黃 操，袁海文，馬 釗，凌 牧

（1.北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191；2．中國(guó)電力科學(xué)研究院，北京 100192）

0 引言

同步電機(jī)是電力系統(tǒng)中的重要部件，其運(yùn)行行為影響到電力系統(tǒng)的各個(gè)方面，而掌握精確的電機(jī)參數(shù)，對(duì)準(zhǔn)確分析和計(jì)算其動(dòng)態(tài)行為有重要的意義。在實(shí)際工作過程中，電機(jī)的實(shí)際參數(shù)值并不是一成不變的，而是隨著環(huán)境和工況的不斷變化在一定范圍內(nèi)變化，如溫度變化引起的集膚效應(yīng)，會(huì)影響電機(jī)定、轉(zhuǎn)子的電阻值，磁場(chǎng)飽和程度不同也會(huì)影響電感參數(shù)等。因此同步電機(jī)參數(shù)的辨識(shí)一直是電力系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容［1］。

傳統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)算法中，最小二乘法是比較常用的算法，具有算法簡(jiǎn)單、易于理解、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用［2-4］。但最小二乘法存在一定的局限性，沒有考慮到系統(tǒng)的病態(tài)性問題。所謂病態(tài)性問題就是系統(tǒng)數(shù)據(jù)微小的變化引起解的巨大變化［5］，當(dāng)病態(tài)性嚴(yán)重時(shí)，算法會(huì)存在收斂性和多值性的問題，結(jié)果將偏離真實(shí)值。

由于同步電機(jī)也是高維非線性系統(tǒng)，其病態(tài)性是參數(shù)辨識(shí)過程中無(wú)法回避的問題。文獻(xiàn)［6-8］都提到了同步電機(jī)系統(tǒng)的病態(tài)性，并采用子集選擇法來克服系統(tǒng)的病態(tài)，但子集選擇法有它的局限性，即需要一些先驗(yàn)知識(shí)來幫助確定哪些參數(shù)是固定的。本文將參數(shù)辨識(shí)看成是一種非線性反問題，反問題具有不適定性，也就是病態(tài)性問題，其求解過程就是解決病態(tài)性問題的一個(gè)過程［9］。在反演問題理論中，正則化是解決病態(tài)問題的基本思路，本文將經(jīng)典的Tikhonov正則化方法引入到同步電機(jī)的參數(shù)辨識(shí)中，并通過在仿真中設(shè)置多個(gè)場(chǎng)景，證明了該方法能克服系統(tǒng)的病態(tài)性并有效地進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。

1 病態(tài)性分析及其度量

一般而言，對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)的模型，如果原始數(shù)據(jù)的微小變化引起解的巨大變化，則稱該模型為病態(tài)的，反之則稱為良態(tài)的。病態(tài)與良態(tài)，是模型本身固有的屬性，它表征了模型抗干擾性的強(qiáng)弱，即穩(wěn)定性的好壞［5］。

通常用條件數(shù)K來度量病態(tài)性的嚴(yán)重程度。統(tǒng)計(jì)應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)表明：若01 000，則認(rèn)為存在嚴(yán)重病態(tài)［5］。

引理 1 設(shè)若對(duì)Cn×n上的某一矩陣范數(shù)‖·‖有‖A-1‖‖δA‖＜1，則非齊次線性方程組 Ax=y與（A＋δA）（x＋δx）＝y(tǒng)+δy的解滿足：

其中，‖·‖v為Cn上與矩陣范數(shù)‖·‖相容的向量范數(shù)，證明過程見文獻(xiàn)［10］；δ為表征輸出誤差的參數(shù)。

由式（1）可以知道，數(shù)據(jù)的誤差對(duì)逆矩陣和求解線性方程組解的影響與‖A‖‖A-1‖的大小有關(guān)，當(dāng)‖A‖‖A-1‖較大時(shí)，近似逆矩陣或線性方程組的相對(duì)誤差可能較大，因此‖A‖‖A-1‖可作為影響求解線性方程組解的大小的一種度量。

定義 1則稱

為矩陣A的條件數(shù)。一般地，如果系數(shù)矩陣A的條件數(shù)大就稱A對(duì)于求逆或求解線性方程組是病態(tài)的，否則稱為良態(tài)。

2 反問題與Tikhonov正則化方法

2.1 反問題與參數(shù)辨識(shí)

