姬煜軻，許建中，徐延明，趙成勇

（華北電力大學 新能源電力系統(tǒng)國家重點實驗室，北京 102206）

0 引言

目前，電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)仿真計算軟件多種多樣，應用的場合也不盡相同。針對不同類型的應用需求，大體上可以分為離線仿真平臺和實時仿真器。離線仿真平臺包括各種常見的軟件包，如PSCAD／EMTDC、EMTP-RV［1］、ATP、MicroTran 等。 實時仿真器的代表主要有RTDS、RT-LAB等，被廣泛應用于工業(yè)和學術界。盡管應用場所不同，但不論是離線仿真還是實時仿真所采用的積分方法大都是隱式梯形積分法［2］。隱式梯形積分法具有精度高、穩(wěn)定性好等優(yōu)點，但由于其積分特點的影響，在仿真過程中，開關和器件動作以及網(wǎng)絡結構發(fā)生變化，會引起電感、電容等儲能元件的非狀態(tài)變量在事件發(fā)生后在真解附近不正常地擺動，也即電磁暫態(tài)仿真中的數(shù)值振蕩現(xiàn)象［3-4］。

針對此類問題國內(nèi)外提出了許多解決方案，文獻［5］分別采用求解非狀態(tài)變量法和阻尼法嘗試解決該問題，結果發(fā)現(xiàn)求解非狀態(tài)變量的效果要好于阻尼法，但較為復雜，計算量較大，如果對大規(guī)模交直流電網(wǎng)［6-8］進行仿真，此方法無疑會大幅增加計算負擔，嚴重影響仿真效率。文獻［9］采用改進的節(jié)點分析法，對非線性元件離散化使其變?yōu)榫€性元件再進行求解，從而獲得較為準確的非狀態(tài)變量的解，但此種方法會引進牛頓-拉夫遜迭代，如果仿真規(guī)模擴大，其復雜度和龐大的計算量同樣會嚴重影響仿真速度。

EMTP的3.0版本采用臨界阻尼調整法CDA（Critical Damping Adjustment）技術消除數(shù)值振蕩，但是仿真波形中會出現(xiàn)一些處理痕跡，消除效果不是很理想［4］。PSCAD的V4.0版本采用半步長插值來解決數(shù)值振蕩問題，取得不錯的效果，但此種方法只能用于離線仿真，實時仿真中振蕩問題無法用插值來解決［10］。

現(xiàn)有的實時仿真器中大多采用外加阻尼電路的方法來抑制數(shù)值振蕩，該方法具有2個優(yōu)點：不需要對積分方法進行改動；既可用于實時仿真來抑制振蕩提高仿真精度，也可用于離線仿真替代插值來提高仿真速度。而此方法的關鍵在于如何選取合適的Rsnb、Csnb值以獲得最佳的振蕩抑制效果。本文將以RC電路為基礎，以PSCAD為平臺，通過Simplex優(yōu)化算法并設計恰當?shù)膬?yōu)化目標函數(shù)來獲得最優(yōu)的阻尼電路Rsnb和Csnb的值。

1 數(shù)值振蕩問題的實質及現(xiàn)象

1.1 數(shù)值振蕩問題的實質

已有大量文獻對數(shù)值振蕩問題進行了分析及介紹，本文將通過一個簡單的RL非線性電路重現(xiàn)該電磁暫態(tài)仿真中的基礎問題。

以圖1所示的RL電路進行分析，此處的二極管相當于一個開關 S，iL為電感的瞬時電流。假設在t0，此時二極管處于正向導通狀態(tài)，相當于S閉合。t=t0時刻，二極管承受反向電壓，iL反向流經(jīng)極大的二極管關斷電阻，相當于開路。電感的微分方程為：

圖1 RL測試電路Fig.1 RL test circuit

應用梯形積分法寫成如下離散化的形式：

如果二極管在 t0+Δt時刻關斷，電流 i（t0+Δt）=0，那么t0+Δt與t0+2Δt時刻的關系式如下：

即 uL（t0+2Δt）=-uL（t0+Δt），因此這就會產(chǎn)生一個持續(xù)的電感電壓的數(shù)值振蕩。

1.2 數(shù)值振蕩問題的仿真再現(xiàn)

