劉剛++趙毅

解三角形試題是每年高考的熱點內容之一，主要考查正（余）弦定理、和差角、倍角公式等知識，以及三角恒等變換中的數(shù)學思想方法，檢測學生的計算能力和邏輯推理能力，通常屬于基礎題.在解三角形試題中有一類四邊三角形（有三條邊是三角形的邊，第四條邊由三角形中的一條邊上的點與相對的頂點連線得到）問題出現(xiàn)的頻率較高，下面以一道2015年這樣的高考試題為例，進行解法探究與變式梳理，供大家參考.

1試題

例1（2015年全國新課標Ⅱ理17）△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.

（Ⅰ）求sin∠Bsin∠C；

（Ⅱ）若AD=1，DC=22，求BD和AC的長.2試題特點

本題在三角形三邊的基礎上多了一條角平分線，屬于典型的四邊三角形問題.本題考查了正（余）弦定理、角平分線性質定理、等底同高三角形面積相等等知識.第（Ⅰ）問直接用正弦定理、角平分線性質定理即可得到答案；第（Ⅱ）問的難點是怎樣求出AC的長，通過角平分線AD得到了三個三角形：△ABC，△ABD及△ACD，對于學習較死板的學生不知道在哪一個三角形中用定理、套公式，很容易盲目代數(shù)運算，費時費力，效果適得其反.這樣的試題很能考查學生的識圖能力以及靈活的解題思路.

3解法分析

（Ⅰ）略.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得ACAB=12，設AC=m，則AB=2m.由△ABD面積是△ADC面積的2倍，得BD=2CD.又DC=22，所以BD=2.接下來求線段AC的長.具體解法如下：

思路一代數(shù)法.

解析1如圖1，在△ACD中，cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD=324-22m2.圖1

在△ABD中，cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD·BD=324-2m2.

因為∠ADB+∠ADC=π，所以cos∠ADB+cos∠ADC=0，即（324-22m2）+（324-2m2）=0，解得m=1，由此可求AC=1.

解析2如圖1，在△ACD中，cos∠CAD=AD2+AC2-CD22AD·AC=2m2+14m.

在△ABD中，cos∠BAD=AD2+AB2-BD22AD·AB=4m2-14m.

因為∠BAD=∠CAD，所以cos∠BAD=cos∠CAD，即2m2+14m=4m2-14m，解得m=1，由此可求AC=1.

點評解析1利用∠ADB與∠ADC互補，然后利用余弦定理建立等式關系；解析2利用∠BAD與∠CAD相等，然后利用余弦定理建立等式關系.兩種方法共同特點都是借助△ABD與△ACD角之間的關系建立方程，體現(xiàn)了方程的解題思想.

思路二向量法.

解析3因為AC=AD+DC，所以AC2=AD2+DC2+2AD·DC，

即m2=32+2cos∠ADB.①

因為AB=AD+DB，所以AB2=AD2+DB2+2AD·DB，

即2m2=32+2cos∠ADC.②

因為cos∠ADB+cos∠ADC=0，所以①+②，得3m2=3，解得m=1，由此可求AC=1.

點評向量既具有大小又有方向，所以向量是解決有關邊長與角問題的重要工具，本題在兩個三角形中利用向量的三角形法則，通過平方建立長度關系，這是常見的把向量轉化為長度的一種處理方式.

思路三幾何法.圖2

解析4如圖2，過點A作AE⊥BC于點E，設DE=x.

在Rt△AED中，有AE2=1-x2；

在Rt△ABE中，有AE2=4m2-（2+x）2；

在Rt△ACE中，有AE2=m2-（22-x）2.

由此得到4m2-（2+x）2=m2-（22-x）2，1-x2=m2-（22-x）2，分別整理得3m2=32+32x，m2=32-2x，消掉x得6m2=6，即m=1，由此可求AC=1.圖3

解析5如圖3，過點D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，設ED=x，由AD平分∠BAC，則DF=ED=x，借助Rt△AED，Rt△BED，Rt△AFD，Rt△DFC根據(jù)勾股定理可得AE=1-x2，BE=2-x2，AF=1-x2，CF=12-x2，由AB=2AC，可得212-x2+1-x2=2-x2，解得x=74，由此可求AC=1.

