應(yīng)將10萬(wàn)元全部用來(lái)買基金. 據(jù)分析預(yù)測(cè)，投資基金一年后可能獲利[20%]，可能損失[10%]，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為[35，15，15]；

方案三：李師傅的妻子認(rèn)為，投資股市、基金都有風(fēng)險(xiǎn)，應(yīng)該將10萬(wàn)元全部存入銀行一年，現(xiàn)在存款年利率為[4%]，存款利息稅率為[5%].

針對(duì)以上三種投資方案，請(qǐng)你為李師傅選擇一種合理的理財(cái)方案，并說(shuō)明理由.

解析 合理的理財(cái)方案應(yīng)滿足兩個(gè)條件：①獲利高，②穩(wěn)定性強(qiáng). 可從數(shù)學(xué)期望和方差兩方面考慮，優(yōu)先選擇期望值較大的方案，若期望值相同應(yīng)選擇方差較小的方案.

（1）若按方案一執(zhí)行，設(shè)收益為[ξ]萬(wàn)元，則[ξ]的分布列為：

[[ξ]＼&[4]＼&[-2]＼&[P]＼&[12]＼&[12]＼&]

于是[E（ξ）=4×12+（-2）×12=1]萬(wàn)元.

（2）若按方案二執(zhí)行，設(shè)收益為[η]萬(wàn)元，則[η]的分布列為：

于是[E（η）=2×35+0×15+（-1）×15=1]萬(wàn)元.

（3）若按方案三執(zhí)行，

收益[y=10×4%×（1-5%）=0.38]萬(wàn)元.

由于[E（ξ）=E（η）>y]，

且[D（ξ）=（4-1）2×12+（-2-1）2×12=9]，

[D（η）=（2-1）2×35+（0-1）2×15+（-1-1）2×15=85].

由上知[D（ξ）>D（η）]，這說(shuō)明雖然方案一、方案二收益相等，但方案二更穩(wěn)定，所以建議李師傅家選擇方案二進(jìn)行投資理財(cái)較為合理.

總的來(lái)說(shuō)，求解離散型隨機(jī)變量的均值與方差，關(guān)鍵要過(guò)好“三關(guān)”：一是“判斷關(guān)”，即依據(jù)題意判斷隨機(jī)變量的所有可能的取值；二是“求概率關(guān)”，即利用排列組合相關(guān)原理，以及古典概型等公式求出隨機(jī)變量取各值時(shí)的概率；三是“應(yīng)用定義關(guān)”，即列出隨機(jī)變量的分布列，利用隨機(jī)變量的均值與方差公式進(jìn)行計(jì)算. 另外，還應(yīng)牢記幾種特殊分布列的數(shù)學(xué)期望和方差公式，可適當(dāng)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.

[練習(xí)]

1. 已知離散型隨機(jī)變量[X]的分布列為：

則[X]的均值[E（X）=]（ ）

A. [32] B. [2]

C. [52] D. [3]

2. 若[X]是離散型隨機(jī)變量，[P（X=x1）=23，][P（X=x2）=13]，且[x1A. [53] B. [73]

C. [3] D. [113]

3. 已知拋物線[y=ax2+bx+c（a≠0）]的對(duì)稱軸在[y]軸的左側(cè)，其中[a，b，c∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}]，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量[ξ=|a-b|]的取值，則[E（ξ）=]（ ）

A. [89] B. [35]

C. [25] D. [13]

4. 已知隨機(jī)變量[ξ]的分布列為[P（ξ=m）=13，][P（ξ=n）=a]，若[E（ξ）=2]，則[D（ξ）]的最小值為 .

5. 設(shè)袋子中裝有[a]個(gè)紅球，[b]個(gè)黃球，[c]個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分.

（1）當(dāng)[a=3，b=2，c=1]時(shí)，從該袋子中任?。ㄓ蟹呕?，且每球取到的機(jī)會(huì)均等）2個(gè)球，記隨機(jī)變量[ξ]為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求[ξ]的分布列；

（2）從該袋子中任取（每球取到的機(jī)會(huì)均等）1個(gè)球，記隨機(jī)變量[η]為取出此球所得分?jǐn)?shù)，若[E（η）=53，D（η）=59]，求[a∶b∶c].

[參考答案]

1. [E（X）=1×35+2×310+3×110=32]，故選[A].

2. 由條件知：[x1?23+x2?13=43（x1-43）2?23+（x2-43）2?13=29]

解得[x1=53x2=23]或[x1=1x2=2]

又[x1