費為銀,盧琴云,胡慧敏,夏登峰

(安徽工程大學數(shù)理學院，安徽蕪湖 241000)

1 引言

投資組合選擇問題一直以來都是金融數(shù)學研究領(lǐng)域中的一個最基本問題，資產(chǎn)配置是一種投資組合技術(shù)，利用資產(chǎn)配置可以有效的平衡投資風險．眾所周知，現(xiàn)實生活中資本市場環(huán)境以及經(jīng)濟條件不總是一成不變的，投資者應該及時地對投資組合策略進行動態(tài)的調(diào)整．事實表明，突發(fā)事件的發(fā)生必然會引起資產(chǎn)價格的非連續(xù)變化，因此針對這種變化，研究突發(fā)事件沖擊下的動態(tài)資產(chǎn)配置策略具有重要意義．

目前，已有大量文獻用跳擴散過程來刻畫突發(fā)事件沖擊下資產(chǎn)價格的非連續(xù)變化現(xiàn)象．在投資組合問題研究中，Press[1]首次在純擴散模型的基礎(chǔ)上引入了跳躍行為．Merton[2]研究了風險資產(chǎn)可能違約的情形下短視資產(chǎn)的配置問題，違約事件是通過Poisson跳描述的并且使用隨機控制方法獲得最優(yōu)資產(chǎn)配置策略．此后，國內(nèi)外學者在此基礎(chǔ)上，從不同角度研究了跳擴散環(huán)境下動態(tài)資產(chǎn)配置問題．近年來，費為銀等[3-5]分別研究跳擴散環(huán)境下考慮通脹對資產(chǎn)配置的影響，模型不確定和極端事件沖擊下帶通脹的最優(yōu)投資組合問題以及跳擴散環(huán)境下匯率變動的外商直接投資問題．梁勇等[6]研究了在跳擴散環(huán)境下紅利支付對不確定厭惡投資者最優(yōu)投資組合的影響．他們都是用股票價格服從跳擴散過程來刻畫突發(fā)事件沖擊，但是突發(fā)事件沖擊下資產(chǎn)收益波動率也會發(fā)生跳躍行為．Bakshi等[7]進行了廣泛的實證研究說明股票收益具有隨機波動性和跳躍行為．Branger等[8]研究了股票收益波動率發(fā)生跳時的動態(tài)資產(chǎn)配置問題，說明對于跳風險也有一個對沖需求部分，波動率跳在投資組合計劃中是一個非常重要的風險因子．因此，突發(fā)事件沖擊下應該考慮資產(chǎn)收益波動率的跳躍行為．

另一方面，金融市場中通脹是投資者面臨的最基本風險之一，自20世紀70年代以來，國內(nèi)外許多學者研究了在通脹背景下的資產(chǎn)配置策略．Brennan和Xia[9]采用連續(xù)時間模型鞅方法研究了考慮通脹動態(tài)投資組合最優(yōu)化問題，Munk等[10]探討了投資于現(xiàn)金、名義債券和股票的投資者考慮通脹時最優(yōu)資產(chǎn)配置，并利用美國的股票、債券和通脹數(shù)據(jù)去校驗資本市場．近期，姚海洋等[11]研究了不確定時間和通貨膨脹影響下風險資產(chǎn)的最優(yōu)投資策略，費為銀等[12]研究了通脹服從均值回復過程的最優(yōu)消費和投資決策．梁勇等[13]研究了Knight不確定及機制轉(zhuǎn)化環(huán)境下帶通脹的最優(yōu)消費投資問題研究．費為銀和李淑娟[14]研究了Knight不確定下帶通脹的最優(yōu)消費和投資模型．上述文獻中風險資產(chǎn)價格大多數(shù)是由Brown運動驅(qū)動，而實際生活中的風險資產(chǎn)價格有時會發(fā)生跳躍行為．

綜上所述，突發(fā)事件發(fā)生時，考慮風險資產(chǎn)收益波動率的跳躍行為和通脹因素的模型更符合實際情況．本文在文獻[15]中的事件風險模型基礎(chǔ)上考慮了通貨膨脹因素，并且通過數(shù)值模擬分析了風險資產(chǎn)收益波動率跳大小和通脹對投資組合策略的影響，對原有模型進行了進一步推廣．本文安排如下：第2節(jié)給出模型的基本框架及相應的結(jié)論；第3節(jié)就所得的理論結(jié)果進行數(shù)值模擬分析，并給出經(jīng)濟學解釋；在第4節(jié)對全文做了小結(jié)．