在PSCAD／EMTDC中搭建如圖1所示的RL測試電路，取交流電壓有效值為100 V，電阻R為1 Ω，電感L為0.1 H。仿真步長和畫圖步長均為20 μs，總仿真時長為0.16 s。本文所畫波形均以標幺值顯示，電壓基準值為150 V，電流基準值為10 A。

本文所用的仿真平臺為PSCAD／EMTDC的V4.0版本，通過對其內(nèi)置仿真數(shù)值振蕩抑制功能的投／退進行設置，關閉該功能進行仿真，即可對數(shù)值振蕩的表象進行復現(xiàn)。

如圖2所示，電感電壓uL在電感電流iL過零點處出現(xiàn)了振蕩的現(xiàn)象。正如前文對數(shù)值振蕩實質的分析所示，交流電流的過零變化會導致二極管的導通與關斷，整個電路的拓撲結構也隨之變化，而此時的電路中儲能元件的狀態(tài)變量是不能突變的，從而引起了非狀態(tài)變量的振蕩。

圖2 發(fā)生數(shù)值振蕩時的電感電壓uL和電感電流iLFig.2 Waveforms of uLand iLwhen numerical oscillation occurs

2 抑制數(shù)值振蕩的方法

2.1 已有的解決方法

后退歐拉法計算某一時刻的狀態(tài)無需用到上一時刻的非狀態(tài)變量，從根本上避免了非狀態(tài)變量具有傳遞性和對稱性的數(shù)值振蕩問題。在暫態(tài)仿真計算中一般與其他積分方法結合使用。如在網(wǎng)絡突變的開始幾個步長使用后退歐拉法，然后再用梯形積分法進行積分。這樣做一定程度上抑制了數(shù)值振蕩，但是后退歐拉法精度不高，積分方法的相互切換會使編程復雜，切換時刻的尋找判斷更會造成多余的計算負擔，影響仿真速度。文獻［11］提出的CDA技術就是通過在間斷點改用2個半步長的后退歐拉法解決數(shù)值振蕩問題，仿真軟件NETOMAC就是采用這種方式［12］。

也有文獻提出將網(wǎng)絡結構變化之后的非狀態(tài)變量準確求解，以此來達到抑制振蕩的目的，但此方法帶來的計算量過大，并不適用于仿真規(guī)模較大的實際系統(tǒng)［5］。

PSCAD中對于數(shù)值振蕩的抑制策略是通過其自身的插值功能，在非狀態(tài)變量發(fā)生振蕩時進行半步長回退插值，以此來找到非狀態(tài)變量的真解［10］，如圖3所示。該方法原理簡單，沒有改變積分策略，不會增加太多的計算量，但是其依靠的基礎是插值功能，這也就意味著在沒有插值功能的實時仿真領域，該方法無從談起。此外，當仿真大規(guī)模的實際系統(tǒng)時，插值次數(shù)的累積勢必會拖慢仿真速度，降低仿真效率。

圖3 數(shù)值振蕩被消除時的電感電壓uL和電感電流iLFig.3 Waveforms of uLand iLwhen numerical oscillation is suppressed

2.2 振蕩過程的再分析

仔細觀察圖2可知，數(shù)值振蕩在起初進行近似的等幅振蕩，但隨著振蕩的進行，振蕩的幅值是逐漸衰減的。事實上，數(shù)值振蕩衰減的速度是與二極管關斷電阻的數(shù)值大小直接相關的［10］。為了說明此問題，將RL電路的頻域方程列寫如下：

其中，Es為電源電壓；R為電路電阻；Rd為二極管電阻；L為電路電感?？梢钥吹剑斁W(wǎng)絡拓撲發(fā)生變化，即當二極管由導通變?yōu)殛P斷時，Rd變?yōu)閿鄳B(tài)電阻，一般為10 MΩ，那么可以認為此時的電感電流值近似為 0。結合式（2）、（3）可知，電流值越趨近于 0，那么振蕩的效果將會越明顯，也即振蕩產(chǎn)生的原因轉化為二極管由很小的通態(tài)電阻變?yōu)楹艽蟮臄鄳B(tài)電阻。振蕩發(fā)生之后，盡管電流很小，但是隨著電感上的能量通過電阻慢慢地釋放，數(shù)值振蕩的效果也在逐步衰減，直至二極管承受正向壓降重新導通，數(shù)值振蕩的效果完全消失。

由此受到啟發(fā)，早期用于抑制數(shù)值振蕩的RC阻尼電路恰好可以解決這個問題。通過在二極管兩端并聯(lián)RC阻尼電路，對其進行合適的取值，就可以達到數(shù)值振蕩抑制的效果。

