萬 能 ，段永吉 ，張森堂 ，杜 珂

（1.西北工業(yè)大學現代設計與集成制造技術教育部重點實驗室，西安 710072；2.中國航發(fā)沈陽黎明航空發(fā)動機（集團）有限責任公司，沈陽 110043）

電解加工以其加工效率高、加工表面質量好、不產生殘余應力等優(yōu)勢成為葉片加工的重要特種加工方法。由于電解加工的成形機理復雜，試驗成本高，工具電極的設計難度大，需要反復試驗修正。因此有必要在計算機中預先進行加工過程仿真。不同工況下，葉片電解加工過程仿真可以減少批量生產前的試制時間和成本。目前，常用的電解加工過程仿真與陰極優(yōu)化設計的數值計算方法主要基于有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）和邊界元法（BEM）。Purcar[1-2]提出應用邊界元法仿真電解加工過程中的陽極工件變化，利用解算網格單元節(jié)點沿電流密度方向的移動速率獲得陽極的形狀變化。Kozak[3-5]提出了穩(wěn)態(tài)條件下電解加工的電場數學模型，指出平衡狀態(tài)下陰陽極間隙與電勢差、電導率之間的經驗關系。Drake[6]采用數值方法仿真了不同溫度、壓力和電解液流速等情況下電解過程的穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)情況。Buoni[7-8]等使用有限元法離散一個任意的空間區(qū)域，求解每一個瞬時的電場分布。朱荻院士[9-11]團隊也提出了在三維環(huán)境下基于有限元法進行陰極設計的方法，并將方法應用于壓氣機葉片加工的陰極設計中，但應用有限元法降低了優(yōu)化效率和計算精度。但上述研究方法的不足是，因為幾何建模與數值分析模型采用不同數學描述方法，兩者之間需要相互轉換，所以有如下問題：（1）分析模型的準備時間長，轉換常出現模型質量不好的現象；（2）陰極優(yōu)化與電解過程仿真的結果表現為網格結點的位置變化，需要通過擬合網格結點重構復雜型面；（3）傳統(tǒng)有限元法采用多項式基函數的網格單元逼近表示邊界，從原理上不能精確表達求解區(qū)域邊界處的約束，不適于葉片電解加工這類對邊界敏感問題的求解。Hughes[12]和Huerta[13]等提出等幾何方法，利用 NURBS 基函數統(tǒng)一幾何建模與數值分析的思路。Wang等[14]借鑒無網格方法中的變換法思想，提出一種基于配點的強施加方法——通過選擇一組合適的邊界配點擬合控制變量，從而顯著提高近似解的收斂率。文獻[15]針對平流-擴散問題和不可壓縮 Navier-Stokes 方程提出了Dirichlet 邊界條件的弱施加方法，該方法為解決等幾何分析中邊界條件處理提供了重要思路，并將這種方法推廣到了墻壁約束的湍流問題[16]。因此，本文試圖將等幾何法應用于葉片電解加工的過程仿真，以期避免過程仿真中反復轉化幾何與分析模型，同時能夠更快地分析收斂和具有更高的分析精度。

葉片電解加工腐蝕的數學模型

葉片這類復雜型面工件的電解加工可采用一個形狀類似的陰極工具（刀具），工件作為陽極。以陰極工具向陽極工件逐步進給，在陰陽極之間的加工間隙通過高速電解液，帶走葉片表面的陽離子，逐漸將葉片工件腐蝕成需要的表面形狀，如圖1所示。

對于葉片電解加工過程而言，是多種物理場耦合作用形成最終葉片外形。在這些影響因素中，電壓引起工件的電化學反應并且加工時間決定了葉片表面的材料溶解量。因此，本文在影響電解加工的諸多因素中，選取了電場作為加工仿真的物理對象，構建了相應的仿真模型。

圖1 葉片電解加工原理模型Fig.1 Electrochemical machining principle diagram

一般認為，當電解加工過程處于平衡狀態(tài)時，加工間隙內的電場屬于穩(wěn)恒電場，電位分布符合Laplace方程：

工件陽極邊界條件Γa為：

陰極邊界Γc條件為：

在邊界Γb上邊界條件為：

以上式中，φ為加工間隙中各點電勢值，U為工件陽極表面電勢值，n為工件陽極表面各處的法向坐標。在電解加工中，工件的外形變化取決于表面材料溶解率，而材料溶解率取決于加工間隙間的電勢梯度。電勢梯度是隨著加工過程中材料幾何外形的變化而變化的。通過分析加工間隙中的電場分布就可以獲得電勢梯度，隨后陽極工件的腐蝕速度也可以根據法拉第定律計算得到。

