秋研東，王 偉

（西安空間無線電技術研究所 陜西 西安 710071）

基于改進差分進化算法的IIR濾波器設計

秋研東，王 偉

（西安空間無線電技術研究所 陜西 西安 710071）

差分進化由于其算法簡單、收斂速度快，所需領域知識少而受到關注。通常，根據(jù)優(yōu)化問題的約束條件差分進化算法需要進行變量上、下界的限制。本文提出利用IIR濾波器零極點特性來進行IIR濾波器設計，采用復數(shù)編碼降低了變量的維度，并在設計IIR濾波器時不需要對變量范圍進行約束，同時利用超出邊界的解進行變異操作，以達到更加快速精確的收斂到全局最優(yōu)解的目的。

差分進化算法；變異操作；IIR濾波器設計；零極點特性

近年來，一種新的進化算法——差分進化算法，被各國學者所廣泛關注。作為一種進化算法的，差分進化算法最初是由Rainer Storn和Kenneth Price于1995年提出[1]。它是一種實數(shù)編碼的進化算法，具有較強的全局搜索能力和收斂速率，在解決復雜的全局優(yōu)化問題上，差分進化算法被證明是一種有效的全局最優(yōu)解搜索算法[2]。它的主要特點是算法簡單、收斂速度快，所需領域知識少，比較適合于解決復雜的優(yōu)化問題。

根據(jù)傳輸函數(shù)零極點特性，可以將數(shù)字濾波器分為兩類，即FIR和IIR。FIR只包含零點，其極點全部為零。而IIR的極點不為零，零點可以全部為零。在設計數(shù)字濾波器時通常需要考慮的因素有兩大方面，一是濾波器幅度響應；二是濾波器的相位響應。FIR濾波器可以實現(xiàn)系統(tǒng)的線性相位，所以再設計FIR濾波器時只需要考慮其幅度響應的設計。通常達到相同指標的IIR濾波器階數(shù)要比FIR濾波器少很多，這就意味著乘法器的數(shù)量會明顯減少[3-4]。

通常，一個IIR濾波器的穩(wěn)定性是由其極點確定的。對于因果穩(wěn)定的IIR濾波器來說，其極點需要全部落在單位圓內(nèi)。為了更強的阻帶衰減，其零點應該在單位圓上。在IIR濾波器設計的過程中，其零極點必然不全為實數(shù)，此時系統(tǒng)無法物理實現(xiàn)，而采用二階因子（second-order factor，SOF）來設計[5-6]就可以使得濾波器能物理實現(xiàn)。

文中剩余部分內(nèi)容如下。第二部分介紹文中提出的基于IIR濾波器零極點特性的差分進化算法。第三部分展示仿真結果并進行分析。第四部分進行總結。

1 提出的設計算法

IIR濾波器的傳輸函數(shù)可以如下表示：

為了更清楚的分析IIR濾波器的零極點，可以將其傳輸函數(shù)改寫為：

式（2）中A=p0，[·]為上取整，p1，np2，n為零點二階因子系數(shù)，q1，mq2，m為極點二階因子系數(shù)，當 p2，nq2，m為零時二階因子變成一階因子。通常，為了濾波器可以物理實現(xiàn)，需要零極點二階因子系數(shù)全為實數(shù)。

只考慮二階因子的情況下均為偶數(shù)，IIR濾波器的幅度響應可以表示為：

式（3）中定義

一個理想的低通濾波器其幅度響應如下：

那么濾波器優(yōu)化設計的目標為：

其中x=[aTbT]T

式（5）中W（ω）為加權最小二乘因子[7]，文中采用最小均方誤差準則[8]并關注0到π上的幅度相應，所以有：

采用差分進化算法對（5）（6）進行最優(yōu)化求解時，常規(guī)的算法采用由式（2）得到的響應函數(shù)來進行解空間搜索，其解空間的維度為M+N實數(shù)空間。文中提出的算法采用式（3）得到的響應函數(shù)來進行解空間搜索，其解空間的維度為 （M+N）/2復數(shù)空間，利用實系數(shù)二階因子的特點可以提高搜索效率[9-10]。此外文中在原始差分進化算法的基礎上根據(jù)IIR濾波器特點改進了變異策略，下面介紹改進的變異策略和其理論推導。