2.3 RC電路的引入

將RC串聯(lián)電路并聯(lián)在二極管兩端，如圖4所示。此時的RL電路的頻域方程將變?yōu)槭剑?）。

圖4 加入RC阻尼電路的RL測試電路Fig.4 RL test circuit with RC damping circuit

其中，Rsnb為阻尼電路的電阻值；Csnb為阻尼電路的電容值。當二極管處于導通狀態(tài)時，由于二極管通態(tài)電阻很小，并聯(lián)的RC電路被短路；當二極管承受反向壓降處于關斷時，并聯(lián)的RC電路相當于給急劇下降的電感電流提供了一個臨時的通路。Rsnb的值遠遠小于二極管斷態(tài)電阻，Csnb的加入更是緩和了電感電壓在電流瞬間下降時的波動，因此，在二極管等開關器件兩端并聯(lián)RC電路是一個值得嘗試并深入研究的解決方向。

3 RC電路的配置及優(yōu)化

3.1 RC電路的初值選取

對于二極管或其他開關器件而言，目前存在多種對其開通或關斷狀態(tài)的仿真建模方法。在對步長要求不高（仿真步長一般大于10 μs）的離線仿真平臺中，開關的建模通常是設置2個不同大小的電阻（二值電阻，即 Ron、Roff），通過對其阻值的切換來仿真開關導通或關斷的狀態(tài)。而在步長相對較小（仿真步長一般小于5 μs）的實時仿真中，考慮計算復雜度、計算精度以及計算效率三者之間的辯證關系，一般不采用二值電阻的方法［13］，普遍采用的是L／C等值開關模型，該方法能提高仿真效率，但儲能元件的引入會產(chǎn)生虛功率損耗的問題。由于開關的具體建模并非本文的研究重點，同時也為了能客觀、清晰地分析RC電路的相關機理，本文選取較為成熟的二值電阻建模手段作為此處二極管開關建模的方法。

由相關文獻可知，在定步長的電磁仿真程序中，無法準確定位二極管等半導體器件的開關時刻會引起仿真中的插值問題。雖然數(shù)值振蕩的產(chǎn)生與插值問題并沒有直接關系，但插值問題的引入勢必會影響數(shù)值振蕩的劇烈程度。為了避免插值問題的引入而產(chǎn)生分析上不必要的工作量，這里通過PSCAD內(nèi)置的二次回插功能來計算開關準確動作的時刻，即所考慮的仿真算例中不存在插值問題的影響。

基于上述分析，本文將針對二極管導通和關斷2個狀態(tài)來對Rsnb、Csnb的取值進行討論。

（1）Rsnb的取值。

基于二值電阻的理論，二極管導通電阻很小，一般取Ron=0.01 Ω；二極管關斷電阻很大，一般取Roff=1 MΩ。顯然，不論二極管處于通斷哪種狀態(tài)，RC阻尼電路都應盡量減少其對二極管造成的影響，即：Rsnb不應過小，以免在二極管導通時分流或者是二極管關斷時通流；Rsnb也不應過大，否則將和Roff的作用類似，以至于削弱暫態(tài)阻尼功能的效果。基于以上分析，這里將Rsnb的初值粗略地取為5 kΩ，恰好處于0.01 Ω和10 MΩ的數(shù)量級之間。

（2）Csnb的取值。

值得一提的是，RC阻尼電路的設計初衷要求其阻尼作用在二極管由導通變?yōu)殛P斷后的1個或幾個仿真步長內(nèi)就要得到充分的體現(xiàn)，有較高的時效性。這說明Csnb的取值將和仿真步長的大小有著直接關系。首先應用梯形積分法來對電感電壓uL進行分析。

受文獻［14］的啟發(fā)，本文嘗試對電路進行變換，將原電路變換為一個電阻和歷史電壓源串聯(lián)的等效電路。

其中，RL為電感的等效電阻；UL_EQ為電感的等效歷史電壓源，其值由上一時刻的電感電壓、電感電流和等效電阻決定。借助式（7）可以將式（6）變形為：

這樣，就得到了由一個受控電壓源和一個等效電阻組成的串聯(lián)電路，即電感支路的戴維南等效電路，具體變形過程如圖5所示。通過變形之后的戴維南等效電路可以清楚地看到，當二極管由導通變?yōu)殛P斷時，如果電流i為零，那么RL不會產(chǎn)生壓降，于是 uL（t+Δt）=-UL_EQ，即uL（t）的相反數(shù)，如此下去，數(shù)值振蕩問題就會產(chǎn)生。阻尼電路的投入，就是使得電路拓撲變化瞬間電流并非真正為0。通過這個非0的電流將電感電壓快速收斂到0。