根據電場理論，電流密度j與電場強度E成正比：

其中，j是電流密度，E是電場強度，к是電解液電導率。

根據法拉第定律，陽極工件的材料溶解體積可以被定義為：

其中，ω是陽極材料的體積電化學當量，I是電流，t是加工時間。

另外，電解加工中去除材料的體積可以被定義為：

其中，va是陽極的溶解速率，ΔS是陽極表面腐蝕的一個小面積塊。

電流則可定義為：

將公式（5）、（6）、（7）代入公式（8），則可獲得陽極工件的腐蝕率表達為：

工件腐蝕速度va和陰極垂直進給速度v之間的關系是：

為了顯示陽極工件型面的變化過程，需要計算仿真葉片加工間隙的電場分布與腐蝕情況。陽極工件隨著陰極工具的進給而被腐蝕，陽極工件型面發(fā)生變化進而造成加工間隙變化。取不同時刻的陰極工具進給狀態(tài)，可以計算出陽極工件不同時刻的腐蝕狀態(tài)，形成葉片電解加工過程仿真。

基于等幾何法的電解加工過程仿真特點與思路

1 基函數統(tǒng)一的幾何與分析模型

目前，商用CAD系統(tǒng)通常采用非均勻有理B樣條表示葉片這類具有復雜曲面的幾何模型。等幾何法的基本思想就是采用同一套NURBS基函數統(tǒng)一表達幾何模型和數值分析模型。對于葉片加工間隙采用樣條體表示，它是使用3個節(jié)點矢量定義的張量積樣條。

其中：

式中為節(jié)點矢量的索引集，為各節(jié)點矢量對應的單變量B樣條基函數。ωijk，ωi'j'k'為權因子。

2 自然劃分加工間隙的參數域

NURBS基函數是由節(jié)點矢量和樣條次數定義的，而張量積樣條的節(jié)點矢量正好張成加工間隙參數域上的規(guī)則網格。等幾何法采用節(jié)點矢量張成的規(guī)則網格做自然劃分，而無需后續(xù)的網格剖分工作。借用經典有限元法中單元和節(jié)點的概念，把等幾何法中的單元類比為測度不等于零的節(jié)點間隙，而節(jié)點類比為間隙內非零基函數對應的控制頂點。對于三維張量積樣條，單元可表示為其中可以發(fā)現單元內的非零基函數共有個，其中p，q，r為基函數的次數。

3 NURBS基函數的非插值性

相對于經典有限元的多項式基函數，NURBS基函數具有很多優(yōu)點，例如它可以精確表示任意的幾何模型，在單元邊界處可以獲得更高的連續(xù)性，但它缺少一個重要的性質，即在節(jié)點處的插值性，即εj為節(jié)點處的參數值。雖然可以由“開放節(jié)點矢量”定義的單變量樣條基函數在曲線首末端點處獲得插值性，但是當擴展為張量積樣條時并不是總能成立。單變量基函數在首末端點處滿足插值條件，但是二維張量積樣條基函數除4個角點外，在其他各節(jié)點處都不具有插值性。因此等幾何法不能像傳統(tǒng)有限元法一樣對葉片電解加工間隙的節(jié)點處場變量插值以表示Dirichlet邊界條件。

4 葉片電解加工過程仿真思路

在葉片電解加工的計算機過程仿真中，葉片工件與陰極工具之間的加工間隙一般采用CAD系統(tǒng)建立其幾何模型。這種幾何模型是基于B-Rep格式表達的體模型，而以其作為加工間隙求解域，則采用多項式網格劃分進行有限元法的數值計算。當求解域幾何變化后，需要重新劃分網格，計算分析后又需要重新調整加工間隙的NURBS曲面形狀。究其原因就是幾何求解域與物理量逼近空間采用不同的數學表達形式，因此造成過程仿真中模型重復轉換，轉換精度喪失等問題。因此本文利用加工間隙的參數化幾何模型與分析模型共用NURBS基函數實現參數化建模，并自然完成分析單元創(chuàng)建。在完成某一瞬態(tài)下的電場強度分析后，根據法拉第定律建立腐蝕體積與電場強度之間關系，可以獲得加工Δt時間后加工間隙邊界上任意一點處在不同方向上的位移。根據邊界上采樣點的位移反求各自由曲面邊界上的控制頂點位移，即完成了加工間隙重新幾何建模，如圖2所示。