反問題是相對(duì)于正問題而言的，一個(gè)先前被研究的相對(duì)充分或完備的問題稱為正問題，而與此相對(duì)應(yīng)的另一個(gè)問題稱為反問題。從實(shí)際應(yīng)用中來看，可以概括地說，有2種動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)著反問題的研究：想了解物理過程過去的狀態(tài)或辨識(shí)參數(shù)；想了解如何通過干預(yù)當(dāng)前的狀態(tài)或調(diào)整某些參數(shù)去影響或控制該系統(tǒng)，以使其在未來到達(dá)人們所期望的狀態(tài)［9］。

圖1描述了反問題的基本原理，而參數(shù)辨識(shí)是指在輸入和輸出數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，從給定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中確立系統(tǒng)模型參數(shù)，因此參數(shù)辨識(shí)實(shí)際上就是一種典型的反問題。反問題求解面臨2個(gè)根本困難：

圖1 反問題原理圖Fig.1 Schematic diagram of inverse problem

a.用于反問題求解的原始數(shù)據(jù)可能不屬于該問題的精確解所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)集合，因而，在經(jīng)典意義下的近似解可能不存在；

b.近似解的不穩(wěn)定性，即原始數(shù)據(jù)小的觀測(cè)誤差（這個(gè)在工程中是不可避免的）會(huì)導(dǎo)致近似解與真解的嚴(yán)重偏離。

這是反問題求解中要面對(duì)的2個(gè)難點(diǎn)和關(guān)鍵所在，即所謂的反問題的不適定性。其中，a為反問題解的存在性問題，對(duì)于參數(shù)辨識(shí)而言，即是參數(shù)的可辨識(shí)問題［11］；b是關(guān)于解的唯一穩(wěn)定問題，實(shí)際上也是病態(tài)性問題。反問題求解主要是解決病態(tài)性問題。而在反演理論中，正則化方法是解決病態(tài)問題的基本思路。

2.2 Tikhonov正則化方法

假設(shè)反問題可以用一個(gè)抽象的算子方程（3）來描述，其中x代表系統(tǒng)的未知量，y代表系統(tǒng)的輸出，A為系統(tǒng)算子。反問題為：已知A和y來求未知量x。當(dāng)A為線性算子，稱其為線性反問題，否則為非線性的反問題：

求解反問題不適定性的普遍方法是：用一組與原不適定問題相“鄰近”的適定問題的解去逼近原問題的解，這種方法稱為正則化方法。如何建立有效的正則化方法是反問題領(lǐng)域中不適定問題研究的重要內(nèi)容。解決不適定性的典型的方法是變分正則化方法，又稱為 Tikhonov 正則化方法［9，12-13］。

按照正則化思想，可以用一系列與問題式（3）相鄰近的適定問題來近似，例如用下述帶有參數(shù)α（α≥0）的極小化問題來近似：

稱 Mα［x，y，A］為 Tikhonov泛函，α≥0 為正則參數(shù)，易見式（5）的歐拉方程為：

因此式（3）的極小解xα為正則解：

對(duì)于任何α≥0而言，其解存在、唯一，且連續(xù)依賴于A、y和α。則余下的工作是如何選取合適的正則參數(shù)α的問題?？傮w而言，正則參數(shù)α的選取要兼顧近似解的數(shù)值穩(wěn)定性和與原問題的好的逼近程度這2個(gè)要求。

這里正則參數(shù)α主要采用MOROZOV偏差原理來獲得，假設(shè)具體步驟如下［9］，其中 αn為第 n次迭代中的正則參數(shù)值，xαn，δ為第 n次迭代中的x值。

a.給定初始正則參數(shù) α0≥0，令 n＝0。

（92）細(xì)齒羽苔 Plagiochila denticulata Mitt. 熊源新等（2006）；楊志平（2006）

b.解方程（A*A+αnI）xαn，δ=A*yδ，得 xαn，δ。

c.對(duì)步驟b中的方程求導(dǎo)得到方程：

求解該方程得

e.令 αn+1=αn-F（αn）/F′（αn），若小于某

指定精度，則計(jì)算終止，否則進(jìn)入步驟f。

f.令 n=n+1，轉(zhuǎn)步驟 b。

3 同步電機(jī)模型及病態(tài)性分析

同步發(fā)電機(jī)參數(shù)的計(jì)算依賴于數(shù)學(xué)模型的建立，模型不同參數(shù)也有所不同，本文選用同步發(fā)電機(jī)在dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的穩(wěn)態(tài)方程（8）作為數(shù)學(xué)模型，同時(shí)忽略飽和、磁滯和渦流的影響，并且忽略阻尼繞組［14-15］。

