李瑞杰，包俊東

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，呼和浩特　010022)

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非線性奇異時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒同時(shí)保性能優(yōu)化控制

李瑞杰，包俊東

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，呼和浩特010022)

摘要：針對(duì)一組非線性奇異時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒同時(shí)保性能控制問(wèn)題進(jìn)行研究，用范數(shù)有界的不確定參數(shù)的微分方程組描述所考慮的系統(tǒng)；基于Lyapunov-Krasovskii泛函和線性矩陣不等式方法給出存在同時(shí)保性能控制器的充分條件；對(duì)具有線性矩陣不等式約束的凸優(yōu)化問(wèn)題求解,進(jìn)而明確給出使得性能指標(biāo)函數(shù)上界達(dá)到最優(yōu)值控制器的表達(dá)式；該控制器的設(shè)計(jì)方法不僅使得奇異時(shí)滯閉環(huán)系統(tǒng)組正則、無(wú)脈沖、同時(shí)魯棒穩(wěn)定，而且性能函數(shù)上界最優(yōu)；最后，給出算例驗(yàn)證該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：非線性奇異系統(tǒng)；時(shí)滯；不確定；同時(shí)保性能控制；線性矩陣不等式

奇異系統(tǒng)是比較廣泛的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，與實(shí)際生產(chǎn)生活聯(lián)系密切，因此奇異系統(tǒng)控制問(wèn)題引起學(xué)者的研究興趣。由于時(shí)滯現(xiàn)象以及外部擾動(dòng)的出現(xiàn)影響了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，越來(lái)越多學(xué)者研究滿足系統(tǒng)穩(wěn)定各種性能的控制器。如徐勝元等[1]對(duì)范數(shù)有界的不確定項(xiàng)利用魯棒鎮(zhèn)定控制得到狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法，后來(lái)魯仁全,蘇宏業(yè)，俞立[2-4]提出魯棒控制、最優(yōu)保性能控制等。然而不足之處在于這些控制都是針對(duì)時(shí)滯奇異系統(tǒng)的單一目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)，實(shí)際系統(tǒng)中常常需要滿足實(shí)際需要的更好性能?？刂葡到y(tǒng)多目標(biāo)設(shè)計(jì)受到人們廣泛的重視，文獻(xiàn)[5]針對(duì)線性奇異時(shí)滯系統(tǒng)提出魯棒H∞控制，這種控制既保證了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定又使得外部擾動(dòng)控制在γ衰減度內(nèi)。文獻(xiàn)[6]對(duì)線性系統(tǒng)提出魯棒H∞最優(yōu)保性能控制。

非線性奇異系統(tǒng)相對(duì)于線性更能貼切描述實(shí)際工程中復(fù)雜系統(tǒng)。因此，學(xué)者對(duì)非線性時(shí)滯奇異系統(tǒng)的控制問(wèn)題給予高度關(guān)注。非線性時(shí)滯奇異系統(tǒng)在魯棒控制、H∞控制、保性能控制問(wèn)題上取得頗豐研究成果。比如徐勝元，楊成梧[7]研究了不確定非線性廣義系統(tǒng)的魯棒控制。王巖青，姜長(zhǎng)生在文獻(xiàn)[8]對(duì)狀態(tài)為非線性的不確定線性變時(shí)滯系統(tǒng)的狀態(tài)控制器設(shè)計(jì)進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[9]中介紹當(dāng)狀態(tài)和輸入均有時(shí)滯出現(xiàn)時(shí)非線性不確定廣義系統(tǒng)的保性能控制器設(shè)計(jì)。保性能控制也可以應(yīng)用在非線性時(shí)滯廣義切換系統(tǒng)中[10]。最近幾年，陸續(xù)出現(xiàn)多種控制結(jié)合的方法滿足非線性閉環(huán)時(shí)滯奇異系統(tǒng)所期望的不同性能。文獻(xiàn)[11]利用魯棒控制、H∞控制與保性能控制研究非線性奇異系統(tǒng)。值得一提的是這些研究成果都沒(méi)有提到所設(shè)計(jì)控制器是否同時(shí)控制多個(gè)非線性時(shí)滯奇異系統(tǒng)。