設 x（i）=[a（i）Tb（i）T]T為當前搜索到的解

理論推導如下：

設不穩(wěn)定的一階低通IIR濾波器的響應函數(shù)為：

其中|a|＞1，則有與其相應的穩(wěn)定一階低通IIR濾波器的響應函數(shù)為：

式（8）中ωa為a的相位角

對于不穩(wěn)定的N階低通IIR濾波器

觀察式（9）可以發(fā)現(xiàn)變易操作的實質(zhì)是在初始設計的濾波器上級聯(lián)一個全通濾波器，即

這只會改變其相位響應而不影響其幅度響應。所以對于不穩(wěn)定的IIR濾波器極點來說，存在相應的穩(wěn)定極點可以代替，而它們之間的差別只是幅度響應上的倍數(shù)關系。而對于IIR濾波器的相位響應可以采用一個全通濾波器即群時延均衡器[11-12]對其相位進行補償，在此不做討論。

2 算法與流程

傳統(tǒng)的差分進化算法主要流程如下[6，13-15]

Step1：初始化向量x，迭代最大次數(shù)K，種群數(shù)量Num，終止條件C，并令l=0

Step2：計算適應度種群適應度fitness=e（x），計算終止條件若滿足則輸出最優(yōu)結果，否則繼續(xù)

Step4：進行交叉操作

Step5：進行條件約束

Step6：進行選擇操作，令l=l+1，返回step2

在使用本文提出的算法進行試驗時發(fā)現(xiàn)交叉操作會降低結果的精度，這是由于交叉操作會造成滿足限制條件的當前最優(yōu)解也發(fā)生改變，從而遠離應該達到的解，這就會跳出全局最優(yōu)解附近，最終在迭代次數(shù)達到上限時仍然無法達到全局最優(yōu)解，故本文提出的改進算法中去除了交叉操作。

根據(jù)上述理論，改進的差分進化算法主要流程如下：

Step1：初始化向量x，迭代最大次數(shù)K，種群數(shù)量Num，終止條件C，并令l=0

Step2：計算適應度種群適應度fitness=e（x），計算終止條件若滿足則輸出最優(yōu)結果，否則繼續(xù)

Step4：進行選擇操作，執(zhí)行文中提出的變異操作，令l=l+ 1，返回step2

3 仿真結果與分析

文中對差分進化算法、改進的算法進行了仿真實驗

目標低通IIR濾波器幅度響應函數(shù)為：

仿真輸入?yún)?shù)為種群數(shù)Num=200，濾波器階數(shù)M=N=12，終止條件C=10-5。變異操作步長F=random（0～1）[16]。對改進的算法進行了10次獨立實驗，其結果如表1所示。

對經(jīng)典算法進行了10次獨立實驗，其結果如表2所示。

觀察表1與表2可以發(fā)現(xiàn)文中提出的算法相比經(jīng)典算法在最小均方誤差上降低了一個數(shù)量級，這主要是由于阻帶衰減增大引起的。同時可以看出文中提出的算法魯棒性比經(jīng)典算法要更強。

表1 改進差分進化算法實驗結果

表2 經(jīng)典差分進化算法實驗結果

圖1 本文提出算法與經(jīng)典算法設計的濾波器幅度響應對比

圖2 本文提出的算法與經(jīng)典算法的均方誤差

對比圖1中兩條曲線可以清晰的看出，文中提出的算法與經(jīng)典算法在通帶上具有比較接近的性能，而文中提出的算法明顯增大了阻帶衰減。圖2顯示了本文提出的算法與經(jīng)典算法的均方誤差，可以看出本文提出的算法相比經(jīng)典算法在迭代初期收斂速度慢卻更加平緩，這是由于本文提出的算法在每次迭代是總是優(yōu)先尋找滿足穩(wěn)定性條件的解從而限制了零極點的快速變異并導致收斂速度下降，最終于514代收斂，而經(jīng)典算法收斂于第175代。

4 結束語

文中通過研究分析IIR濾波器零極點特性設計出一種基于該特性的差分進化算法變易操作，并且優(yōu)化了經(jīng)典算法的流程。通過仿真實驗證實了文中提出的算法相比經(jīng)典算法具有更強的魯棒性、精確性，可以通過文中的算法有效設計高阻帶衰減和窄過渡帶的IIR濾波器。

[1]汪慎文，丁立新，張文生，等.差分進化算法研究進展[J].武漢大學學報：理學版，2014，60（4）:283-292.

