李 會 平

(1. 安徽綠海商務職業(yè)學院 基礎部，安徽 合肥 230601；2.合肥師范學院，安徽 合肥230601)

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平均數(shù)的推廣

李 會 平1,2

(1. 安徽綠海商務職業(yè)學院 基礎部，安徽 合肥 230601；2.合肥師范學院，安徽 合肥230601)

摘要：文章運用函數(shù)論方法研究統(tǒng)計活動中常用的平均數(shù)，先定義LHP平均數(shù)，再給出LHP平均數(shù)的性質與LHP平均數(shù)比較定理的應用。

關鍵詞：平均數(shù)；不等式；導數(shù)；凹凸性

平均數(shù)是統(tǒng)計活動常用的一個重要概念，長期以來，數(shù)值平均數(shù)僅僅包括算術平均數(shù)、幾何平均數(shù)與調和平均數(shù)。本質上，平均數(shù)與函數(shù)有緊密的聯(lián)系，以下用函數(shù)論的方法推廣平均數(shù)的概念。

1平均數(shù)概念的推廣

為嚴密推廣平均數(shù)，有必要先介紹封閉集合與封閉定義域。

定義1設函數(shù)f(x)在集合D上有定義，稱集合D為函數(shù)f(x)的封閉集合，若任意給定xi∈D,i=1,2,…,n,存在ξ,η∈D，有

定義2若函數(shù)f(x)的封閉集合D為f(x)的定義域，則稱D為函數(shù)f(x)的封閉定義域。

2LHP平均數(shù)的主要性質及其證明

為證明LHP平均數(shù)的性質定理，先給出幾個引理及相關概念。

引理1如果函數(shù)y=f(x)在有定義的集合D上為嚴格單調函數(shù)，那么y=f(x)在D上有反函數(shù)y=f-1(x)。

引理2[1]設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù)可導。

(1)如果在I上f′(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在I上嚴格單調增加；

(2)如果在I上f′(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在I上嚴格單調減少。

引理3[2]設f(x)為定義在區(qū)間I上的二階可導函數(shù)，若f″(x)>0[f″(x)<0]，x∈I，則在I上f(x)為嚴格凹(凸)函數(shù)。

定義4稱在有定義的集合D內嚴格增嚴格凸且滿足f(xy)=f(x)f(y)(?x,y∈D)的正值函數(shù)f(x)為D內的平衡函數(shù)。

下面給出LHP平均數(shù)的性質定理。

證明對于函數(shù)f(x)=x，封閉集合為

(0,+∞)，反函數(shù)f-1(x)=x，

對于函數(shù)f(x)=lnx，封閉定義域為(0,+∞)，反函數(shù)f-1(x)=ex，

注定理1表明LHP平均數(shù)為數(shù)值平均數(shù)的推廣。

定理2(LHP平均數(shù)線性定理)線性函數(shù)的LHP平均數(shù)為算術平均數(shù)。

證明當函數(shù)f(x)為線性函數(shù)時，f-1(x)也為線性函數(shù)，此時有

定理4(LHP平均數(shù)比較定理)設函數(shù)f(x)在封閉集合D內二階可導,

當且僅當x1=x2=…=xn時，等號成立。

證明(1)如果在D內f′(x)>0[f′(x)<0]且f″(x)<0[f″(x)>0]，f(x)為D內嚴格增(減)函數(shù)且為D內嚴格凸(凹)函數(shù)，顯然，f-1(x)也為嚴格增(減)函數(shù)，由引理4得到

當且僅當x1=x2=…=xn時，等號成立。

即得

當且僅當x1=x2=…=xn時，等號成立。

即得

當且僅當x1=x2=…=xn時，等號成立。

(2)如果在D內f′(x)>0[f′(x)<0]且f″(x)>0[f″(x)<0]，f(x)為D內嚴格增(減)函數(shù)且為D內嚴格凹(凸)函數(shù)，顯然，f-1(x)也為嚴格增(減)函數(shù)，由引理4得到

當且僅當x1=x2=…=xn時，等號成立。

即得

當且僅當x1=x2=…=xn時，等號成立。

即得

當且僅當x1=x2=…=xn時，等號成立。

注LHP平均數(shù)比較定理揭示出，LHP平均數(shù)是函數(shù)性態(tài)的又一重要方面，可以用導數(shù)研究LHP平均數(shù)的某些性質。

推廣此定理可以得到以下定理。

證明由定理4證明過程即得。

當且僅當x1=x2=…=xn時，等號成立。

由f-1(x)為嚴格增函數(shù)即得

3LHP平均數(shù)比較定理應用舉例

例1對于函數(shù)f(x)=lnx,x>0，f′(x)=

例3對函數(shù)f(x)=xk,x>0,k>1且

k∈N+，f′(x)=kxk-1>0，f″(x)=k(k-1)xk-2>0，有f′(x)f″(x)>0，由定理4得當k>1時，有

注由以上例題知從LHP平均數(shù)比較定理可直接得到一些常見不等式。

f′(x)=cosx>0，f″(x)=-sinx<0,

參考文獻:

[1] 李忠. 高等數(shù)學[M]. 北京：北京大學出版社，2009:181.

[2] 教育部高等教育組專家.高等數(shù)學[M]. 北京：高等教育出版社，1999:166.

[3] 陳紀修. 數(shù)學分析[M]. 北京：高等教育出版社，1999：176.

Generalization of Average

LI Hui-ping1,2

(1.Elementary Department , Anhui Lvhai Vocational College of Business, Hefei, Anhui 230601,China；2. Hefei Normal University, Hefei, Anhui 230601, China)

Abstract:The paper studies statistical averages by using function theory, the LHP average is defined firstly, then natures of LHP average and the application of the LHP average comparison theorem are given.

Key words:average, inequality, derivative, convexity

文章編號：1007-4260(2016)01-0016-03

中圖分類號：O13

文獻標識碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.01.005

作者簡介：李會平，男，安徽望江人，碩士，安徽綠海商務職業(yè)學院基礎部講師，主要科研方向為復分析。E-mail: 6789987699@163.com

*收稿日期：2015-07-17

網絡出版時間：2016-03-15 17:05網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160315.1705.005.html