2 模型及結(jié)果

假設(shè)在金融市場中只有兩種可投資的資產(chǎn)．一種是無風險債券，另一種是風險股票．設(shè)(?,F,{Ft},P)是一個完備的帶流概率空間，在這個概率空間上的標準Brown運動和Poisson過程可以刻畫經(jīng)濟狀態(tài)的不確定性．設(shè)無風險債券價格S0服從dS0=rS0dt，風險股票價格St服從

其中ZS和ZV是相關(guān)系數(shù)為ρ的標準Brown運動，N是隨機到達強度為λV的Poisson過程，X(X∈(?1,∞))是均值為μ的價格跳大小，Y(Y∈[0,∞))是均值為κ的波動率跳大小，X和Y是獨立的，且獨立于ZS,ZV和N，θ=E[V]．

此外，金融市場中還存在一種通貨膨脹風險．考慮通貨膨脹折扣率It為帶流概率空間(?,F,{Ft},P)上的可測適應過程，滿足下面的隨機微分方程

其中αI是t時刻預期通貨膨脹率，σI是t時刻通脹波動率，ZI是標準Brown運動且和ZS的相關(guān)系數(shù)為ρ1，和ZV的相關(guān)系數(shù)為ρ2．

利用通貨膨脹率對資產(chǎn)價格進行折算，折算后的價格分別為

根據(jù)伊藤-德布林公式推導出折算后的價格分別滿足下面的隨機微分方程

在Merton問題和文獻[15]的基礎(chǔ)上，本文主要研究考慮事件風險和通脹因素時最大化投資者終端財富的預期效用問題．投資者考慮冪型效用，在上述的兩種資產(chǎn)上投資，并擁有初始財富W0，在每一個t(0≤t≤T)時刻投資者投資財富的?t比例在股票上，則與投資策略相關(guān)的財富過程Wt的動力學方程為

投資者的目標是

我們采用標準的隨機控制方法來求解最優(yōu)投資策略．類似Merton的思想，我們定義如下的間接效用函數(shù)

根據(jù)最優(yōu)隨機控制原理，我們可得到這個間接效用函數(shù)的HJB方程

其中JW,JV,JWW,JWV,JV V和Jt分別是J(W,V,t)關(guān)于W,V和t的偏導數(shù)．

為了保證最優(yōu)投資策略存在，下面給出兩個適度的正則條件

接下來的命題將給出最優(yōu)動態(tài)資產(chǎn)配置策略．

命題1假設(shè)滿足上述的兩個正則條件，則動態(tài)資產(chǎn)配置問題有最優(yōu)解

其中時變系數(shù)B(t)滿足下面的常微分方程

且終端條件B(T)=0．

證明 首先對方程(7)關(guān)于?求偏導得一階條件

假設(shè)間接效用函數(shù)如下

求其各階偏導得

將上述各階偏導數(shù)帶入方程(12)式得

故有(10)式成立．接下來推導關(guān)于時變系數(shù)B(t)的常微分方程，我們將(13)和(14)式代入方程(7)得

上式對所有的V恒成立，則有(11)式成立．

3 數(shù)值模擬和經(jīng)濟意義分析

為了更直觀地說明通脹因素和跳對投資者的動態(tài)資產(chǎn)配置策略的影響，下面分析收益波動率是隨機的而跳大小是確定的這種簡單情況下通脹因素和跳對投資者的動態(tài)資產(chǎn)配置策略的影響．

在這種情況下，模型的動力學方程為

根據(jù)命題1可知，上述情況下的最優(yōu)動態(tài)資產(chǎn)配置策略為

且時變系數(shù)B(t)滿足下面的常微方程

和終端條件B(T)=0.

