趙一瑾

(北京航空航天大學(xué) 無人駕駛飛行器設(shè)計(jì)研究所, 北京 100191)

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基于H∞方法的控制系統(tǒng)作動(dòng)器最優(yōu)控制仿真研究

趙一瑾

(北京航空航天大學(xué) 無人駕駛飛行器設(shè)計(jì)研究所, 北京 100191)

摘要:在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)模型時(shí),首先引入了有限差分法(FDM)離散化后的波動(dòng)方程,然后基于H∞最優(yōu)控制原理,檢查閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可探測(cè)性,對(duì)控制系統(tǒng)傳感器和作動(dòng)器的位置進(jìn)行優(yōu)化配置。通過計(jì)算閉環(huán)反饋系統(tǒng)的范數(shù),最終得到了控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制算法。仿真結(jié)果表明,利用波動(dòng)方程來優(yōu)化控制系統(tǒng)傳感器和作動(dòng)器位置的算法是可行的,可廣泛應(yīng)用于飛控系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中。

關(guān)鍵詞:傳感器和作動(dòng)器; 有限差分法; H∞最優(yōu)控制

0引言

現(xiàn)代控制領(lǐng)域中最重要的內(nèi)容之一就是尋找傳感器和作動(dòng)器的最優(yōu)位置,以獲得更好的控制結(jié)果。傳感器的不當(dāng)放置,可能會(huì)導(dǎo)致其精度降低,影響控制效果。

自20世紀(jì)七八十年代起,人們開始了對(duì)控制系統(tǒng)和顯示系統(tǒng)中傳感器和作動(dòng)器位置的研究。1973年,文獻(xiàn)[1]提出通過檢測(cè)系統(tǒng)的可觀測(cè)性確定傳感器的優(yōu)化配置。之后,研究者們開始關(guān)注于在傳感器位置最優(yōu)問題上如何減少估計(jì)誤差[2]。文獻(xiàn)[3]通過對(duì)線性偏微分方程(PDE)模型的控制器進(jìn)行可控性測(cè)量,來得到最佳的作動(dòng)器的位置。后來文獻(xiàn)[4]將遺傳算法引入到優(yōu)化控制器增益和作動(dòng)器位置研究中。對(duì)于非線性控制系統(tǒng),Lou等[5]嘗試用K-S方程的高階離散來計(jì)算。盡管這些前期的方法和研究取得了一定的進(jìn)展,但在魯棒性方面均存在不足。隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展,魯棒控制系統(tǒng)被引入到這一問題中來。文獻(xiàn)[6]利用線性Ginzburg-Landau模型來設(shè)計(jì)H2控制器,但相較于H∞最優(yōu)控制理論,H2控制理論存在更多的局限性。

考慮到實(shí)際工程應(yīng)用中飛機(jī)作為一個(gè)彈性體,在設(shè)計(jì)控制器時(shí)必須考慮柔性結(jié)構(gòu)的因素，本文將現(xiàn)代H∞魯棒控制理論與柔性結(jié)構(gòu)的波動(dòng)方程相結(jié)合,來解決作動(dòng)器和傳感器位置最優(yōu)的問題。利用有限差分法(FDM)來離散化波動(dòng)方程,它的線性偏微分方程可以通過物理學(xué)原理推導(dǎo)得出[7]。H∞最優(yōu)控制原理被應(yīng)用于設(shè)計(jì)控制系統(tǒng),它擁有傳統(tǒng)控制方法的所有優(yōu)點(diǎn)，并且很好地平衡了控制器的表現(xiàn)和魯棒性[8]。H∞最優(yōu)控制的目標(biāo)是減小閉環(huán)系統(tǒng)從外界輸入到誤差信號(hào)輸出的范數(shù)γ∞。

1被控系統(tǒng)的離散化

1.1偏微分方程

由于一維波動(dòng)方程沒有阻尼項(xiàng),其所有特征值均在虛軸上即實(shí)數(shù)部分為零,整個(gè)開環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定,須引入阻尼項(xiàng)來確保所有矩陣的特征值都處于左半平面上。一維有阻尼項(xiàng)的波動(dòng)方程的偏微分方程為[7,9]:

(1)

式中:x為波的振幅;s為位置矢量;c為波的傳播速度;λ為阻尼系數(shù)。假設(shè)在機(jī)翼的底端有脈沖輸入信號(hào),則初始條件(IC)和邊界條件(BC)分別為:

