何　超，吳　正，王良龍

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

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(k, q)階分數(shù)差分方程的一個新解法

何超，吳正，王良龍

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

摘要：通過構(gòu)造特殊函數(shù)Λ(-μ,λ)，利用待定系數(shù)法，給出(k, q)階分數(shù)差分方程的一個新解法。

關(guān)鍵詞：分數(shù)階差分；分數(shù)階和分；(k, q)階分數(shù)差分方程

1695年Leibniz與L′ Hospital在通信中，首次探討了傳統(tǒng)微分中變元增量為非整數(shù)次冪時的相關(guān)極限問題，這標(biāo)志著分數(shù)階微分和分數(shù)階微分方程的起源[1]。 后期的研究表明，分數(shù)階微分和分數(shù)階微分方程在物理、生物等學(xué)科研究中起著重要的作用[2-4]。Miller等[5]利用分數(shù)階Green 函數(shù)、超越函數(shù)和Laplace方法，對分數(shù)階常微分方程進行了較系統(tǒng)的研究，隨后，在文獻[6-7]中也提到了分數(shù)階常微分方程的良好性質(zhì)。

對于整數(shù)階微分方程與整數(shù)階差分方程，二者的許多性質(zhì)都具有很好的可比性，那么能不能在目前的分數(shù)階微分基礎(chǔ)上，建立相應(yīng)的分數(shù)階差分理論呢？ 程金發(fā)[8]提出了一種全新的分數(shù)階和分、分數(shù)階差分以及分數(shù)階差分方程定義，緊接又提出利用待定系數(shù)法求解(2,q)階分數(shù)差分方程[9]，更進一步利用Z變換求解了(k, q)階分數(shù)差分方程[10]。雖然待定系數(shù)法是一種淺顯易懂的方法，但是在將其推廣到(k, q)階分數(shù)差分方程時，產(chǎn)生的尾項難以消除，迄今為止尚無完善的解決辦法。本文通過選取不同的系數(shù)，構(gòu)造一個類似范德蒙行列式，將待定系數(shù)法求解方程過程中產(chǎn)生的尾項消除，得到了待定系數(shù)法求解一類分數(shù)階差分方程的通用方法。

首先引入文獻[8]中的記號、定義及性質(zhì)。

定義3定義(x)(n)x(x+1)(x+2)…(x+n-1)，這里n∈N+，x∈R，所定義的函數(shù)稱之為上升階乘函數(shù)；

定義5令m為超過μ>0 的最小正整數(shù)，則定義x(n)的μ階分數(shù)差分為

μx(n)=m-(m-μ)x(n)。

定義6對于實數(shù)μ≥0，非零實數(shù)λ，正整數(shù)n，定義Λ(-μ,λ)=μλn,Λ(0,λ)=λn。

a1v+a00]x(n)=0

(1)

為一個(k,q)階的分數(shù)階差分方程,這里ai是常數(shù)，i=0,1,2,…,k-1且a0+a1+…+ak-1≠0。 稱多項式p(x)=xk+ak-1xk-1+…+a1x+a0為 (1)式的特征多項式。

性質(zhì)1對任意μ∈R，v>0，有μ-vx(n)=μ-vx(n)。

性質(zhì)2設(shè)v>0，有

性質(zhì)3對于v>0，μ∈R，有

(2)

接下來介紹兩個引理：

引理2設(shè)p(x)=0有k個單根，分別為α1,α2,…,αk，則

證明類似于引理1的證明，有

下面用待定系數(shù)法來證明定理1。

定理1[8]令p(x)=0有k個單根，分別為α1,α2,…,αk，則(1)式有解x(n)=

(3)

證明令x(n)=B0Λ(0,λ)+B1Λ(-v,λ)+…+Bq-1Λ[-(q-1)v,λ]為 (1)式的解，其中

Bi(i=0,1,…,q-1)與λ為任意常數(shù)。 由 (2) 式可得

B0Λ(-v,λ)+…+Bq-2Λ[-(q-1)v,λ]

