劉建曉，鄭永春，史宮會，范媛媛

(衡水學(xué)院 a.電子信息工程學(xué)院；b.化工學(xué)院，河北 衡水 053000)

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熱水噴泉現(xiàn)象的理論研究

劉建曉a，鄭永春a，史宮會b，范媛媛a

(衡水學(xué)院 a.電子信息工程學(xué)院；b.化工學(xué)院，河北 衡水 053000)

摘要：研究了莫爾吸量管中吸入部分熱水產(chǎn)生的噴泉現(xiàn)象，應(yīng)用伯努力方程得到最大噴射高度的表達式，討論了吸水高度、平衡溫度及噴嘴孔徑對最大噴射高度的影響. 通過多項式擬合求得平衡溫度與吸水高度的關(guān)系式，解決了平衡溫度不易測量的難題.

關(guān)鍵詞：熱水噴泉；伯努力方程；最大噴射高度；IYPT

大學(xué)物理熱學(xué)中有這樣一個實驗：將莫爾吸量管中吸入部分熱水，將一端堵住并倒置，使得吸量管小孔向上，此時可看到水像噴泉一樣從小孔涌出. 對于此實驗，在熱學(xué)課本中給出的解釋大多為：熱水將封閉氣體預(yù)熱，使得氣體膨脹對外做功，水便噴出. 本文研究部分吸入熱水的吸量管產(chǎn)生噴泉的實驗現(xiàn)象，討論吸水高度、平衡溫度及噴嘴孔徑對噴泉最大高度的影響. 這是2016年國際青年物理學(xué)家競賽(IYPT)的一道賽題，也是河北省第2屆大學(xué)生物理競賽試題之一. 對于此問題的研究多為對實驗現(xiàn)象的研究，就其所適用的物理規(guī)律、物理公式討論較少，理論依據(jù)較為缺乏[1-2]. 而理論研究的最大困難在于，能否確定熱水噴泉噴射時的溫度以及找到壓強與噴射速度之間所滿足的關(guān)系式. 本文主要針對這些問題進行了研究.

1理論分析

實驗原理如圖1所示，莫爾吸量管長度為l，噴嘴小孔半徑為r1，面積為S1，管身半徑為r2，橫截面積為S2，外界溫度為T1，每次實驗吸入熱水后氣體預(yù)熱平衡溫度為T2，吸入熱水的高度為h1，則管內(nèi)所封入氣體的高度為h2=l-h1，外界大氣壓為p1，管內(nèi)大氣壓為p2.

(a)噴水前　　　(b)噴水中圖1　熱水噴泉裝置示意圖

求解噴泉最大噴射高度H的關(guān)鍵是如何求得熱水噴射瞬間的速度v1，忽略空氣阻力的影響，則垂直面內(nèi)的噴泉噴射可類似為豎直上拋運動，即在最大高度處水柱的速度應(yīng)滿足v=0. 設(shè)吸水后倒立瞬間，下液面所處的位置為0勢能面，如圖1(a)所示. 在噴射過程中某時刻t，設(shè)下液面上升位移為x，液面速度v2，尖嘴處噴出水的高度為H，水流速度為v1，如圖1(b)所示,則在x與H所在兩點位置應(yīng)用伯努力方程得[3-6]：

(1)

(2)

將封入管內(nèi)的氣體作為理想氣體，由理想氣體狀態(tài)方程得：

(3)

(4)

將(2)式和(4)式代入(1)式得：

(5)

對(5)式關(guān)于高度H的微分方程兩邊求導(dǎo)可得：

(6)

解(6)式可得H隨時間的變化規(guī)律. 圖2為給定邊界條件，H(0)=0，H′(0)=5,即初始狀態(tài)，水柱以5 m/s的初速度從小孔處噴出的時間變化規(guī)律. 由圖2可以看出，在設(shè)定條件下，噴泉高度隨時間先增加后減小. 在最大高度處應(yīng)該有噴水速度v=0，則可令(5)式等于0，從而求得噴泉的最大高度H.

圖2　噴泉高度隨時間的變化

2仿真計算

2.1吸水高度對噴泉最大高度的影響

外界溫度T1=20 ℃，平衡溫度T2=80 ℃，吸量管長度l=0.3450 m，噴嘴孔徑r1=0.59 mm，管身半徑r2=4.5 mm，應(yīng)用(5)式編程求解最大高度H.

圖3為吸水量的變化對噴泉最大高度的影響，在平衡溫度保持80 ℃不變的情況下，封入吸量管的氣體對外做功，推動水柱上升. 由于吸水量的增加會導(dǎo)致水柱的質(zhì)量增加，因此噴泉高度會隨吸水的質(zhì)量增大而減小.

圖3　噴泉最大高度隨吸水量的變化

2.2平衡溫度對噴泉最大高度的影響

吸水量h1=0.128 m,平衡溫度T2為變量，其他量與2.1中相同，通過仿真計算求得噴泉最大高度隨氣體溫度T2的變化，如圖4所示. 由圖4可以看出，隨溫度T2的升高，噴泉的最大高度H也在增加. 這是由于溫度升高使得氣體壓強增大，對水做功增加所致. 因此，溫度是決定噴泉高度的一個重要變量.