(2)

(3)

1.2有限差分方法

用有限差分法對(duì)偏微分方程進(jìn)行離散化[10],下面是兩種離散方法。

1.2.1全離散有限元差分法

離散化整個(gè)系統(tǒng),將其分為N個(gè)點(diǎn),時(shí)間T分為M個(gè)節(jié)點(diǎn),所以空間和時(shí)間上的步長可分別表示為Δs=L/(N-1),Δt=T/(M-1)。一階差分用向前差分法,二階用中心差分法,可離散化一維有阻尼項(xiàng)的波動(dòng)方程為:

(4)

式中:i為空間網(wǎng)格;j為時(shí)間網(wǎng)格。用p=c2Δt2/Δs2替代,重新整理式(4)可得:

(5)

寫成矩陣格式為:

(6)

1.2.2半離散有限元差分法

半離散法僅在空間上離散而不在時(shí)間上進(jìn)行離散,即Δs=L/(N-1)。離散時(shí)對(duì)于各節(jié)點(diǎn)處n=0,1,…,N-1,可使用二階向前差分、二階向后差分以及二階中心差分法,其表達(dá)式分別如式(7)～式(9)所示:

(7)

(8)

(9)

2H∞最優(yōu)控制系統(tǒng)

2.1H∞最優(yōu)控制原理

一個(gè)典型的H∞反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1　H∞反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1　Structure of H∞ feedback control system

圖1的反饋控制系統(tǒng)可以看作一個(gè)下線性分式變換(LFT)。圖中：G(s)為被控對(duì)象;K(s)為控制器[11-12];u為控制輸入;y為測(cè)量輸出;w為所有外部輸入,包括干擾或噪聲;z為系統(tǒng)的輸出即錯(cuò)誤信號(hào)。該系統(tǒng)可以表示為:

(10)

通過一系列推導(dǎo)可得系統(tǒng)從外部輸入w到誤差信號(hào)z的傳遞函數(shù)為[13]:

(11)

此系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示為:

(12)

所以傳遞函數(shù)可以表示為:

(13)

系統(tǒng)的H∞范數(shù)γ代表系統(tǒng)最壞的情況或可能出現(xiàn)的最大增益。定義為[11-13]:

(14)

2.2H∞閉環(huán)控制器的設(shè)計(jì)

用狀態(tài)空間描述開環(huán)系統(tǒng)[14]:

(15)

其中:

利用H∞最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng),寫成式(12)的形式。

2.3位置最優(yōu)設(shè)計(jì)

2.3.1傳感器位置最優(yōu)

2.3.2作動(dòng)器位置最優(yōu)

3仿真結(jié)果及分析

假設(shè):波的傳播速度c=1 m/s;介質(zhì)長度L=10 m;分割節(jié)點(diǎn)數(shù)N=15;總測(cè)量時(shí)間T=10 s;時(shí)間節(jié)點(diǎn)數(shù)M=100;外界脈沖輸入的邊界條件uL=10 mm;阻尼項(xiàng)的阻尼系數(shù)λ=1。

3.1H∞閉環(huán)控制系統(tǒng)

閉環(huán)系統(tǒng)的H∞范數(shù)γclosed是用來測(cè)量H∞最優(yōu)控制系統(tǒng)的控制效果的一項(xiàng)非常重要的指標(biāo)。

對(duì)于不同的r,閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)分別如圖2所示。當(dāng)r=0時(shí),為了平衡位于介質(zhì)末端的正向波動(dòng),靠近介質(zhì)起始端的節(jié)點(diǎn)處的響應(yīng)是負(fù)向的。隨著系數(shù)r的不斷增大,這個(gè)響應(yīng)在不斷減小,當(dāng)r趨近于正無窮大時(shí),對(duì)比開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)的范數(shù)可知,γclosed會(huì)趨近于γopen,此時(shí)意味著控制器對(duì)系統(tǒng)的影響小到可以忽略不計(jì)。

圖2　含阻尼項(xiàng)波動(dòng)方程的脈沖響應(yīng)Fig.2　Impulse responses of closed-loop system for wave equation with damping term