由圖1可見，當ρ=0.5時，即股票市場的不確定性和通脹的不確定性相關(guān)系數(shù)為正，隨著通脹波動率的增大，股票價格波動變大，金融市場不穩(wěn)定性增強，風險喜好的投資者(γ＞1)愿意承受高的風險以獲得高的收益，從而在股票上的投資增加．當ρ=?0.5時，即股票市場的不確定性和通脹的不確定性相關(guān)系數(shù)為負，隨著通脹波動率的增大，股票價格波動變小，金融市場相對穩(wěn)定，風險喜好的投資者認為沒有太高的收益可獲得，反而減少了在股票上的投資．由此可知，當股票市場的不確定性和通脹的不確定性相關(guān)系數(shù)為正時，即通脹波動率增大，股票價格波動變大，金融市場不穩(wěn)定性增強，風險厭惡的投資者(0＜γ＜1)擔憂情緒上升，從而相應的減少風險股票的頭寸．當股票市場的不確定性和通脹的不確定性相關(guān)系數(shù)為負，即通脹波動率增大，股票價格波動變小，金融市場相對穩(wěn)定，風險厭惡的投資者擔憂情緒有所緩和，從而相應的增加風險股票的頭寸．

圖1: 通脹波動率σI對資產(chǎn)配置策略??的影響

由圖2可見，對于特定的μ值，股票收益波動率跳大小越大，風險喜好的投資者會持有更多的股票，并且隨著通脹波動率的增大，風險喜好的投資者對收益波動率跳大小變化的敏感度緩慢下降，當通脹波動率大于0.6時，經(jīng)濟環(huán)境惡化，投資者將避開投資大量不可預料的資產(chǎn)，風險喜好的投資者對收益波動率跳大小的變化幾乎不敏感，收益波動率跳是否發(fā)生都不會改變投資者的股票頭寸，投資者在股票上的配置很少甚至不配置，從而降低因高的通脹波動率所帶來的經(jīng)濟損失．

圖2: 通脹波動率σI和收益波動率跳大小κ對資產(chǎn)配置策略??的影響

由圖3可知，無論價格跳的方向如何，當股票價格發(fā)生跳時，投資者都將會相應地減少風險資產(chǎn)的配置，并且在低通脹波動率(0.2附近)的環(huán)境下，投資者在股票價格發(fā)生向上跳時持有的風險資產(chǎn)明顯比股票價格發(fā)生同等幅度向下跳時的風險資產(chǎn)多，當通脹波動率大于0.6時，無論股票價格跳的方向如何，投資者都將持有少量風險資產(chǎn)甚至不持有．這是因為在低通脹波動率的環(huán)境下，投資環(huán)境好，金融市場穩(wěn)定，投資者信心和積極性強，投資者認為股票價格發(fā)生向上跳時比股票價格發(fā)生同等幅度向下跳時的預期收益高，從而在股票價格發(fā)生向上跳時持有的風險資產(chǎn)明顯比股票價格發(fā)生同等幅度向下跳時的風險資產(chǎn)多．當通脹波動率大于0.6時，這時的投資環(huán)境惡化，金融市場劇烈震蕩，投資者擔憂情緒上升，不再大量持有不可預料的風險資產(chǎn)，對股票價格跳也不再那么敏感，從而無論股票價格跳的方向如何，投資者都將持有少量風險資產(chǎn)甚至不持有風險資產(chǎn)．

圖3: 通脹波動率σI和股票價格跳大小μ對資產(chǎn)配置策略??的影響

4 小結(jié)

本文主要探討了在突發(fā)事件沖擊下，通貨膨脹因素對動態(tài)資產(chǎn)配置策略的影響．當突發(fā)事件發(fā)生時，不管資產(chǎn)價格跳的方向和大小是如何變化，投資者都會減少風險資產(chǎn)的配置，然而對于特定的資產(chǎn)價格跳大小，風險喜好者將會隨著收益波動率跳大小增加而增加風險資產(chǎn)配置．同時當通脹波動率過高時，經(jīng)濟惡化，金融市場波動劇烈，投資者對收益波動率跳大小和股票價格跳大小的變化都不再那么敏感，投資者將持有非常少的風險資產(chǎn)甚至不配置風險資產(chǎn)．總之，突發(fā)事件和通貨膨脹對不同投資者的投資策略都有著重要的影響．因此，投資者應時刻關(guān)注國家宏觀政策變化，根據(jù)不同的通脹程度和自己的風險承受能力，適時地調(diào)整自己的資產(chǎn)配置比例，以獲得自己期望的收益．本文利用隨機微分方程和隨機控制理論，得到最優(yōu)動態(tài)資產(chǎn)配置策略，并通過對簡化模型的數(shù)值分析說明突發(fā)事件沖擊下跳和通脹對投資者投資決策的影響．研究結(jié)果不僅可以擴展現(xiàn)有的模型，還可以為投資者提供一定的指導．

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