圖5 電感支路的戴維南變形Fig.5 Thevenin deformation of inductor branch

接下來，對二極管兩端的電壓uD（也是阻尼電路兩端電壓uSNB）進行列式分析，繼續(xù)尋找仿真步長Δt、Csnb以及關斷瞬間電流i三者之間的關系。

其中，RSNB為阻尼電路的等效電阻；USNB_EQ為阻尼電路的等效歷史電壓源，其值由上一時刻的電容電壓、電容電流、阻尼電阻和仿真步長決定。同理，借助式（11）可以將式（10）變形為：

仿照電感支路的戴維南等效變換，依據(jù)式（9）—（12）將阻尼電路與二極管的并聯(lián)電路進行變換，為了分析需要，這里僅考慮二極管反向關斷時的情況，即二極管支路斷開的情況。具體變換過程如圖6所示。

圖6 阻尼電路的戴維南變形Fig.6 Thevenin deformation of damping circuit

由圖6可以看出，在關斷瞬間，二極管兩端的電壓也可等效為一個等效電阻RSNB和一個等效歷史電壓源USNB_EQ的串聯(lián)?？梢园l(fā)現(xiàn)，為了使電流i（t+Δt）不真正為零，RSNB應和Rsnb取同樣數(shù)量級，不應太大，又因為這里討論的仿真情形主要是步長大于10 μs的離線仿真，故這里Csnb的初值粗略地選取為0.02 μF?？梢酝茢啵S著后期優(yōu)化工作的進行，為了體現(xiàn)RC阻尼電路的效果，Csnb值的選取將會向上收斂，因為此時Csnb=0.02 μF的初值是一個近似于開路的保守配置，而為了抑制電感電壓不正常的波動，電容Csnb的值就應該足夠大來抑制其波動。當然，Csnb的取值也不應太大，因為一旦超過一定范圍，阻尼電路就相當于對高頻電流呈現(xiàn)一個短路的狀態(tài)，即使后期加入優(yōu)化算法，也有可能無法收斂到其準確值。

3.2 RC電路的參數(shù)優(yōu)化

在將Rsnb、Csnb的初值大概確定之后，接下來需要做的工作就是將所取得的Rsnb和Csnb的值進行不斷的優(yōu)化，使數(shù)值振蕩抑制的效果滿足要求。

本文的思路是：采用PSCAD中的optimum run優(yōu)化模塊中的Simplex算法，與自定義編寫的用于描述振蕩抑制效果的量化函數(shù)SUM進行結合，由計算機多次迭代，最終得到一組滿足要求的Rsnb、Csnb的值。

3.3 Simplex算法

PSCAD中的optimum run模塊是由A.M.Gole、S.Filizadeh等學者于2005年左右提出并且研發(fā)的［15-16］。該模塊一共包含4種優(yōu)化算法。

（1）Golden Intersection算法，適合于單一實型變量的優(yōu)化，主要用于尋找?guī)缀螆D形上的通常意義的黃金比例，即黃金分割線。而阻尼電路通常是要對Rsnb和Csnb2個實型變量進行優(yōu)化，將黃金分割優(yōu)化算法用在這里顯然是不合適的。

（2）Genetic Algorithm，通常是對實型、整形以及二進制數(shù)一同進行優(yōu)化，是一種適應于隨機優(yōu)化的算法。最早John Holland應用此優(yōu)化算法對染色體的分裂繁殖進行研究，就其中的染色體交叉組合以及基因變異等問題能有效地求解其解的巨大空間。顯然，Genetic Algorithm用在RC阻尼電路的優(yōu)化也是不合適的。

（3）Hooke-Jeeves，適用于多個實型變量的優(yōu)化配置，但是收斂速度一般，需要較多次的迭代。

（4）Simplex，適用于多個變量的迭代，該方法沿可視化固體的多面體邊緣進行迭代，尋求最優(yōu)解。該方法收斂速度快，迭代次數(shù)較Hooke-Jeeves少，故選其作為RC阻尼電路參數(shù)優(yōu)化配置的主要優(yōu)化算法。

