祁　瓊

(南京財經大學 應用數(shù)學學院，江蘇 南京 210046)

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自適應事件驅動下馬爾科夫跳變系統(tǒng)的狀態(tài)估計

祁瓊

(南京財經大學 應用數(shù)學學院，江蘇 南京 210046)

摘要：研究了具有時變時滯的馬氏跳躍系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題.為通過設置狀態(tài)輸出估計器使系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定，提出了一種自適應的事件觸發(fā)通信方案.此方案的特點是，采樣數(shù)據(jù)是否應該被發(fā)送由當前采樣數(shù)據(jù)和最新傳輸數(shù)據(jù)與其之間的誤差決定，它可以自適應地調整事件觸發(fā)通信閾值，在確保所需控制性能的前提下減少信息通信負擔.基于Lyapunov-Krasovskii泛函方法，通過求解線性矩陣不等式實現(xiàn)了對馬爾科夫的狀態(tài)估計.利用數(shù)據(jù)實例探討了自適應事件觸發(fā)的有效性.

關鍵詞：馬爾科夫系統(tǒng)；自適應事件觸發(fā)；狀態(tài)估計

近年來，馬爾科夫跳躍系統(tǒng)因同時包含了連續(xù)的系統(tǒng)狀態(tài)和跳變的結構而被廣泛應用于許多工程領域,現(xiàn)階段已有很多重要的成果[1-3].在許多應用中，如信號處理、控制工程等，只有部分信息可以從網絡輸出，因此，通過利用網絡的有效輸出量來估計系統(tǒng)狀態(tài)，進而利用估計的狀態(tài)來達到一定的設計目標，具有重要意義.近年來，基于事件觸發(fā)機制的狀態(tài)估計也得到了廣泛關注[4-5].

文獻[6]研究了一類新的離散時間神經網絡及馬爾科夫跳躍參數(shù)和模式相關的混合時間延遲的狀態(tài)估計問題，其離散和分布式延遲是模式依賴的.值得注意的是，以往的研究大多是在預先指定的時間間隔采樣，這被稱為時間觸發(fā)采樣，該抽樣方法可能會導致一個固有的周期性傳輸，并產生許多無用的消息，如果采樣信號相比以前的采樣沒有顯著改變時間觸發(fā)采樣則依然傳輸數(shù)據(jù)，這導致了通信資源的浪費.最近，事件觸發(fā)的方案提供了一種有效的方法，其主要特征是對該信號進行周期采樣，只有一些系統(tǒng)狀態(tài)或輸出測量超過閾值才被傳輸.與周期采樣法相比，事件觸發(fā)機制能減少通信的負擔，也能保持理想的連續(xù)狀態(tài)反饋系統(tǒng)的理想性能，如穩(wěn)定性和收斂性.對事件觸發(fā)機制的利用可以在許多文獻中找到.本文在事件觸發(fā)機制的基礎上，通過調節(jié)事件觸發(fā)閾值動態(tài)調節(jié)事件觸發(fā).本文的主要貢獻有如下2點.

1)與時間觸發(fā)周期通信方案相比較，提出了自適應事件觸發(fā)方案.該通信方案只取決于采樣時刻與當前采樣時刻和前一傳輸狀態(tài)之間的誤差.因此，通過網絡傳輸?shù)臓顟B(tài)信號的數(shù)目可能會明顯降低.

2)通過利用Matlab中的LMI工具箱很容易求解線性矩陣不等式，其結果不僅依賴觸發(fā)參數(shù)、采樣周期，還依賴延遲的大小.

1問題描述

考慮一帶有時滯的馬爾科夫跳變系統(tǒng)：

(1)

其中x(t)∈Rn為狀態(tài)向量，y(t)∈Rn為輸出向量.{θt}是右連續(xù)且在有限集S={1,2,…,N}中的連續(xù)馬爾科夫過程，馬爾科夫跳轉移概率為：

在式(1)中，時滯τ(t)是隨時間變化的連續(xù)函數(shù)，滿足以下條件：

其中τm,τM是通信時滯的下界和上界.

本節(jié)中，測量輸出在進入估計器之前被采樣，根據(jù)抽樣技術，實際輸出可被描述為：

(2)

樣本數(shù)據(jù)y(tk+j)不滿足以下的不等式則觸發(fā)：

[y(tk+j)-y(tk)]TW[y(tk+j)-y(tk)]<σ(tk+j)yT(tk+j)Wy(tk+j)

(3)

其中σ(0)∈[0,1]是σ(t)的初始條件，σ(t)∈[σm,σM],ρ是一個非負常數(shù).