圖2 葉片電解加工仿真過程Fig.2 Simulation process of blade ECM

基于等幾何法的葉片電解加工電場強度分析

1 葉片電解加工常微分方程組構建

采用加權余量法推導方程（1）的等效積分弱形式：

方程（1）兩邊同乘以權函數w，得到：

由格林第一公式：

式中由于在邊界Γb上在本質邊界Γa和Γc上權函數w=0，則可得到：

使用NURBS基函數作為電場的形狀函數，只在空間域上進行離散化。其中 為電勢物理量的控制變量，即基函數的系數項，電位場值變量的逼近公式可寫為：

取權函數w為NURBS基函數族，再代入到公式（6）中可以得到方程組形式：

整理得到電位場值問題的一階常微分方程組形式：

式中為某時刻加工間隙電勢值的控制變量，[Kij]和[Fi]分別被稱為剛度矩陣和載荷向量。它們的計算公式為：

2 葉片電解加工間隙的剛度矩陣和載荷向量的裝配

假設葉片電解加工加工區(qū)間對應U、V、W方向上參數域的節(jié) 點 矢 量 為 [0,ε1,ε2,...εi,εi+1,...1]，[0,η1,η2,...ηj,ηj+1,...1]和[0,ζ1,ζ2,...ζk,ζk+1,...1]，基于這些節(jié)點矢量所構建的基函數為Ni,Nj,Nk。由于NURBS基函數的局部支撐性，即基函數Ni,Nj,Nk只在區(qū)間內 有 非零值，其中基函數取工程中常見的3次，即p=3，公式（14）中的積分運算就不用在整個參數域Ω內進行。考慮參數域中所有測度不為零的間隔，可以把Ωe看成為電解加工間隙劃分的等幾何分析單元，因此顯然有結論定義單元剛度矩陣[K e]和單元載荷向量[F e]：

類似于有限元方法，等幾何分析法也可以看成是劃分了NURBS樣條體單元，如圖3所示，但這種單元在加工間隙建模完成時即已完成。同樣等幾何法也有一個單元剛度矩陣和載荷向量的裝配過程，通過單元剛度矩陣裝配得到全局剛度矩陣。

3 葉片電解加工間隙幾何的參數化

葉片電解加工間隙的邊界Γa與邊界Γc為自由曲面，邊界Γb為直紋面。為了建立加工間隙的參數化幾何模型，可以對工件表面和陰極工具表面選取采樣點，獲得邊界Γa和Γc上的采樣點，另外依據等參條件給定Γb上的采樣點，如圖4所示。

圖3 NURBS樣條體單元Fig.3 NURBS volume element

圖4 葉片電解加工間隙的三維模型及采樣點Fig.4 sampling points on the model of machining gap

航空發(fā)動機葉片的葉盤葉背的曲面比較平展，曲率變化不急劇。因此本文的采樣點選取原則：在邊界曲面Γa、Γc和Γb的邊界線上沿著U向、V向和W向按照等弧長原則選擇采樣點，分別取樣m、n、l個點，按照3個方向分別記為Pijk。曲面上采樣點集合Pijo、Pijl按照U、V方向等參選取， 集合按照V，W方向等參選取，Piok、Pink集合按照U，W方向等參選取。其中，i=0，1,2，...，m；j=0，1,2，...，n；k=0，1,2，...，l。

建立葉片電解加工間隙參數化模型的步驟如下：

（1）如圖4所示，在加工間隙的邊界上取采樣點集合Pioo，其 中

（2）采用累加弦長法建立P0jk，Pi0k和Pij0集合對應在參數域中對應參數值，其中i=0，1,2，...，m；j=0，1,2，...，n；k=0，1,2，...，l。將U、V、W3個方向的節(jié)點矢量統(tǒng)一記為，其中可以代表其中任何一種，s是對應下標i、j、k其中一種。