應用optimum run中的Simplex算法進行RC阻尼電路的優(yōu)化配置。迭代求解Rsnb和Csnb的最優(yōu)配置的邏輯流程如圖7所示。

圖7 RC阻尼電路的優(yōu)化流程圖Fig.7 Flowchart of RC damping circuit optimization

3.4 量化函數(shù)SUM

量化函數(shù)SUM反映不同Rsnb、Csnb值下數(shù)值振蕩抑制的效果，也是Simplex算法優(yōu)化Rsnb、Csnb的依據(jù)。因此，量化函數(shù)是否合理、準確，將直接影響到Rsnb、Csnb的優(yōu)化是否收斂、高效。

從圖2可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)值振蕩的表現(xiàn)主要是在電流過零點之后電感電壓出現(xiàn)的等幅振蕩，即電感電壓的波動直接反映了數(shù)值振蕩的程度。因此，設計如下的量化函數(shù)：

其中，假設數(shù)值振蕩持續(xù)了nΔt的時間。

經(jīng)過實際驗證發(fā)現(xiàn)，直接對電感電壓取絕對值求和的方法雖然簡單，但所得Simplex優(yōu)化效果并不明顯，優(yōu)化速度慢，有時甚至會出現(xiàn)不收斂的情況?；诖耍瑢α炕瘮?shù)改進如下：

確定了量化函數(shù)，接下來要做的就是將其和optimum run模塊結合起來，有機地嵌入仿真電路中，通過測量變化的SUM值不斷地更新Rsnb、Csnb的值，迭代優(yōu)化得到其最優(yōu)解。本文設計了由Fortran語言編寫的自定義模塊，能夠自動檢測電感電流過零點時刻的變化，準確地記錄下數(shù)值振蕩發(fā)生時刻所有電感電壓出現(xiàn)不正常波動的點，具體程序流程如圖8所示。

圖8 量化函數(shù)SUM的功能流程圖Fig.8 Flowchart of SUM function

4 不同步長下的優(yōu)化算例

4.1 小步長下的優(yōu)化仿真

設計如圖4所示的帶有RC阻尼電路的RL測試電路，元件參數(shù)與圖1所示電路一致，仿真步長和畫圖步長均為20 μs，總仿真時間為0.16 s。Rsnb的初值選取為 5 kΩ，Csnb的初值選取為 0.02 μF。

為了體現(xiàn)Simplex優(yōu)化算法的效果，這里將呈現(xiàn)出Rsnb、Csnb未經(jīng)優(yōu)化的數(shù)值振蕩抑制效果和Rsnb、Csnb經(jīng)過優(yōu)化的數(shù)值振蕩優(yōu)化效果，分別如圖9和圖10所示。 優(yōu)化后的Rsnb為 10.24 kΩ，Csnb為 19.83 mF，SUM函數(shù)的值為16.5。

圖9 發(fā)生數(shù)值振蕩時的電感電壓uL和電感電流 iL（Rsnb、Csnb未經(jīng)優(yōu)化，Δt=20 μs）Fig.9 Waveforms of uLand iLwhen numerical oscillation occurs（initial Rsnband Csnb，Δt=20 μs）

圖10 發(fā)生數(shù)值振蕩時的電感電壓uL和電感電流 iL（Rsnb、Csnb經(jīng)過優(yōu)化，Δt=20 μs）Fig.10 Waveforms of uLand iLwhen numerical oscillation occurs（optimizational Rsnb and Csnb，Δt=20 μs）

4.2 大步長下的優(yōu)化仿真

取仿真步長和畫圖步長均為80 μs，同樣分別進行 Rsnb、Csnb未經(jīng)優(yōu)化的振蕩仿真和 Rsnb、Csnb經(jīng)過優(yōu)化的振蕩仿真，具體波形分別如圖11和圖12所示。優(yōu)化后的 Rsnb為 5.01 kΩ，Csnb為 20.39 μF，SUM 函數(shù)的值為60。

圖11 發(fā)生數(shù)值振蕩時的電感電壓uL和電感電流 iL（Rsnb、Csnb未經(jīng)優(yōu)化，Δt=80 μs）Fig.11 Waveforms of uLand iLwhen numerical oscillation occurs（initial Rsnband Csnb，Δt=80 μs）