點評解析4通過過點A作高，借助AE利用勾股定理得到方程組使問題得到解決.解析5由角平分線聯(lián)想到構造角平分線的基本圖形，雖然有一些計算量，但深刻認識了圖形的特征，是學生較容易想到的一種解決方法.圖4

解析6如圖4，延長AD至E，使得∠ACE=∠ADB，由∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ADB=∠ACD+∠DAC，

得∠DAC=∠DCE.由AD平分∠BAC，得∠BAD=∠DAC=∠DCE，所以△ABD∽△AEC，△ABD∽△CED，即ABAE=ADAC，ADCD=BDDE，解得AE=2m2，DE=1.由AE-ED=AD，得m=1，即AC=1.

點評解析6結合已知角平分線的條件，添加輔助線構造相似三角形，通過相似建立邊的關系從而使問題得到解決，具有一定技巧性.

解析7由斯特瓦爾特定理（在△ABC中，若D是BC邊上一點，則AB2·CD+AC2·BD-AD2·BC=BD·CD·BC）得：圖522（2m）2+2m2-322×12

=22×322×2，解得m=1，即AC=1.

解析8如圖5，作△ABC的外接圓交AD的延長線于點E，連接BE，EC.由AD平分∠BAC，得BE=CE.

因為∠EAC=∠EBC，∠BDE=∠ADC，所以△BDE∽△ADC，即BDAD=DEDC=BEAC，解得DE=1，BE=CE=2.

由托勒密定理有AB·CE+AC·BE=AE·BC，代入得2（2m）+2m=322×2，解得m=1，即AC=1.

點評解析7，8借助平面幾何中的定理使問題得到解決，對于平時接觸競賽的同學來說游刃有余，通過高考體現(xiàn)了對不同層次的學生都有不同發(fā)展的新課標理念.

本題一共用了三種思路：代數(shù)法，向量法，幾何法，8種解法使問題得以解決，這些方法在解題中都是常用的方法.在解題過程中通常先用幾何法挖掘圖形特點，適當添加輔助線，然后再用代數(shù)法進行解決，這就是通性通法.教師要注意這方面的引導，這樣才能取得較好的解題效果，才能揭示問題的本質，從而提升解題的針對性.

4變式梳理

四邊三角形問題在近幾年的高考中頻繁出現(xiàn)，學生在解題時不知利用哪一個三角形，很容易陷入被動，下面把近幾年的有關高考題進行梳理，在解法上尋找最簡捷的方式，總結解題規(guī)律，從整體上認識和把握，做到有的放矢.

變式一角平分線型.

例2（2015年重慶理13）在△ABC中，∠B=120°，AB=2，∠A的角平分線AD=3，則AC=.圖6

解析如圖6，過點A作AE⊥CB交CB的延長線于點E，因為∠B=120°，所以∠ABE=60°.在Rt△ABE中，AB=2，則AE=62.在Rt△ADE中，sin∠ADE=AEAD=22，即∠ADE=45°.所以∠CAD=∠BAD=15°，即∠C=30°，在Rt△ACE中，AC=6.

點評遇到角平分問題注意利用角平分線性質定理或構造角平分線的基本圖形，這是常見的處理方式.本題∠B給出，構造了與∠B有關的直角三角形，通過解直角三角形使問題得到解決.

變式二中線型.

例3（2005年湖北理18）在△ABC中，已知AB=463，cosB=66，AC邊上的中線BD=5，求sinA的值.圖7

解析如圖7，延長BD至E，使BD=DE，連接AE，CE，則四邊形ABCE是平行四邊形.過點E作BC的垂線交BC的延長線于點F，過點A作AP⊥BC于點P，則四邊形APFE是矩形.在Rt△ECF中，cos∠ECF=cosB=66，CE=AB=463，所以EF=453，CF=43，即BP=43.在Rt△BEF中，BE=25，所以BF=103，即CP=23，由此得BC=2.在Rt△ACP中，AC=CP2+AP2=2213.在△ABC中，ACsinB=BCsinA，解得sinA=7014.

點評中線問題通常倍長構造平行四邊形，這是常見的處理方式.本題也可以過點D作AB的平行線構造三角形的中位線使問題得到解決.

