萬青 張國富

雙曲線離心率的求值與范圍問題是高考的常見題型，如何求解此類問題是高中生在學(xué)習圓錐曲線這一章的一個難點問題，下面就高考常見題型中此類問題的求法作一個簡單的小結(jié).

利用公式定義求離心率

例1 已知雙曲線方程為[x24-y2y=1]，則其離心率為 .

解析 此題只需根據(jù)方程正確確定a，b，c的值，利用離心率計算公式[e=ca]即可簡單快捷求解.

例2 已知雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的漸近線方程為[y=±2x]，則該雙曲線的離心率為 .

解析 依題意可知[ba=2]，

又[e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2]，

所以[e2=5]，又[e>1]，所以[e=5].

點撥 此題是考查雙曲線方程中a，b，c三個量之間的關(guān)系，即已知雙曲線漸近線方程（或斜率）即可根據(jù)定義直接求解，公式：[e=c2a2=1+（ba）2]. 此類題型只需要弄清雙曲線方程中三個基本量a，b，c之間的等量關(guān)系，利用[e=ca]可直接求解，是高考中的送分題.

[利用直線與雙曲線的關(guān)系求離心率]

例3 設(shè)直線[x-3y+m=0（m≠0）]與雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若點[Pm，0]滿足[PA=PB]，則該雙曲線的離心率是 .

解析 聯(lián)立直線方程與雙曲線漸近方程[y=±bax]，

可解得交點為[（am3b-a，bm3b-a），（-am3b+a，bm3b+a）]，

而[kAB=13，]由[PA=PB]，可得AB的中點與點P的直線的斜率為[-3]. 即[bm3b-a+bm3b+a2-0am3b-a+-am3b+a2-m=-3]，

整理得：[4b2=a2]，∴[e=52.]

點撥 此題充分考查直線與雙曲線的位置關(guān)系問題，需要通過求解兩直線的交點，利用斜率關(guān)系去求離心率.

[構(gòu)造齊次式求離心率]

例4 設(shè)[F1，F(xiàn)2]分別為雙曲線[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的左右焦點，雙曲線上存在一點P，使得[PF1+PF2=3b，PF1?PF2=94ab]，求雙曲線離心率[e].

解析 根據(jù)題意P點在雙曲線的左支上或右支上對結(jié)果不影響，所以不妨設(shè)P點為右支上一點，由雙曲線的定義可知[PF1-PF2=2a]，

聯(lián)立[PF1+PF2=3b]，

∴ 平方相減可得[PF1?PF2=9b2-4a24=94ab]

[?9b2-4a2=9ab]，

即[9ba2-9ba-4=0]，即[3ba+13ba-4=0]，

∴ [ba=43]（[ba=-13]舍去），

∴ [b2a2=c2-a2a2=169?e2=259]，

又因為[e>1]，∴ [e=53].

點撥 此題借用雙曲線定義轉(zhuǎn)化到a，b齊次式可得到[ba=43]，從而得到離心率.

[利用橢圓與雙曲線關(guān)系求離心率 ]

例5 如圖，[F1，F(xiàn)2]是橢圓[C1]：[x24+y2=1]與雙曲線[C2]的公共焦點，[A]，[B]分別是[C1]，[C2]在第二，四象限的公共點，若四邊形[AF1BF2]為矩形，則[C2]的離心率為（ ）

[y] [x][O][A][B][F2][F1]

A. [2] B. [3] C. [32] D. [62]

解析 點A在橢圓C1，

根據(jù)橢圓定義得：[AF2+AF1=4]. ①

點A在雙曲線C2上，根據(jù)雙曲線定義得（設(shè)雙曲線方程為[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]），

則[AF2-AF1=2a]. ②

由①②可得[AF1=2-a，AF2=2+a]，

且[F1F2=2c=23]，∴[c=3].

又四邊形[AF1BF2]為矩形，所以[△AF1F2]為直角三角形，∴[（2-a）2+（2+a）2=12]，

解得[a=2]，∴[e=ca=32=62].

答案 D

點撥 該題利用幾何關(guān)系構(gòu)建a，b，c的等量關(guān)系. 化歸為關(guān)于a的一元二次方程直接求解出a，則該題可解.

[利用三角形與雙曲線關(guān)系]

[M][x][A][B][O] [y] 例6 如圖，已知A，B為雙曲線E的左、右頂點，點M在E上，[△ABM]為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（ ）

A. [5] B.2

C. [3] D. [2]

解析 設(shè)雙曲線E的標準方程為[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]，則[A-a，0，B（a，0）]，

不妨設(shè)M在第一象限內(nèi)，由題知[∠MBA=120°].

則[∠MBX=60°，]而[AB=BM=2a]，∴[M（2a，3a）]，

又點M在雙曲線上

∴[（2a）2a2-（3a）2b2=1 ?b2=a2，]

∴[e=1+b2a2=2].

答案 D

點撥 利用三角形內(nèi)角與外角關(guān)系，借用直角三角形中特殊角找到邊的關(guān)系，從而得到M點坐標而求解.

[利用拋物線與雙曲線關(guān)系]

例7 平面直角坐標xOy中，雙曲線[C1：x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的漸近線與拋物線[C2：x2=2py（p>0）]交于點[O，A，B]，若[△OAB]的重心為C2的焦點，則C1的離心率為 .

解析 設(shè)點A在點B左側(cè)，拋物線C2的焦點為F，

則F（0，[p2]），聯(lián)立得[x2=2py，y=-bax，]和[x2=2py，y=bax，]

分別[A（-2bpa，2b2pa2），B（2bpa，2b2pa2）]，

∵[F]為[△OAB]的重心，

∴[AF⊥OB]，∴[kAF?kOB=-1]，

即[2b2pa2-p2-2bpa·ba=-1?4b2=5a2?4（c2-a2）=5a2]

[?c2a2=94].

∴[e=ca=32].

點撥 借用雙曲線漸近性與拋物線聯(lián)立方程求出坐標，注重計算，結(jié)合重心關(guān)系，達到解題目的.

求雙曲線的離心率問題，背景題設(shè)條件非常豐富，結(jié)合非常廣，但基本的條件[c2=a2+b2]不變，我們要善于從題設(shè)條件中挖掘等量或不等關(guān)系，轉(zhuǎn)化成a與c的關(guān)系即可求解.