圖12 發(fā)生數(shù)值振蕩時的電感電壓uL和電感電流 iL（Rsnb、Csnb經(jīng)過優(yōu)化，Δt=80 μs）Fig.12 Waveforms of uLand iLwhen numerical oscillation occurs（optimizational Rsnband Csnb，Δt=80 μs）

5 優(yōu)化結果數(shù)據(jù)分析

為了更加清晰地觀察RC阻尼電路對數(shù)值振蕩抑制的效果，更加直觀地對比不同步長下、不同Rsnb和Csnb取值下的抑制效果的優(yōu)劣，將先前所有關于RL電路的仿真結果進行匯總，結果如表1所示。表1中，算例1和算例2均投入RC阻尼電路來對數(shù)值振蕩進行抑制且均未啟用PSCAD自帶振蕩抑制功能，區(qū)別在于算例1中Rsnb和Csnb未經(jīng)優(yōu)化，算例2中Rsnb和Csnb經(jīng)過優(yōu)化；算例3和算例4均不投入RC阻尼電路，區(qū)別在于算例3未啟用PSCAD自帶振蕩抑制功能而算例4啟用了該功能，故不涉及RC優(yōu)化的問題。

表1 不同情況下的RC阻尼電路對數(shù)值振蕩的抑制效果比較Table 1 Comparison of numerical oscillation depression effect by RC circuit among different conditions

在步長不變的情況下，通過對比算例1、算例2、算例3和算例4的量化函數(shù)可知，當關閉PSCAD內(nèi)部自帶的插值功能后，數(shù)值振蕩的確發(fā)生了，RC阻尼電路的引入也確實起到了一定的抑制效果。進一步對比算例1和算例2的具體數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，通過optimum run模塊，運用Simplex優(yōu)化算法對Rsnb、Csnb的具體取值進行優(yōu)化，量化函數(shù)SUM的值有了明顯降低，即數(shù)值振蕩抑制的效果得到了大幅度的優(yōu)化。

通過對比算例3在2個不同仿真步長下的結果，可以發(fā)現(xiàn)，對應著20 μs步長的仿真量化函數(shù)值SUM20比對應著80 μs仿真步長的量化函數(shù)值SUM80增加了46.7%，但SUM20對應點的個數(shù)n20是SUM80對應點的個數(shù)n80的4倍，這說明對應著20 μs步長的每個仿真節(jié)點的電感電壓要遠小于對應著80 μs步長的每個仿真節(jié)點的電感電壓，即隨著仿真步長的減小，數(shù)值振蕩的劇烈程度是顯著下降的。再進一步觀察算例2和算例3的仿真結果可以發(fā)現(xiàn)：當Rsnb、Csnb的值經(jīng)過優(yōu)化之后，量化函數(shù)的值SUM20甚至比SUM80還要小。這說明仿真步長的減小，可以進一步提升RC阻尼電路對于數(shù)值振蕩的優(yōu)化效果。

6 結論

數(shù)值振蕩是電磁暫態(tài)仿真中一個較為普遍的問題，本文從機理上分析了無插值功能仿真平臺中數(shù)值振蕩問題的本質，針對RC阻尼電路抑制數(shù)值振蕩時初值問題選取和參數(shù)優(yōu)化問題展開了研究，得到如下結論：

（1）應用梯形積分法則對儲能元件L以及RC電路進行戴維南等效變換，通過分析仿真步長Δt，開關二值電阻Ron、Roff以及阻尼電路參數(shù)之間的數(shù)值關系，設計了阻尼電路參數(shù)的初值；

（2）采用Simplex算法與本文提出的量化函數(shù)相結合，對Rsnb、Csnb的取值進行了進一步優(yōu)化；

（3）在PSCAD中搭建RL測試電路，進行了多工況的測試，驗證了經(jīng)過優(yōu)化的RC阻尼電路對數(shù)值振蕩抑制的有效性，為阻尼電路的進一步研究奠定了基礎；

（4）仿真發(fā)現(xiàn)，數(shù)值振蕩現(xiàn)象與仿真步長有著緊密的關系，在小步長的情況下，RC電路對數(shù)值振蕩抑制的效果會更加理想，這也為解決實時仿真中數(shù)值振蕩問題提供了一個可行、可靠的新途徑。