圖4　噴泉最大高度隨溫度的變化

圖5　噴泉最大高度隨小孔半徑的變化

2.3噴嘴孔徑對噴泉最大高度的影響

吸水量h1=0.128 m，平衡溫度T2=80 ℃時，改變噴嘴小孔半徑r1，其他量與2.1中相同. 通過計算求得噴泉最大高度H隨r1的變化，如圖5所示. 由圖5可以看出，隨小孔半徑r1的增大，最大高度H不斷降低. 由(2)式可知：小孔半徑的增加使得水流的速度降低，因此噴泉最大高度下降.

3實驗分析

針對以上分析進行實驗研究，測量數(shù)據(jù)如表1所示.

表1　80 ℃時，噴泉最大高度隨吸水量變化實驗數(shù)據(jù)

將實驗數(shù)據(jù)描點，并與仿真計算2.1中噴泉最大高度隨不同溫度下吸水高度的變化曲線進行對比. 由理論分析可知影響噴泉最大高度的主要因素有：吸水高度h1，預(yù)熱氣體的平衡溫度T2，小孔半徑r1. 由于實驗條件與仿真計算2.1所設(shè)置條件一致，因此圖6中實驗數(shù)據(jù)與理論曲線的偏差說明所吸熱水溫度與預(yù)熱氣體平衡溫度T2并不相等. 由于熱水與氣體進行熱交換過程較為復(fù)雜[7]，并且在實驗過程中平衡溫度也不容易得到. 這里采用作圖法得到了熱平衡溫度T2. 圖6中畫出了不同平衡溫度T2時噴泉高度與吸水高度的對應(yīng)曲線，則實驗數(shù)據(jù)與不同溫度曲線的交點即為所對應(yīng)平衡溫度. 圖6中實驗數(shù)據(jù)表明噴泉最大高度先增大后減小，說明封入氣體的平衡溫度T2隨吸水高度h1先增大后減小.

圖6　噴泉最大高度隨吸水量變化的實驗分析

通過分析可求得不同吸水量h1時，所對應(yīng)的氣體平衡溫度T2，如表2所示. 將表2數(shù)據(jù)進行多項式擬合，可得到函數(shù)T2(h1)，本例中擬合函數(shù)為

將函數(shù)T2(h1)代入程序中進行計算，則可求得與實驗結(jié)果相吻合的規(guī)律.

表2　 吸水量h1與熱平衡溫度T2的對應(yīng)關(guān)系

圖7　平衡溫度與吸水量的對應(yīng)關(guān)系

圖8　噴泉最大高度與吸水量的對應(yīng)關(guān)系

圖7為平衡溫度與吸水量的對應(yīng)關(guān)系曲線，由圖7可以看出，多項式擬合結(jié)果與實驗結(jié)果基本一致，僅在峰值附近偏差較大. 圖8為采用擬合關(guān)系式求得的噴泉最大高度與實驗數(shù)據(jù)的對比結(jié)果. 同樣在峰值附近有一定偏差，這可能是由于峰值附近，數(shù)據(jù)變化量較大，數(shù)據(jù)采集較少所致. 在峰值兩側(cè)實驗數(shù)據(jù)與理論分析則基本一致，吻合較好.

4結(jié)束語

本文對熱水噴泉現(xiàn)象從理論上進行了分析，得到了噴泉最大高度的函數(shù)關(guān)系式，并討論了影響噴泉最大高度的因素. 對照實驗數(shù)據(jù)進一步對理論模型進行了調(diào)整， 通過多項式擬合求得了平衡溫度與吸水高度的關(guān)系式，解決了在噴泉實驗過程中，平衡溫度不易測量的難題. 最后通過對擬合的溫度對應(yīng)關(guān)系模型進行計算得到了與實驗數(shù)據(jù)基本一致的結(jié)果.

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[責(zé)任編輯：任德香]

Research on the hot water fountain

LIU Jian-xiaoa, ZHENG Yong-chuna, SHI Gong-huib, FAN Yuan-yuana

(a. School of Electronics and Information Engineering; b. School of Applicative Chemistry，Hengshui University， Hengshui 053000, China)

Abstract:The fountain phenomena were studied when a Mohr pipette was partially filled with hot water. The formula of the maximum jetting height was deduced using Bernoulli equation, and the influences of suction height, equilibrium temperature and nozzle aperture on maximum jetting height were discussed. The relation between temperature and suction height was obtained by polynomial fitting, thus the equilibrium temperature was measured easily and accurately.

Key words:hot water fountain; Bernoulli equation; maximum jetting height; IYPT

中圖分類號：O35

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1005-4642(2016)04-0023-04

作者簡介：劉建曉(1984-)，男，河北衡水人，衡水學(xué)院電子信息工程學(xué)院講師，碩士，研究方向為計算物理、電磁場與微波技術(shù).

收稿日期：2015-12-21；修改日期：2016-03-13