[2]LI Gao-yang，LIU Ming-guang.The summary of differential evolution algorithm and its improvements[C]//2010 3rd International Conference on Advanced Computer Theory and Engineering:IEEE Conference Publications，2010:V3-153-V3-156.

[3]QIAO Hai-lu，LAI Xiao-ping，ZHANG Li-hua.Minimax phase error design of stable IIR filters using a sequential method[C]//2014 33rd Chinese Control Conference（CCC）: IEEE Conference Publications，2014:7323-7327.

[4]DAI Chao-hua，CHEN Wei-rong，ZHU Yun-fang.Seeker optimiza-tion algorithm for digital IIR filter design[J].IEEE Transac-tions on Industrial Electronics，2010，57（5）:1710-1718.

[5]Lesnikov V，Naumovich T，Chastikov A.The formulation of criteria of BIBO stability of 3rd-order IIR digital filters in space of coefficients a denominator of transfer function[C]// Design&Test Symposium （EWDTS），2014 East-West:IEEE Conference Publications，2014:1-3.

[6]Aimin Jiang，Hon Keung Kwan，Zhu Yan-ping et al.Efficient WLS design of IIR digital filters using partial secondorder factorization[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems II:Express Briefs，2016，63（7）:703-707.

[7]LI Xian-wei，GAO Hu-jun.Min-Max approximation of transfer functions with application to filter design[J].IEEE Transaction on Signal Processing，2015，63（1）:31-40.

[8]Aimin Jiang，Hon Keung Kwan，Liu Xiao-feng et al.IIR digital filter design with novel stability condition[C]//2015 IEEE International Symposium on Circuits and Systems（ISCAS）:IEEE Conference Publications，2015:2968-2971.

[9]Konopacki J，Moscinska K.Linear-phase IIR filter design based on FIR prototype with prescribed group delay[C]// Mixed design of Intergrated Circuits&Systems（MIXDES），2014 Proceeding of the 21st International Conference:IEEE Conference Publications，2014:459-463.

[10]WU Hui-cong，SONG Xue-jun.Digital filter design using evolutionary algorithms[C]//Intelligent Systems and Applications （ISA），2010 2nd International Workshop on Circuits and Systems:IEEE Conference Publications，2010:1-4.

[11]LAI Xiao-ping，LIN Zhi-ping.Design and application of allpass filters with equiripple group delay errors[C]//IEEE International Symposium on Circuits and Systems:IEEE Conference Publications，2013:2924-2927.

[12]LAI Xiao-ping，LIN Zhi-ping.Minimax phase error design of IIR digital filters with prescribed magnitude and phase response[J].IEEE Transaction on Signal Processing，2012，60（2）:980-986.

[13]Krzysztof W.Hybrid differential evolution with covariance matrix adaptation for digital filter design[C]//Differential Evolution （SDE），2011 IEEE Symposium on:IEEE Conference Publications，2011:1-7.

[14]嚴慧，于繼明.基于Matlab的IIR數(shù)字濾波器設計[J].軟件導刊，2013，12（1）:110-113.

[15]任偉.自由搜索算法在數(shù)字濾波器優(yōu)化設計中的應用研究[D].湘潭：湘潭大學，2014.

[16]楊振宇，唐珂.差分進化算法參數(shù)控制與適應策略綜述[J].智能系統(tǒng)學報，2011，6（5）:415-423.

An IIR filter design method based on improved differential evolution algorithm

QIU Yan-dong，WANG Wei
（Xi’an Institute of Space Radio Technology，Xi’an 710071，China）

The Differential Evolution Algorithm is concerned for its properties of implementing simplified，convergence fast and requiring less features.Generally，according to constraint conditions of the optimization problems in differential evolution algorithm，the boundary of arguments are required to be restrained.In this paper，an improved algorithm which using the features of zero and pole points of IIR filters is developed for the design of IIR filters.A complex coding method is used to decrease the dimension of arguments.The solutions out of constraint conditions are used to implement mutation operation to achieve the goal of faster and more accurately converge to the global optimal solution.

DE；mutation operation；IIR filter design；zero and pole points properties

TN02

A

1674－6236（2016）23-0136-03

2016-06-21稿件編號：201606154

秋研東（1990—），男，陜西西安人，碩士。研究方向：空間通信技術。