（3）構建3個方向的節(jié)點矢量。即令節(jié)點矢量滿足p是曲面的次數，本文取工程中最常見的次數為p=3。

（4）節(jié) 點 矢 量 記 為rs′其 中s′=0,1,2,...,s+p+1，。以rs′作為節(jié)點矢量分別構建在U、V、W方向上的 NURBS 基函數Ni、Nj和Nk。

（5）分別對Γa、ΓbF、ΓbB、ΓbL、ΓbR、Γc6個邊界面反求其控制頂點集合若記加工間隙邊界Γ上的控制頂點為Ctrl(Γ)，則可得到：

（6）驗證采樣點擬合曲面誤差。由于采用的是準均勻節(jié)點矢量，因此對于6個邊界曲面，每張曲面的角點處采樣點P000，Pm00，P00l，Pm0l，P0n0，Pmn0，P0nl，Pmnl與控制頂點重合，因此可以將由采樣點擬合的邊界曲面Γ f和CAD建模的理論邊界曲面Γ t的4個角點重合。由邊界Γ t上采樣點Pijk做邊界Γ f的垂線，交于邊界Γ f上的點記 為P′ijk。 記

當滿足εmjk≤ ε,εi0k≤ ε,εink≤ ε 時，則認為控制頂點所構建加工間隙邊界與加工間隙模型一致。

（7）通過對邊界控制頂點超限插值可以得到整個加工間隙體的控制頂點：

（8）最終得到葉片電解加工參數化間隙體的控制頂點為：

其中，i=0，1,2，...，m，j=0，1,2，...，n，

因此，葉片電解加工間隙的幾何模型可表示為

文章后續(xù)將

簡寫為

4 Dirichlet邊界約束處理

由于采用NURBS基函數表達葉片電解加工間隙的電場分布，因此不能像傳統(tǒng)分段多項式有限元單元一樣插值Dirichlet邊界上采樣點的電場值。因此，采用強施加方法對公式（14）施加Dirichlet邊界條件。假設弱解φ∈s可以表示為兩部分之和：u=e+g，其中g∈s，e∈V，代入到公式（11）中得到：

式中是集合B中對應基函數的控制變量是集合I中對應基函數的控制變量?？紤]到NURBS基函數的局部支撐性質，只有少量的基函數在邊界上有非零值。不失一般性，假設集合由于加工間隙中穩(wěn)態(tài)電場的求解方程組公式（14）沒有考慮強制邊界條件，剛度矩陣是奇異的。因此，在邊界Γa和Γc上引入采樣點χmm0，χmm1處的電場電勢值對應參數域坐標為則弱解中的強制邊界條件項可近似表示為：

對其中的基函數進行排序后，可以求出控制變量并將帶入到公式（14）消元后即可求得未知內部控制變量。令最終利用逼近表達了電解加工間隙的電勢分布。

葉片電解加工過程的仿真

通過采用NURBS基函數作為逼近電勢空間的形狀函數，求得了陽極表面任一點處的電勢值。由于電場強度是電勢的梯度，即可得記加工間隙邊界曲面上任意一點為加工 Δt時間后該點的位移后的坐標為：

對于葉片陽極表面Γa而言，根據公式（9）計算得到腐蝕速率在 腐 蝕 時 間 Δt時間后，可以得到陽極工件表面上任一點在U、V、W方向上的位移分量為和陽極表面上對應該點腐蝕產生位移后的坐標記為：

對于陰極工具表面Γc而言，它是沿著Z軸的負方向以速度v進給，而陰極工具由于不會發(fā)生電化學反應，因此其表面不會發(fā)生變化，是一種剛體運動。其上任一點的位移是：

如圖5所示，對于加工間隙的邊界曲面Γb而言，其上任一點隨著加工間隙的變化而產生位移。在t時刻，由陰極曲面邊界曲線上采樣點其集合記為Pc，其每一點的Z坐標記為沿其進給方向做直線交于陽極曲面邊界曲線上，交點記為（其集合記為P'c），求出間隙值為腐蝕 Δt時間后，間隙值變?yōu)橹忻恳稽c的Z坐標記為則在邊界Γb上任一點的位移是：