同時(shí)鎮(zhèn)定問(wèn)題首先由SAEKS等[12]源于實(shí)際工程中多模型特征系統(tǒng)穩(wěn)定的需要首先提出。在國(guó)內(nèi)，曹永巖，孫優(yōu)賢[13]由狀態(tài)空間的互質(zhì)分解提出同時(shí)鎮(zhèn)定問(wèn)題研究。2011年關(guān)強(qiáng)，何冠男等[14]在回顧前人同時(shí)鎮(zhèn)定方法后，對(duì)“比利時(shí)巧克力問(wèn)題”，“香檳問(wèn)題”等進(jìn)一步探討分析同時(shí)鎮(zhèn)定問(wèn)題。至今，同時(shí)鎮(zhèn)定問(wèn)題仍是學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)領(lǐng)域。王德進(jìn)[15]研究了線性不確定系統(tǒng)族的同時(shí)保代價(jià)控制，并沒(méi)有涉及到非線性。魯仁全等[16]研究了非線性時(shí)滯奇異Lurie系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，基于線性矩陣不等式給出系統(tǒng)存在保代價(jià)控制器的充分條件并利用優(yōu)化問(wèn)題求出保代價(jià)函數(shù)的最小值。不足之處在于并沒(méi)有考慮多個(gè)非線性時(shí)滯奇異系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題。

本文創(chuàng)新之處在于所設(shè)計(jì)魯棒保性能控制器不再局限于單一系統(tǒng)而是能同時(shí)適用于多個(gè)非線性不確定時(shí)滯奇異系統(tǒng)，或者說(shuō)設(shè)計(jì)出的控制器可以使多個(gè)非線性時(shí)滯奇異系統(tǒng)共用。本文針對(duì)一組非線性奇異時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒同時(shí)保性能控制問(wèn)題展開(kāi)討論。所考慮系統(tǒng)中非線性項(xiàng)位于有限的霍爾維茨角域且不確定的參數(shù)滿足范數(shù)有界。在狀態(tài)變時(shí)滯有界的情況下，給出同時(shí)保性能控制器以及保性能函數(shù)的定義，基于Lyapunov-Krasovskii泛函和線性矩陣不等式方法給出存在同時(shí)保性能控制器的充分條件。進(jìn)而用線性矩陣不等式形式給出使系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且使得最優(yōu)保性能指標(biāo)函數(shù)有最小上界控制器的充分條件。所得結(jié)果不僅保證閉環(huán)系統(tǒng)組魯棒漸近穩(wěn)定，而且使得性能指標(biāo)函數(shù)上界達(dá)到最小值，即實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的優(yōu)化控制。最后，用算例結(jié)合matlab 工具箱求得可行解來(lái)說(shuō)明本文方法的有效性。

1系統(tǒng)描述與預(yù)備知識(shí)

考慮下面非線性不確定Lurie時(shí)滯奇異系統(tǒng)：

(1)

其中x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，u(t)∈Rm為系統(tǒng)控制輸入，E∈Rn×n是奇異陣，不失一般性，假設(shè)rankE=r

(2)

(3)

其中kij>0是標(biāo)量，注意到由系統(tǒng)描述式(1)和式(3)，式(3)可等價(jià)下面的表達(dá)式：

非線性時(shí)滯系統(tǒng)組式(1)的標(biāo)稱系統(tǒng)可以寫成如下形式：

(4)

由于E是奇異陣，不失一般性，可以假設(shè)

(5)

其中Ir表示r×r階的單位陣，對(duì)任何形式的E滿足rankE=r

(6)

與系統(tǒng)組式(1)相關(guān)聯(lián)的的性能指標(biāo)函數(shù)取為

(7)

其中對(duì)稱正定矩陣Q，R為加權(quán)陣。

本文的目的是討論非線性不確定時(shí)滯Lurie奇異系統(tǒng)的魯棒同時(shí)保性能控制問(wèn)題，首先給出該問(wèn)題的定義：

定義1考慮系統(tǒng)組(1)，如果存在狀態(tài)反饋控制律

(8)

Kc∈Rm×n為狀態(tài)反饋增益陣和標(biāo)量J*滿足允許的不確定性，使得閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且性能函數(shù)式(7)閉環(huán)值滿足J

引理1[17]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣U，V，W，其中W是對(duì)稱的，則

W+UFV+VTFTUT<0

對(duì)所有滿足FTF≤I的矩陣F成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)ε>0，使得

引理2[18]對(duì)于任意矩陣P，R和對(duì)稱正定矩陣Q，有以下不等式成立：

PTR+RTP≤PTQP+RTQ-1R

引理3[19]奇異系統(tǒng)

Ex′(t)=Ax(t)