其中，id、iq和 ud、uq分別為定子繞組 d、q 軸的電流和電壓；if、uf分別為勵(lì)磁繞組的電流和電壓；Rs、Rf分別為定子繞組和勵(lì)磁繞組電阻；Ld、Lq分別為定子繞組 d、q 軸上的自感；Lf為勵(lì)磁繞組自感；Lmd、Lmq分別為定子繞組d、q軸與勵(lì)磁繞組間的互感。

由式（8）可知，本文主要識(shí)別的參數(shù)為 Rs、Rf、Lq、Ld、Lf、Lmd、Lmq，因此式（8）可以寫成如下形式：

其中，A為利用觀察值建立的矩陣；輸出y=［uduquf］T；參數(shù)矩陣 x=［LdLqLfLmdLmqRs］T，所以本文中的參數(shù)識(shí)別的反問題即為：已知A和y，求x。

同步發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型的病態(tài)性主要表現(xiàn)為矩陣A的病態(tài)性，可以通過計(jì)算法矩陣ATA的條件數(shù)來度量系統(tǒng)病態(tài)的嚴(yán)重程度，條件數(shù)的計(jì)算可以采用式（2）。

本文將通過下一節(jié)的同步發(fā)電機(jī)實(shí)例的測(cè)試數(shù)據(jù)來計(jì)算法矩陣的條件數(shù)。由于矩陣A需要用到電流的微分量，所以必須進(jìn)行離散化處理：i′= （i（k）-i（k-1））/Ts，其中 Ts為采樣周期。 對(duì)同步電機(jī)的運(yùn)行電流進(jìn)行采樣，就能確定矩陣A，然后通過式（2）就能計(jì)算得到條件數(shù)K。當(dāng)Ts=1×10-4s時(shí)，計(jì)算得K=4.687×105。由此可知，系統(tǒng)的病態(tài)性嚴(yán)重。

4 參數(shù)辨識(shí)的仿真

4.1 仿真模型

為了獲得同步發(fā)電機(jī)的測(cè)量數(shù)據(jù)，采用MATALB的Simulink平臺(tái)［16］搭建了同步發(fā)電機(jī)模型，其中電機(jī)采用Simulink自帶的同步電機(jī)模型，反問題的Tikhonov正則化方法采用S-function來編寫，并作為一個(gè)模塊嵌入到同步發(fā)電機(jī)系統(tǒng)仿真環(huán)境中，主要實(shí)現(xiàn)對(duì)發(fā)電機(jī)參數(shù)的識(shí)別。電機(jī)的參數(shù)為某航空獨(dú)立交流電源中主發(fā)電機(jī)的實(shí)際參數(shù)，如表1所示。

表1 主發(fā)電機(jī)參數(shù)Table 1 Parameters of master generator

4.2 仿真分析

為了真實(shí)地模擬觀測(cè)數(shù)據(jù)，并驗(yàn)證Tikhonov正則化方法求解病態(tài)問題的能力以及對(duì)參數(shù)辨識(shí)的有效性，分別對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)加入10%、20%、30%的Gauss白噪聲，即：

由式（9）可知，反問題的輸入為電機(jī)模型輸出的iq、id、if、uq、ud、uf，如圖 2 所示（圖 2 所示為 t=0.1 s 時(shí)機(jī)械功率Pm階躍增大時(shí)的發(fā)電機(jī)電流、電壓波形），然后通過反問題的正則化方法，計(jì)算出同步電機(jī)的參數(shù) Rs、Rf、Lq、Ld、Lf、Lmd、Lmq，其中 Ld＝L1s+Lmd，Lq＝L1s+Lmq，Lf＝ L1fd+Lmd。