由于在時刻t=0時，邊界Γa、Γb和Γc上采樣點記為根據公式（19）、（20）和 (21)計 算 可 得 Δt時間后的對應采樣點為將采樣點執(zhí)行“建立葉片電解加工間隙參數化模型”第（5）步反求出各邊界面上的控制頂點，執(zhí)行第（7）步超限插值獲得加工Δt后加工間隙樣條體的控制頂點相應的加工間隙參數化幾何體為

利用統(tǒng)一的NURBS基函數統(tǒng)一表達幾何模型與數值計算模型，將陽極工件表面因為腐蝕而造成的型面幾何變化直接轉化為型面控制頂點的變化，可以避免葉片電解加工過程仿真中兩種模型的相互轉換。消除了由于傳統(tǒng)有限元法方法因為要進行模型轉化而影響計算效率的因素。

試驗驗證

根據上述分析，我們設置電解加工仿真的電勢差為15V，陰極進給速度為0.5mm/min，電解液成分為NaNO3，濃度10%，初始溫度25～30℃，流速為 15m/s，工件材料為2Cr13鋼。

利用三維設計軟件NX建立葉片電解加工初始狀態(tài)下陽極工件和陰極工具加工型面的幾何模型，如圖6所示。

在加工間隙的每個面上，分別在兩個方向上按照等弧長原則選擇采樣點，并通過采樣點反求每個面的控制頂點。利用“超限插值”方法求解出加工間隙體內的控制頂點，得到加工間隙體的控制頂點網格，從而參數化地表達加工間隙體，如圖7所示。

圖5 采樣點的腐蝕位移模型Fig.5 Sampling point corrosion displacement model

圖6 加工間隙幾何模型Fig.6 Geometry model of machining gap

利用邊界配點法施加電解加工間隙邊界處的電勢約束條件，通過計算得到加工間隙內的電勢分布，電場矢量分布如圖8所示。

對經典有限元和等幾何分析的收斂速度進行比較，將經典有限元和等幾何分析法分別采用三次函數構建。雖然樣條函數也可理解為定義在參數域內的分段（有理）多項式，但它通常可以獲得比經典有限元更高的單元邊界連續(xù)性。經典有限元在單元邊界處通常是C0連續(xù)，而樣條函數可以獲得C p-r（r為節(jié)點重復次數）連續(xù)。因此，如圖9所示，等幾何分析方法可以獲得更高的分析精度。計算數據表明，在相同的網格自由度情況下，FEM和等幾何法都能達到收斂，但是相對來說等幾何法的收斂速度明顯要快于FEM。

利用求解出的電場矢量分布，根據公式（19）、（20）和 (21)計算可得Δt時間后的對應采樣點的偏移，通過采樣點新的位置重新擬合陽極工件型面，并帶入公式反求每個面的控制頂點，超限插值建立加工間隙體的控制頂點網格，并再次進行分析計算。這樣隨著工具陰極不斷的進給，工件陽極被不斷的腐蝕加工，我們選取仿真過程中T=0min、T=5min、T=10min、T=15min 4個時間點，可以清楚地看出陽極工件隨著時間的變化慢慢成形，如圖10所示。

圖7 加工間隙體的控制頂點Fig.7 Control points of machining gap parametric model

圖8 加工間隙內的電勢分布與電場矢量分布Fig.8 Electric potential distribution and electric field distribution

圖9 有限元和等幾何法的收斂速度比較Fig.9 Convergence speed comparison between finite element method and Isogeometric analysis

圖10 加工間隙電解過程仿真Fig.10 Process simulation of ECM

結束語

電解加工是航空發(fā)動機葉片加工的一種重要的特種加工技術，其加工過程仿真對于預測加工結果、提升加工質量等都有幫助作用。本文針對航空發(fā)動機葉片這類具有復雜型面產品的電解加工過程仿真，提出加工間隙幾何建模和電場分布數值分析共用相同的NURBS基函數這一思路，幾何建模結束就自然劃分了用于電場矢量分析的單元網格，電場矢量分析結果直接轉化為幾何模型的控制頂點位移，避免了傳統(tǒng)有限元方法的網格剖分與幾何模型重構，節(jié)約了這兩部分所消耗的時間。另外，對于相同粒度的網格單元，等幾何法較有限元法有更快的收斂速度，單次分析所用時間短于使用有限元法。因此，基于等幾何法進行航空發(fā)動機葉片電解加工的過程仿真較傳統(tǒng)采用有限元法具有更好的響應速度和更高的仿真精度。

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