(4)

將式(4)代入式(3)中得：

[x(tk+j)-x(tk)]TCT(θt)WC(θt)[x(tK+j)-x(tk)]<σ(tk+j)xT(tK+j)CT(θt)WC(θt)x(tk+j)

(5)

為方便起見，參考文獻[7]，式(5)可寫成：

(6)

(7)

(8)

(9)

其中:

2主要結論

本節(jié)中，將對馬爾科夫跳躍系統(tǒng)設計自適應事件觸發(fā)的狀態(tài)估計器.式(9)可寫為：

(10)

其中ξ(t)=

定理1假設式(5)成立，若對給定的估計增益矩陣K，式(10)均方意義上指數(shù)穩(wěn)定的條件如下：存在一些適當維數(shù)的正定矩陣Pi>0,Q0>0,Q1>0,Q2i>0,Q3>0,Q4>0,R1>0,R2>0,R3>0,Zi>0,Mi2>0,Mi4>0,Ni2>0,Ni5>0,Hi3>0,Hi6>0,Gi3>0,Gi6>0(i=1,2)滿足:

(11)

證明考慮下面式(12)的李雅普諾夫泛函:

(12)

其中:

根據(jù)式(10),對式(12)求導可得：

(13)

根據(jù)積分可加性得：

(14)

參考文獻[10]可知： [8]和Schur補可知，‖‖2,參考文獻[9]可知式(10)指數(shù)穩(wěn)定.

(15)

結合式(14)和式(15)，式(13)可化簡得:

(16)

考慮自由權矩陣Mi,Ni,Hi,Gi,其中:

(17)

在定理1的分析結果基礎上，狀態(tài)估計增益很容易根據(jù)定理2求得.

定理2假設式(5)成立，若對給定的估計增益矩陣K，使式(10)指數(shù)穩(wěn)定的條件如下：存在一些適當維數(shù)的正定矩陣，Pi>0,Vi,Qj=diag{Qj,Qj}>0(j=0,1,3,4),Q2i=diag{Q2i,Q2i}>0,Ri=diag{Ri,Ri}>0(i=1,2,3),Zi>0,Mi2=diag{Mi2,Mi2}>0,Mi4=diag{Mi4,Mi4}>0,

Ni2=diag{Ni2,Ni2}>0,Ni5=diag{Ni5,Ni5}>0,Hi3=diag{Hi3,Hi3}>0,Hi6=diag{Hi6,Hi6}>0,Gi3=diag{Gi3,Gi3}>0,Gi6=diag{Gi6,Gi6}>0(i=1,2),對給定的ε>0滿足：

(18)

(19)

由于:

(20)

(21)

3數(shù)例仿真

考慮1個含有2個模態(tài)的馬爾科夫跳躍系統(tǒng)(1)，系統(tǒng)參數(shù)如下.

圖1事件觸發(fā)驅動下釋放時刻和間隔圖

圖2自適應事件驅動下釋放時刻和間隔圖

由圖1和圖2可見自適應事件驅動觸發(fā)點數(shù)量明顯較少，觸發(fā)參數(shù)的選取對觸發(fā)點有明顯影響，而自適應事件驅動觸發(fā)參數(shù)不固定，只給定范圍，能夠在一定程度上削弱觸發(fā)參數(shù)的影響力，避免觸發(fā)點過少影響系統(tǒng)穩(wěn)定，同時減少了一定的通信負載.參數(shù)d先在-1,0,1之間震蕩，很快恒定為1之后σ就一直遞增，最后達到所設定的σ最大值.系統(tǒng)狀態(tài)很快達到穩(wěn)定，而狀態(tài)誤差也很快趨向0.

4結論

本文研究了自適應事件觸發(fā)驅動下馬爾科夫跳躍系統(tǒng)狀態(tài)估計問題，通過建立一個新的李雅普諾夫函數(shù)，利用矩陣不等式的凸性，得出使系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的估計器增益，并利用數(shù)據(jù)實例仿真所得結果,由仿真結果可明顯看出自適應時間觸發(fā)能在保持系統(tǒng)性能的前提下降低觸發(fā)參數(shù)的影響，同時在一定程度上減少了數(shù)據(jù)傳輸量.

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(責任編輯高嵩)

State Estimation for Markovian Jump Systems Triggered by Adaptive State

QiQiong

(School of Applied Mathematics,Nanjing University of Finance and Economics,Nanjing Jiangsu 210046)

Abstract：This paper studies the state estimation problem for Markovian jump systems with time- varying delays.The main purpose is to obtain the system exponential stability by setting the state output estimator.Firstly, an adaptive event-triggering communication scheme is proposed.The feature of the scheme is that whether the sampling data should be transmitted or not is determined by error between the current sampling data the latest transmission data,At the same time,the threshold of the event-triggering mechanism is adaptively adjusted to reduce the burden of information communication under the premise of ensuring the needed control performance.Based on the Lyapunov-Krasovskii functional method,a state estimation of the Markovian systems can be achieved by solving the linear matrix inequalities (LMI).Finally,a numerical example is given to show the validity of the proposed adaptive event-triggering scheme.

Key words：Markovian systems;adaptive event-triggering scheme;state estimation

中圖分類號：O231.1

文獻標識碼：A

文章編號：2095-4565(2016)02-0042-08

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.02.010

作者簡介：祁瓊，碩士。

收稿日期：2015-10-14