本文采用MOROZOV偏差原理來求解正則化參數(shù)α。選取正則參數(shù)α必須非常小心，如果α太大，則新得到的問題對(duì)原問題的逼近程度太差；相反如果α太小，則問題的不適定性并沒有克服，數(shù)值計(jì)算仍然很不穩(wěn)定。

a.加入10%白噪聲：表2是在測(cè)量數(shù)據(jù)中加入10%白噪聲后的辨識(shí)結(jié)果，經(jīng)過迭代最終得到正則參數(shù)α=1.36×10-3，迭代次數(shù)為8。由表中數(shù)據(jù)可以看出辨識(shí)結(jié)果較好。

b.加入20%白噪聲：表3是在測(cè)量數(shù)據(jù)中加入20%白噪聲的辨識(shí)結(jié)果，經(jīng)過迭代最終得到正則參數(shù)α=8.65×10-3，迭代次數(shù)為16。由表中數(shù)據(jù)可以看出辨識(shí)結(jié)果雖然不太精確，但可以接受。

c.加入30%白噪聲：表4是在測(cè)量數(shù)據(jù)中加入30%白噪聲的辨識(shí)結(jié)果，經(jīng)過迭代最終得到正則參數(shù)α=3.64×10-2，迭代次數(shù)為20。30%白噪聲代表比較嚴(yán)重的工況，由表中數(shù)據(jù)可以看出辨識(shí)結(jié)果開始偏離真實(shí)值。

圖2 電流、電壓波形Fig.2 Current and voltage waveforms

表2 加入10%噪聲的辨識(shí)結(jié)果Table 2 Results of identification with 10%noise

表3 加入20%噪聲的辨識(shí)結(jié)果Table 3 Results of identification with 20%noise

表4 加入30%噪聲的辨識(shí)結(jié)果Table 4 Results of identification with 30%noise

4.3 與傳統(tǒng)最小二乘法的比較

如何建立有效的正則化方法是反問題領(lǐng)域中病態(tài)問題研究的重要內(nèi)容。通常的正則化方法有Tikhonov正則化方法、信賴域法、正則化的內(nèi)積法等，Levenberg-Marquardt［17］也是一種特殊的正則化方法，可以看作是對(duì)非線性問題作先線性化后正則化的過程，文獻(xiàn)［9］對(duì)它的正則化進(jìn)行了證明。本文選擇的是經(jīng)典的Tikhonov正則化方法。傳統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)方法中，使用最多的是最小二乘辨識(shí)法以及一些改進(jìn)的最小二乘法，如增廣二乘法、廣義最小二乘法、加權(quán)最小二乘法，與它們相比，本文方法的本質(zhì)區(qū)別在對(duì)系統(tǒng)病態(tài)性能力的克服上，這里通過Tikhonov正則化方法與最小二乘辨識(shí)法的比較來進(jìn)行證明。對(duì)于系統(tǒng) Y=AX，X 的最小二乘解是 x=（ATA）－1ATy，而正則解為 xα=（ATA+αI）－1ATye。 系統(tǒng)的病態(tài)表現(xiàn)為矩陣A的病態(tài)，即法矩陣ATA的病態(tài)性。與最小二乘法相比，正則化方法增加了αI一項(xiàng)，這一項(xiàng)的引入使法方程的病態(tài)性得到改善，因而能得到好的估計(jì)值。

表5顯示了對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)加入10%、20%、30%的白噪聲，并采用最小二乘法進(jìn)行辨識(shí)的同步電機(jī)參數(shù)值。可以看出，在10%的白噪聲污染下，最小二乘法的結(jié)果已經(jīng)開始偏離，但勉強(qiáng)可以接受，而在強(qiáng)噪聲（30%的白噪聲污染）的工況下，最小二乘法的辨識(shí)結(jié)果已經(jīng)完全偏離真實(shí)值。由此可知，Tikhonov正則化方法克服病態(tài)性的能力優(yōu)于最小二乘法。

表5 加入噪聲的最小二乘法辨識(shí)結(jié)果Table 5 Results of identification with noise by least square method

5 結(jié)論

本文將同步電機(jī)的參數(shù)辨識(shí)作為一種反問題來研究，而反問題首要解決的問題就是病態(tài)性問題。通過對(duì)系統(tǒng)病態(tài)性問題的分析，得出正則化方法是解決病態(tài)問題的基本思路，將反演理論中經(jīng)典的Tikhonov正則化方法引入同步發(fā)電機(jī)參數(shù)辨識(shí)中，為同步發(fā)電機(jī)參數(shù)辨識(shí)問題提供了一條新的有嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的思路和方法。通過實(shí)驗(yàn)研究，并與傳統(tǒng)的最小二乘法相比較，可以證明：該方法能有效地進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，同時(shí)具有克服病態(tài)性的能力。

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