[(1-λ-1)Bq-k+ak-1(1-λ-1)Bq-(k-1)+…+

a1(1-λ-1)Bq-1+a0B0]Λ(0,λ)+[(1-λ-1)Bq-(k-1)+

ak-1(1-λ-1)Bq-(k-2)+…+a1B0+a0B1]Λ(-v,λ)+…+[(1-λ-1)Bq-1+ak-1B0+…+a1Bk-1+a0Bk]Λ(-kv,λ)+

(4)

因為α是p(λ)=0的根，有αk+ak-1αk-1+…+a1α+a0=0。 若α≠0，由Bj的任意性，不妨令

Bj=Aα-j，A∈R，則有

Bj+ak-1Bj+1+…+a1Bj+k+1+a0Bj+k=

Aα-j+ak-1Aα-j+1+…+α0Aα-(j+k)=

Aα-(j+k)(αk+ak-1αk-1+…+a1α+a0)=0,

此時(4)式右邊可化為{(1-λ-1)Aα-(q-k)+ak-1(1-λ-1)Aα-[q-(k-1)]+…+a1(1-λ-1)Aα-(q-1)+a0A}Λ(0,λ)+{(1-λ-1)Aα-[q-(k-1)]+ak-1(1-λ-1)Aα-[q-(k-2)]+…+a1A+a0Aα-1}Λ(-v,λ)+

…+[(1-λ-1)Aα-(q-1)+ak-1A+…+a1Aα-(k-2)+

(5)

(6)

此時

(7)

(8)

由引理1和引理2得

同理可得(8)式右邊每一項的系數(shù)都為0，所以

參考文獻:

[1] 鄭祖庥. 分數(shù)微分方程的發(fā)展與應(yīng)用[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版)，2008，26 (2)：1-10.

[2]F.Mainardi,R.Gorenflo.Onmittag-leffler-typefunctionsinfractionalevolutionprocesses[J].J.Comput.Appl.Math., 2000, 118: 283-299.

[3]V.Dartardar-Gejji,A.Babakhani.Analysisofasystemoffractionaldifferentialequations[J].J.Math.Anal.Appl., 2004, 293: 511-522.

[4]K.Diethelm,N.J.Ford.Multi-orderfractionaldifferentialequationsandtheirnumericalsolution[J].Appl.Math.Comput., 2004，154：621-640.

[5]K.S.Miller,B.Ross.AnIntroductiontotheFractionalCalculusandFractionalDifferentialEquations[M].NewYork：JohnWileyandSons, 1993.

[6]I.Podlubny.FractionalDifferentialEquations[M].SanDiego：AcadPress, 1999.

[7]A.A.Kilbas,H.M.Srivastava,J.J.Trujillo.TheoryandApplicationsofFractionalDifferentialEquations[M].Amsterdam:ElsevierScienceLtd., 2006.

[8] 程金發(fā). 分數(shù)階差分方程理論[M].廈門：廈門大學(xué)出版社，2011.

[9] 程金發(fā)，吳國春.(2，q)階分數(shù)差分方程的解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2012, 55 (3): 469-480.

[10] 程金發(fā). 分數(shù)(k，q)階差分方程的解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報, 2011, 34 (3): 313-330.

New Method of Solving Fractional Difference Equation of Order (k, q)

HE Chao, WU Zheng, WANG Liang-long

(School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei,Anhui 230601, China)

Abstract:This paper is concerned with the fractional difference equation of order (k, q). With constructing a special function Λ(-μ,λ), the expression of solution is obtained by the method of undetermined coefficients , which is a new method to solve the equation.

Key words:fractional difference, fractional summation, fractional difference equation of order (k, q)

文章編號：1007-4260(2016)01-0001-03

中圖分類號：O175

文獻標(biāo)識碼：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.01.001

作者簡介：何超，男，安徽蕪湖人，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生，主要研究方向為分數(shù)階差分方程。E-mail: 1193451929@qq.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金(10771001)，高等學(xué)校博士點基金(20113401110001)和安徽省自然科學(xué)基金(1308085MA01，1508085QA01)

*收稿日期：2015-07-15

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2016-03-15 17:05網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160315.1705.001.html