的解是正則、無(wú)脈沖，當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣X滿足

XTE=ETX≥0，XTA+ATX<0

引理4[20-21]非線性時(shí)滯奇異系統(tǒng)組的標(biāo)稱系統(tǒng)(4)在u(t)=0時(shí)是魯棒穩(wěn)定的，如果存在正定對(duì)稱陣N>0，和矩陣L，以及標(biāo)量ε>0滿足

ELT=LET≥0

(9)

證明：由schur補(bǔ)性質(zhì)及式(9)，容易得到ALT+LAT<0。利用引理3可知矩陣對(duì)(E,A)是正則、無(wú)脈沖，即標(biāo)稱系統(tǒng)組式(4)是正則、無(wú)脈沖。系統(tǒng)組的魯棒穩(wěn)定性可由文獻(xiàn)[4]中定理1的證明過(guò)程推出。

2主要結(jié)果

下面給出非線性時(shí)滯標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)存在同時(shí)保性能控制器的充分條件以及相關(guān)性能函數(shù)的上界。

定理1如果存在正定對(duì)稱矩陣S，可逆陣P，以及正常數(shù)ε滿足如下的矩陣不等式：

LET=ELT

(10)

(11)

其中Ac=A+BKc，i=1,2,…，m，L=P-1，矩陣P具有形式

(12)

P11∈Rr×r是正定對(duì)稱陣，P12∈Rr×(n-r)，P22∈R(n-r)×(n-r)是可逆陣。則u(t)=Kcx(t)是標(biāo)稱系統(tǒng)組式(8)的同時(shí)保性能控制律，且此時(shí)相關(guān)的保性能函數(shù)有

證明：首先考慮狀態(tài)反饋控制下，標(biāo)稱系統(tǒng)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)組：

(13)

下證閉環(huán)系統(tǒng)式(13)的魯棒穩(wěn)定性。

由式(5)和式(12)中矩陣E，P具有的形式可知：

PE=ETPT>0

(14)

在式(14)兩邊左乘P-1，右乘P-T，由P-1=L，得到式(9)。

取閉環(huán)系統(tǒng)式(12)的同時(shí)候選的Lyapunov-Krasovskii泛函：

因?yàn)榫仃嘝E和S均為正定對(duì)稱陣，所以泛函V(x(t))正定。

定義如下輔助函數(shù)：

(15)

V(x(t))沿著閉環(huán)系統(tǒng)(13)對(duì)t求導(dǎo)得：

由引理1和引理2可以得到下面不等式：

(16)

(17)

只有

(18)

(19)

由式(14)和(19)結(jié)合定理1可知：非線性時(shí)滯奇異閉環(huán)系統(tǒng)式(13)魯棒穩(wěn)定。

下證性能指標(biāo)函數(shù)有上界：

若Γ<0，即xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)<-V′(x(t))成立。

在上式兩端對(duì)t進(jìn)行0到∞積分，有：

因閉環(huán)系統(tǒng)式(13)魯棒穩(wěn)定，則V(x(∞))→0。故

即保性能函數(shù)指標(biāo)有上界。

只需

即

(20)

由schur引理知：式(20)與式(11)等價(jià)，定理證畢。

下面給出帶有不確定項(xiàng)的非線性時(shí)滯系統(tǒng)式(1)閉環(huán)系統(tǒng)存在魯棒同時(shí)保性能控制器的充分條件并給出此時(shí)相關(guān)保性能函數(shù)的上界。

定理2如果存在正定對(duì)稱陣W，可逆矩陣X，矩陣Y以及正常數(shù)ε,ε1滿足下面矩陣不等式：

(21)

X11∈Rr×r是正定對(duì)稱陣，X12∈Rr×(n-r)，X22∈R(n-r)×(n-r)是可逆陣。進(jìn)而若式(21)有一組可行解W，X，Y，ε，ε1，則非線性時(shí)滯奇異系統(tǒng)式(1)的閉環(huán)系統(tǒng)的同時(shí)魯棒保性能控制器為：u(t)=YX-Tx(t)，且閉環(huán)系統(tǒng)保性能函數(shù)的上界為

(22)

證明：在定理2中式(11)加入不確定項(xiàng)，并用schur引理有

(23)

利用式(2)中定義的不確定項(xiàng)代入式(23)，得到等價(jià)的不等式：

(24)

式(24)由引理1，存在ε1>0可以得到等價(jià)的不等式

由schur引理上式等價(jià)于

(25)

