徐麗平，李治

(長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

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不連續(xù)系數(shù)重倒向隨機(jī)微分方程(BDSDE)解的存在性

徐麗平，李治

(長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

[摘要]在不連續(xù)條件下對(duì)重倒向隨機(jī)微分方程解的存在性進(jìn)行了研究。在僅僅方程的系數(shù)滿足線性增長(zhǎng)和連續(xù)性條件下建立了新的比較定理，構(gòu)造了一個(gè)單調(diào)有界的解序列，從而在弱的假設(shè)下建立此對(duì)類(lèi)方程了解的存在性定理。該研究結(jié)果一般化和改進(jìn)了一些已有結(jié)果。

[關(guān)鍵詞]重倒向隨機(jī)微分方程(BDSDE)；不連續(xù)系數(shù)；比較定理；存在性

1994年，為給出一類(lèi)半線性隨機(jī)偏微分方程解的概率表征，Pardoux和Peng[1]引入一類(lèi)重倒向隨機(jī)微分方程(BDSDE)，并在Lipschitz條件下建立了解的存在唯一性。這類(lèi)方程既包含標(biāo)準(zhǔn)(向前)的隨機(jī)積分，又包含向后的隨機(jī)積分。自此以后，相關(guān)學(xué)者對(duì)與隨機(jī)偏微分方程相關(guān)的重倒向隨機(jī)微分理論展開(kāi)了研究[2～5]。

在許多實(shí)際應(yīng)用中，Lipschitz條件下往往無(wú)法滿足，為此許多學(xué)者嘗試減弱關(guān)于系數(shù)的Lipschitz條件：Shi，Gu和Liu[6]減弱到線性增長(zhǎng)條件給出了一個(gè)解的存在性定理；Lin[7～9]及Modeste和Owo[10]研究了一類(lèi)不連續(xù)系數(shù)的重倒向隨機(jī)微分方程。下面，筆者也考慮如下一維的重倒向隨機(jī)微分方程：

(1)

式中，dW是向前的Ito積分；dB是向后的Ito積分。受文獻(xiàn)[8～10]的驅(qū)動(dòng)，筆者在不連續(xù)條件下對(duì)重倒向隨機(jī)微分方程(1)解的存在性進(jìn)行了探討。

1預(yù)備知識(shí)

令(Ω，F(xiàn)，P)是一個(gè)完備的概率空間，T>0是給定的終端時(shí)間。假設(shè){Wt}0≤t≤T和{Bt}0≤t≤T是2個(gè)分別取值于Rd和Rl相互獨(dú)立的定義在(Ω，F(xiàn)，P)的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。對(duì)每一個(gè)t∈[0,T]，定義：

(C1) L2(Ω，F(xiàn)T，P)={ξ:{FT}-可測(cè)隨機(jī)變量；E[|ξ|2]<∞}；

記f:Ω×[0,T]×R×Rd→R,g:Ω×[0,T]×R×Rd→Rl是可測(cè)的隨機(jī)過(guò)程，ξ是R-值FT可測(cè)的隨機(jī)變量，相關(guān)假設(shè)如下：

(H1)g(·,0,0)∈M2(0,T;Rd),存在常數(shù)C>0及0<α<1使得對(duì)所有的(t,yi,zi)∈[0,T]×R×Rd,i=1,2,滿足：

|g(t,y1,z1)-g(t,y2,z2)|2≤C|y1-y2|2+α|z1-z2|2

(H2)對(duì)每一個(gè)t∈[0,T],(y,z)∈R×Rd,f(t,·,z)左連續(xù)，f(t,y,·)連續(xù)。

(H3)存在非負(fù)連續(xù)函數(shù)h:R×Rd→R,對(duì)任意的(y,z)∈R×Rd滿足|h(y,z)|≤C(1+|y|+|z|),h(0,0)=0且對(duì)所有的y1≥y2,t∈[0,T]及z1,z2∈Rd有：

f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)≥-h(y1-y2,z1-z2)

(H3′)存在常數(shù)C>0,使得對(duì)所有的(t,yi,z)∈[0,T]×R×Rd,i=1,2及y1≥y2,有f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)≥-C(y1-y2),此外，f(t,y,·)是Lipschitz連續(xù)的。

(H4′)存在非負(fù)過(guò)程G∈M2(0,T;R)及常數(shù)C>0,對(duì)任意的(t,y,z)∈[0,T]×R×Rd使得：

|f(t,y,z)|≤Gt(ω)+C|y|+C|z|

(H5)對(duì)任意的t∈[0,T],f(t,·,·)連續(xù)。

(H6)f(·,0,0)∈M2(0,T;R)。

(H7)( Lipschitz條件)存在常數(shù)C>0，使得對(duì)所有的(t,yi,zi)∈[0,T]×R×Rd,i=1,2使得：

|f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)|≤C(|y1-y2|+|z1-z2|)

