別依然

數(shù)學(xué)思維能力，是用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問題和解決問題的能力. 我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，有意識(shí)地培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，是變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵一環(huán). 下面，我們主要通過數(shù)獨(dú)這種數(shù)學(xué)游戲，為大家介紹應(yīng)該如何有針對(duì)性地培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.

所謂數(shù)獨(dú)，是源于18世紀(jì)初瑞士數(shù)學(xué)家歐拉等人研究的拉丁方陣，后來發(fā)展為在9×9數(shù)格中，每一行、每一列、每個(gè)粗線宮格內(nèi)數(shù)字包含1～9不重復(fù)的數(shù)學(xué)游戲. 如圖1所示：

陰影部分不可能出現(xiàn)數(shù)字A，在數(shù)獨(dú)開局時(shí)要注意全盤考慮. 首先確定可以用余數(shù)法和摒除法填出的數(shù)字. 而在數(shù)學(xué)的解題過程之中，許多時(shí)候也需要縱觀全局，把握整題的考查方向，并采取有針對(duì)性地思維方法和技巧，往往能起到事半功倍的效果.

[熟悉概念，明確限制條件]

解析 易知C1列中還缺少數(shù)字2、5、9，因?yàn)镽5列已有數(shù)字2和9，所以在（R5，C1）這個(gè)格子中就只能填5. 此時(shí)，再通過其它提示數(shù)進(jìn)行刪減等位群格得到（R6，C5）位數(shù)字5.

點(diǎn)撥 熟記數(shù)學(xué)定義及概念，一方面是便于我們理解知識(shí)，另一方面是這些定義與概念反映到具體的試題中往往代表了許多隱含的限制條件，有助于我們排除干擾項(xiàng). 例如此題的解答過程，就是通過利用數(shù)獨(dú)游戲中特定的“某一行或某一列中不能重復(fù)出現(xiàn)相同數(shù)字”這一游戲規(guī)則完成對(duì)數(shù)字2和9的排除. 這種思維方法在高中數(shù)學(xué)解題中也十分實(shí)用，許多題目通過這種定義及概念排除法就可以輕易得出答案，尤其是在涉及曲線方程的試題中，根據(jù)相關(guān)圖形定義排除方程增根，將有效規(guī)避錯(cuò)誤解答，節(jié)省答題時(shí)間.

[邏輯思維，步步為營]

解析 由（R8，C2）的7可知，第九宮中的7一定在R9這一行，由此又可知第八宮中的7在R7行. 又即有7在C4、C6，因此可填出（R7，C5）處為7，故第二宮的7位于（R1，C6）. 又可得出第一宮的7位于（R3，C3）處，所以第四宮的7位于（R5，C1）處，故第六宮的7位于（R4，C7），這時(shí)發(fā)現(xiàn)，原本推理的源頭，第九宮的7被推出，位于（R9，C9）.

點(diǎn)撥 高中數(shù)學(xué)解題也是一樣，不能全靠投機(jī)取巧走捷徑，普遍還是要依賴大量扎實(shí)嚴(yán)密的邏輯推理和計(jì)算. 例如在解三角函數(shù)方程時(shí)，一般會(huì)有如下幾個(gè)步驟：確定自變量范圍→確定值域→確定函數(shù)準(zhǔn)確值→求出自變量. 這種步步為營的解題方式，是高中數(shù)學(xué)的基石，正所謂“當(dāng)笨辦法是解題的唯一方法時(shí)，它就是最好的辦法”. 因此，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的練習(xí)中，要有意識(shí)地鍛煉自己的邏輯思維能力，這是加快解題速度的基礎(chǔ).

[逆向思維，另辟蹊徑]

解析 利用現(xiàn)有的條件無法用常規(guī)邏輯推導(dǎo)得到C1的最終填法. 因此，不妨假設(shè)（R5，C1）為3，（R6，C1）為7，再通過模糊推斷法可得到第五宮格的7和3的位置. 但此時(shí)觀察第八宮格，3、7、8這3個(gè)數(shù)均只能在該宮格的C5處，且第八宮格中已出現(xiàn)6，出現(xiàn)了矛盾. 由此可以假設(shè)不實(shí). 因此正確填法是（R5，C1）為7，（R6，C1）為3.