通過對(duì)比不同r情況下閉環(huán)系統(tǒng)和開環(huán)系統(tǒng)的H∞范數(shù),可以得出如下結(jié)論:當(dāng)r不斷增大,會(huì)使得控制輸入u變小,從而導(dǎo)致控制器在閉環(huán)系統(tǒng)中所起到的作用非常小。當(dāng)r足夠大時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)的H∞范數(shù)會(huì)無限趨近于開環(huán)系統(tǒng)的H∞范數(shù),這說明閉環(huán)系統(tǒng)的控制效果與開環(huán)系統(tǒng)一樣變得非常差。

3.2傳感器位置最優(yōu)

根據(jù)第2.3.1節(jié)關(guān)于傳感器位置最優(yōu)的研究,移動(dòng)傳感器測(cè)量輸出的位置,則系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)如圖3所示。當(dāng)測(cè)量輸入向位于底端的外界輸入移動(dòng)時(shí),位于遠(yuǎn)離w的作動(dòng)器反應(yīng)越來越迅速,這表明了控制器的效果不斷提高。

圖3　移動(dòng)傳感器位置時(shí)波動(dòng)方程的脈沖響應(yīng)Fig.3　Impulse responses of closed-loop system with the position of sensor being moved

此時(shí)若將u固定在其他節(jié)點(diǎn)處,移動(dòng)測(cè)量輸出y的位置時(shí),會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)不可探測(cè)的情況,增加傳感器的個(gè)數(shù)可以使系統(tǒng)重新變?yōu)榭商綔y(cè)的。

3.3作動(dòng)器位置最優(yōu)

按照本文第2.3.2節(jié)所述的過程進(jìn)行作動(dòng)器位置最優(yōu)的研究,移動(dòng)作動(dòng)器即控制輸入的位置。表1為作動(dòng)器位置不同時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的H∞范數(shù)。其中，γ1為u=x(0,t)時(shí)γclosed的最小值;γ2為u=x(Δs,t)時(shí)γclosed的最小值。對(duì)比可知,將作動(dòng)器放在起始端,會(huì)得到更好的控制效果。繼續(xù)移動(dòng)作動(dòng)器的位置,可能會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況,這意味著僅用一個(gè)作動(dòng)器無法使系統(tǒng)穩(wěn)定,此時(shí)可以通過增加作動(dòng)器的個(gè)數(shù)來解決這一問題。

在研究一個(gè)傳感器作動(dòng)器位置最優(yōu)問題時(shí),會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定或不可探測(cè)的情況,此時(shí)可以通過增加傳感器或作動(dòng)器的數(shù)量來使系統(tǒng)重新恢復(fù)到穩(wěn)定、可探測(cè)的狀態(tài)。

表1　作動(dòng)器位置不同時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的H∞范數(shù)

4結(jié)束語

基于H∞最優(yōu)控制原理,利用波動(dòng)方程來優(yōu)化控制系統(tǒng)傳感器和作動(dòng)器位置的算法是可行的,可以將傳感器和作動(dòng)器的位置最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為控制系統(tǒng)的優(yōu)化問題。可以通過測(cè)量控制系統(tǒng)的H∞范數(shù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的控制效果,給復(fù)雜的位置最優(yōu)問題一個(gè)固定的檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)。在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性和可探測(cè)性的前提下,可以進(jìn)一步研究多個(gè)傳感器及作動(dòng)器位置最優(yōu)的問題。

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(編輯：方春玲)

Simulation of optimal control actuators for a control system based onH∞theory

ZHAO Yi-jin

(Unmanned Aircraft Design and Research Institute, BUAA, Beijing 100191, China)

Abstract:This paper proposes a new way to address this issue, in which wave equation discretized by the finite differential method (FDM) was used to describe the input/output propagation mode for control systems. By utilizing a robust controller design to the models, the complicated optimal actuator and sensor placement problem can be transformed to a judgement on specific characteristics. Check the stability and detectability of the closed-loop control system based on the H∞optimal control principles. The simulation results show that the process of optimizing the placement of sensors and actuators for control and monitoring system could also serve as a natural extension to other structures.

Key words:sensor and actuator; finite differential method (FDM); H∞optimal control

中圖分類號(hào)：V249.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1002-0853(2016)02-0028-04

作者簡介:趙一瑾(1993-)，女，陜西西安人，碩士，研究方向?yàn)轱w行力學(xué)與控制工程。

收稿日期:2015-11-08;

修訂日期:2016-01-19; 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2016-03-15 14:29