定義1如果Ft-可測(cè)的二元隨機(jī)過(guò)程(y,z)∈S2(0,T;R)×M2(0,T;Rd)且滿足方程(1)，則稱(chēng)(y,z)為重倒向隨機(jī)微分方程(1)的解。

2主要結(jié)果

引理1[1]假設(shè)(H1)、(H6)和(H7)成立，則重倒向隨機(jī)微分方程(1)有唯一解(y,z)∈S2(0,T;R)×M2(0,T;Rd)。

比較定理是重倒向隨機(jī)微分方程理論中一個(gè)十分重要而有效的工具。Shi等[6]在Lipschitz條件下給出了重倒向隨機(jī)微分方程的比較定理, 并在連續(xù)和線性增長(zhǎng)條件下證明了解的存在性。Lin[8]在僅僅一個(gè)方程的系數(shù)滿足Lipschitz條件下給出了重倒向隨機(jī)微分方程的比較定理,一類(lèi)不連續(xù)系數(shù)的重倒向隨機(jī)微分方程解的存在性定理也被證明。下面，筆者僅僅在一個(gè)方程的系數(shù)滿足連續(xù)和線性增長(zhǎng)條件下給出比較定理。

定理1 (比較定理)假設(shè)參數(shù)為(f,g,ξ,T)及(f′,g,ξ′,T)的重倒向隨機(jī)微分方程(1)分別有解(y,z)及(y′，z′)，且進(jìn)一步假設(shè):

1)ξ≤ξ′P-a.s.；

證明這里筆者僅證第1種情況，另一種情況的證明是類(lèi)似的。

對(duì)任意確定的C>0，定義：

fn(t,y′,z′)≤f(t,y′,z′)≤f′(t,y′,z′)P-a.s

從而, 由文獻(xiàn)[8]知yn≤y′P-a.s.。證畢。

構(gòu)造如下重倒向隨機(jī)微分方程序列:

(2)

證明對(duì)n=1，考慮如下重倒向隨機(jī)微分方程：

(3)

于是：

對(duì)n=2，考慮如下的重倒向隨機(jī)微分方程:

(4)

于是：

(5)

類(lèi)似于n=2知：

(6)

令：

由(H3)，(H4)知：

由(H1)得：

這里：

于是：

因此：

令：

從而由(H1)知：

從而，由控制收斂定理知：

此外，由B-D-G’s不等式知：

對(duì)于n=1，考慮如下重倒向隨機(jī)微分方程:

(7)

(8)

類(lèi)似于n=1得到：

3結(jié)語(yǔ)

2009年，Modest和Owo[10]研究了重倒向隨機(jī)微分方程(2)解的存在性，但在文獻(xiàn)[10]中需要假設(shè)(H4′)來(lái)代替定理2中的假設(shè)(H4)。事實(shí)上，假設(shè)(H4′)是(H4)的一個(gè)特例。此外，在定理2中僅僅需要g(·,0,0)是均方可積的,而文獻(xiàn)[10]要求g(·,0,0)=0。因此，定理2是文獻(xiàn)[10]中的定理3.4的改進(jìn)和一般化。

文獻(xiàn)[8]在假設(shè)(H1)、(H2)、(H3′)和(H4)成立的條件也得到了一個(gè)關(guān)于BDSDE(1)解的存在性定理，但條件(H3)比(H3′)弱。事實(shí)上， 函數(shù)f(t,y,z)=sgn{y}y2+sgn{z}滿足假設(shè)(H3)，但是對(duì)z不是Lipschitz連續(xù)，也就是說(shuō)f不滿足假設(shè)(H3′), 因此定理2改進(jìn)了文獻(xiàn)[8]中的定理4.4。此外，在條件(H3)中f對(duì)z的限制很明顯比一致連續(xù)假設(shè)要弱，且f對(duì)z僅是單邊一致連續(xù)的，因此定理2 也改進(jìn)了文獻(xiàn)[9]中的定理4.4。

[參考文獻(xiàn)]

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[編輯]洪云飛

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號(hào)]1673-1409(2016)10-0001-06

[中圖分類(lèi)號(hào)]O211.63

[作者簡(jiǎn)介]徐麗平 (1980-)，女， 碩士， 講師，現(xiàn)主要從事隨機(jī)微分方程方面的教學(xué)與研究工作； E-mail: xlp211@126.com。

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11271093)； 湖北省教育廳青年人才項(xiàng)目(Q20141306)。

[收稿日期]2015-12-28

[引著格式]徐麗平，李治.不連續(xù)系數(shù)重倒向隨機(jī)微分方程(BDSDE)解的存在性[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版)，2016,13(10)：1～6.