變式3∠ADC或∠ADB已知型.圖8

例4（2014年北京理15）在△ABC中，∠B=π3，AB=8，點D在BC邊上，且CD=2，cos∠ADC=17.

（Ⅰ）求sin∠BAD；（Ⅱ）求BD，AC的長.

解析如圖8，過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DF⊥AB于點F，在Rt△ABE中，由AB=8，∠B=π3，得AE=43，BE=4.在Rt△ADE中，由cos∠ADC=17得sin∠ADC=437，所以AD=7，DE=1，即BD=3，EC=1.所以在Rt△ACE中，AC=7.在Rt△BDF中，∠B=π3，所以DF=332.在Rt△ADF中，sin∠BAD=3314.

例5（2010年高考全國課標卷理16）在△ABC中，D為邊BC上一點，BD=12DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面積為3-3，則∠BAC=.

解析如圖9，過點A作AE⊥BC于點E，因為∠ADB=120°，所以∠ADE=60°.在Rt△ADE中，AD=2，所以AE=3，DE=1.由△ADC的面積為3-3，得CD=23-2，所以CE=23-3，BD=3-1，即BE=3.由此得∠BAE=45°，tan∠CAE=CEAE=2-3，即∠CAE=15°，所以∠BAC=60°.圖9圖10

例6（2010年全國大綱Ⅱ理17）△ABC中，D為邊BC上的一點，BD=33，sinB=513，cos∠ADC=35，求AD.

解析如圖10，過點A作AE⊥BC于點E，在Rt△ADE中，由cos∠ADC=35，設DE=3x，

則AD=5x，AE=4x.在Rt△ABE中，tanB=AEBE=4x33+3x=512，解得x=5，所以AD=25.

點評由于∠ADC或∠ADB已知，所以可以作高構造直角三角形解決；也可以利用∠ADC與∠ADB互補關系通過余弦定理建立等式關系.

變式4其他類型.

例7（2010年陜西文17）在△ABC中，已知∠B=45°，D是BC邊上的一點，AD=10，AC=14，CD=6，求AB的長.

解析如圖11，在△ADC中，AD=10，AC=14，CD=6，由余弦定理得cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD=-12，

所以∠ADC=120°，即∠ADB=60°.

在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsinB，解得AB=56.

點評本題△ADC的三邊已知，所以可以用余弦定理求出某一個角，通過分析角之間的關系從而將問題解決.圖11圖12

例8（2013年福建理13）如圖12，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC=223，AB=32，AD=3，則BD的長為.

解析因為AD⊥AC，所以∠DAC=90°，即sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）

=cos∠BAD=223.在△ABD中，BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos∠BAD，把AB=32，AD=3代入求得BD=3.

點評通過已知條件△ABD可解，直接用余弦定理得出答案.

例9（2015年安徽理16）在△ABC中，∠A=3π4，AB=6，AC=32，點D在BC邊上，AD=BD，求AD的長.圖13

解析如圖13，過點D作DE⊥AB于點E，過點C作

CF⊥AB交BA的延長線于點F，由A=3π4，得∠CAF=π4，所以△CAF是等腰直角三角形.因為AC=32，所以CF=AF=3，即BF=9.在Rt△BCF中，通過勾股定理求得BC=310.因為AD=BD，DE⊥AB，所以AE=BE=3.由DE⊥AB，CF⊥BF，得DE∥CF，所以BDBC=BEBF，由此求得BD=10，即AD=10.

點評本題角A為鈍角，因此把角A的補角放在一個直角三角形內便于解決問題，所以可以過點C或B作三角形的高.本題通過化斜為直運用勾股定理、平行線分得對應線段成比例等知識，大大減少了計算量.

教育家波利亞說過“即使是相當好的學生，當他得到問題的解答后，就會合上書本，找點別的事來干，這樣做，他就錯過了解題的一個重要方面”.如果教師能使學生在每次解題之后捫心自問：“這道題的解法是否完善？這道題有沒有更好的解題途徑？能不能換個角度考慮一下？還能不能再推廣呢？”，那么學生的思維品質必然由量變產生徹底的質變.本文通過一道高考試題的多種解法探究培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力.同時對一類問題多題歸一、一題多變進行梳理，真正做到了觸類旁通，從而提高了解題的靈活性.