定理中式(21)提供了一組魯棒同時(shí)保性能控制器的設(shè)計(jì)參數(shù)方法，下面給出通過(guò)解決優(yōu)化問(wèn)題得到使保代價(jià)函數(shù)閉環(huán)值最小最優(yōu)同時(shí)保性能控制器的設(shè)計(jì)方法。

定理3考慮非線性不確定時(shí)滯奇異系統(tǒng)(1)，如果下面的優(yōu)化問(wèn)題：

(26)

證明：由E,P的具體形式可知，系統(tǒng)的保性能函數(shù)的上界式(21)等價(jià)于

(27)

Trace(VVTW-1)=Trace(VTW-1V)

因此式(27)可以得到

J*<ρ+Trace(Z)

即對(duì)式(26)求最小值也就是對(duì)式(22)求最小值上界，證畢。

3仿真算例

考慮非線性不確定時(shí)滯奇異系統(tǒng)(1)，取m=2，相關(guān)參數(shù)如下：

利用Matlab工具箱對(duì)定理3中優(yōu)化問(wèn)題式(25)求解，結(jié)果如下：

ρ=-246.207 2Z=9.583 4

ε=10.315 4ε1=442.822 0

非線性時(shí)滯奇異閉環(huán)系統(tǒng)式(1)的同時(shí)保性能控制律為：

此時(shí)得到的保性能函數(shù)上界為：J*=-236.623 8，所得保性能控制律不僅保證具有所允許的不確定性的非線性時(shí)滯奇異系統(tǒng)組(1)魯棒漸近穩(wěn)定，而且確保性能函數(shù)的上界最優(yōu)。

4結(jié)論

本文研究了非線性時(shí)滯奇異系統(tǒng)的魯棒同時(shí)保性能控制問(wèn)題。給出同時(shí)保性能控制器以及保性能函數(shù)的定義，基于Lyapunov-Krasovskii泛函以線性矩陣不等式形式給出同時(shí)保性能控制器存在的充分條件，并通過(guò)對(duì)具有線性矩陣不等式的凸優(yōu)化問(wèn)題求解得到保性能函數(shù)上界最小值的控制器設(shè)計(jì)方法，使得閉環(huán)系統(tǒng)組魯棒穩(wěn)定且性能函數(shù)上界最優(yōu)。利用Matlab工具箱得到可行解，并通過(guò)算例驗(yàn)證本文方法的可行性。

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(責(zé)任編輯楊繼森)

本文引用格式：李瑞杰，包俊東.非線性奇異時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒同時(shí)保性能優(yōu)化控制[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2016(4):149-154.

Citation format:LI Rui-jie, BAO Jun-dong.Robust Simultaneous Guaranteed Cost Control for Nonlinear Singular Systems with Time-Delay[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(4):149-154.

Robust Simultaneous Guaranteed Cost Control for Nonlinear Singular Systems with Time-Delay

LI Rui-jie, BAO Jun-dong

(Mathematics Science College, Inner Mongolia Normal University, Hohhot 010022, China)

Abstract:The simultaneous guaranteed cost control problem for a group of nonlinear singular systems with time-delay robust was studied. The systems under consideration were described by differential equations which were with norm-bounded and uncertain parameters. A sufficient condition for the existence of simultaneous guaranteed cost controller was derived by the approach which based on Lyapunov-Krasovskii functional and linear matrix inequality(LMI). A convex optimization problem with LMI constraints was formulated, and controller which minimizes upper bound of cost index function was designed exactly. This design method makes sure that closed-loop of singular systems with time delay is not only regular, impulse free, robust stable but also upper bound of cost index function up to minimum. Finally, a numerical example was provided to demonstrate the availability of the proposed method.

Key words:nonlinear singular systems; time-delay; uncertain; simultaneous guaranteed cost control; linear matrix inequality(LMI)

文章編號(hào)：1006-0707(2016)04-0149-06

中圖分類號(hào)：O231.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi:10.11809/scbgxb2016.04.036

作者簡(jiǎn)介：李瑞杰(1990—)，女，碩士研究生，主要從事時(shí)滯奇異系統(tǒng)的同時(shí)鎮(zhèn)定與控制研究。

基金項(xiàng)目：內(nèi)蒙古師范大學(xué)2014年度研究生科研創(chuàng)新基金(CXJJS14054)

收稿日期：2015-10-18；修回日期：2015-11-23

【基礎(chǔ)理論與應(yīng)用研究】