點(diǎn)撥 在高中數(shù)學(xué)中，假設(shè)法、反證法是十分有效及常用的證明手段和解題手段. 許多證明題直接從正面推導(dǎo)往往難以下手，于是便假設(shè)命題不成立，提出其與已知條件或公理的矛盾，從而設(shè)法推導(dǎo)得到“假設(shè)不真，命題成立”的結(jié)果. 比如解答排列組合題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到正面推導(dǎo)繁雜無比，而且容易遺漏特定情況的排列組合，此時(shí)不妨利用逆向思維，先計(jì)算完全不滿足所設(shè)條件的排列組合情況，再通過補(bǔ)集法得到答案.

[發(fā)散思維，類比分析]

例4 如圖5，函數(shù)f（x）=sin2x和函數(shù)g（x）的部分圖像，則函數(shù)g（x）的解析式是（ ）

[O][y][x][g（x）][f（x）=sin2x]

圖5

A. g（x）=sin（2x[-π3]） B. g（x）=sin（2x[+2π3]）

C. g（x）=cos（2x[+5π6]） D. g（x）=cos（2x[-5π6]）

解析 由圖顯然可知g（0）≤0，故排除B、D選項(xiàng)；f（[π8]）=[22]=g（[17π24]），將[17π24]代入A，C兩答案，可排除A，答案選C.

例5 求證y=sinx的最小正周期為2π.

解析 ∵sin（x+2π）=sinx，

∴2π是y=sinx的一個(gè)周期.

假設(shè)存在常數(shù)T[∈]（0，2π）是y=sinx的最小正周期，

∴sin（x+t）=sinx對(duì)x[∈]R恒成立.

令x=[π2]，則sin（[π2]+T）=cosT=sin[π2]=1，

∴T=2kπ（k[∈]Z）與T[∈]（0，2π）矛盾.

所以假設(shè)不成立，命題成立.

例6 若x2+tx>4x+t-3，存在t[∈]（1，4]使之成立，求x的范圍.

解析 整理不等式得：（x-1）t-4x+x2+3>0，存在t[∈]（1，4]使之成立.

若直接進(jìn)行推算，要討論x>1，x=1，x<1三種情況，

故轉(zhuǎn)而求：當(dāng)t[∈]（1，4]時(shí)，若（x-1）t-4x+x2+3≤0恒成立.

則令f（t）=（x-1）t-4x+x2+3 為關(guān)于t的一次函數(shù)，

∴只要f（4）≤0；且f（1）≤0

可得結(jié)果為x=1

由補(bǔ)集法可知，滿足題意的x的取值范圍為（-∞，1）U（1，+∞）.

點(diǎn)撥 在解數(shù)獨(dú)的過程中，經(jīng)常有種有趣的現(xiàn)象：做數(shù)獨(dú)推算時(shí)，偶爾還需要用相對(duì)概率來提高準(zhǔn)確率，在某格中某數(shù)的出現(xiàn)概率=它在九宮格出現(xiàn)的概率（為0或1）×它在某行出現(xiàn)的概率×它在某列出現(xiàn)的概率. 這樣，通過這個(gè)公式，就可以在進(jìn)行假設(shè)時(shí)提高正確率，更高效地解決數(shù)獨(dú).

同樣，在高中數(shù)學(xué)的解題過程中，通過大量練習(xí)的積累，會(huì)逐漸形成一種感覺經(jīng)驗(yàn)——拿到一道題目，稍加分析，就可以判斷出用什么方法解答最簡潔方便. 就像上面列舉的三個(gè)例題的解題過程一樣，都是采取最有效方法的最優(yōu)解. 要形成這種快速、高效、準(zhǔn)確解答的技能，就要求我們?cè)谄綍r(shí)的練習(xí)中，利用發(fā)散思維，多開展“一題多解”與“多題一解”的嘗試，然后通過類比分析，真正體會(huì)到針對(duì)某一類題型或某一類問題的最優(yōu)化解答方式. 這樣才能在考試中，有效提升解題速度和準(zhǔn)確率.

數(shù)獨(dú)只是利用數(shù)學(xué)規(guī)律演化出的一種相對(duì)簡單的游戲. 但透過這扇窗戶，給我們展示了一番嶄新的景象——在數(shù)學(xué)思維的指引下，正確地做題，比單純題海戰(zhàn)術(shù)一味只想把題做正確，要更有收獲，學(xué)習(xí)更高效.

數(shù)獨(dú)約有6.67×1021種組合，我們不是電腦，不能用無盡地嘗試來解決這難題，我們只有用科學(xué)的數(shù)學(xué)思維照亮前路，去思索，去挖掘. 數(shù)獨(dú)如此，數(shù)學(xué)，亦是如此.