參考文獻：

［1］MAHSEREDJIAN J，LEFEBVRE S，MUKHEDKAR D．Power converter simulation module connected to EMTP ［J］．IEEE Transactions on Power Systems，1991，2（6）：501-510．

［2］劉文焯，湯涌，侯俊賢，等．考慮任意重事件發(fā)生的多步變步長電磁暫態(tài)仿真算法［J］. 中國電機工程學報，2009，29（34）：9-15．LIU Wenzhuo，TANG Yong，HOU Junxian，et al．Simulation algorithm for multi variable-step electromagnetic transient considering multiple events［J］．Proceedings of the CSEE，2009，29（34）：9-15．

［3］張瑛，王勝輝，袁宏．電力系統(tǒng)仿真計算中的數(shù)值振蕩問題［J］.東北電力技術，1999（4）：11-13．ZHANG Ying，WANG Shenghui，YUAN Hong．Numerical oscillation in power system simulation［J］．Northeast Electric Power Technology，1999（4）：11-13．

［4］王成山，李鵬，黃碧斌，等．一種計及多重開關的電力電子時域仿真插值算法［J］. 中國電機工程學報，2010，25（6）：83-88．WANG Chengshan，LI Peng，HUANG Bibin，et al． An interpolation algorithm fortime-domain simulation ofpower electronics circuit considering multiple switching events ［J］．Proceedings of the CSEE，2010，25（6）：83-88．

［5］王毅，劉百芬，章華，等．消除電力系統(tǒng)故障仿真中數(shù)值振蕩的方法研究［J］．華東交通大學學報，2007，24（5）：128-130．WANG Yi，LIU Baifen，ZHANG Hua，et al．Study of eliminating numerical oscillations in power system simulation［J］．Journal of East China Jiaotong University，2007，24（5）：128-130．

［6］魏亮，王渝紅，李興源，等．高壓直流輸電送端孤島運行附加頻率控制器設計［J］．電力自動化設備，2016，36（1）：143-148．WEI Liang，WANG Yuhong，LI Xingyuan，etal．Progresses on algorithm ofelectromagnetic transientsimulation forelectric power system［J］．Electric Power Automation Equipment，2016，36（1）：143-148．

［7］楊光亮，邰能靈，鄭曉冬，等．多饋入直流輸電系統(tǒng)諧波交互影響分析［J］．電力自動化設備，2016，36（1）：105-110．YANG Guangliang，TAI Nengling，ZHENG Xiaodong，et al．Harmonic interaction analysis for multi-infeed HVDC system［J］．Electric Power Automation Equipment，2016，36（1）：105-110．

［8］江斌開，王志新，陸斌鋒，等．基于P-DPC的多端直流輸電控制策略［J］．電力自動化設備，2016，36（2）：11-16．JIANG Binkai，WANG Zhixin，LU Binfeng，et al．MTDC converter control based on P-DPC［J］．Electric Power Automation Equipment，2016，36（2）：11-16．

［9］商瑩，于玉銘，鄒振宇，等．非線性電路暫態(tài)仿真中消除數(shù)值振蕩的改進方法［J］．電力系統(tǒng)保護與控制，2011，39（7）：142-146．SHANG Ying，YU Yuming，ZOU Zhenyu，etal．Anadvanced method of non-linear circuit eliminating numerical oscillations in electromagnetic transient simulation［J］．Power System Protection and Control，2011，39（7）：142-146．

［10］WATSON N，ARRILLAGA J．Power systems elctromagnetic transients simulation［M］．London，UK：IET Press，2003：221-230．

［11］MARTI J R，LIN Jiming．Suppression of numerical oscillation in the EMTP［J］．IEEE Transactions on Power Systems，1989，4（2）：739-747．

［12］張益，周群．電力系統(tǒng)數(shù)字仿真中的數(shù)值振蕩及對策［J］．上海交通大學學報，1999，33（12）：1545-1549．ZHANG Yi，ZHOU Qun．Numerical oscillation and its countermeasures in power system simulation［J］．Journal of Shanghai Jiaotong University，1999，33（12）：128-130.

［13］穆清，周孝信，王祥旭，等．面向實時仿真的小步長開關誤差分析和參數(shù)設置［J］. 中國電機工程學報，2013，33（31）：121-129．MU Qing，ZHOU Xiaoxin，WANG Xiangxu，et al．Error analysis and parameters of switches in small step simulation for realtime simulation［J］.Proceedings of the CSEE，2013，33（31）：121-129．

［14］許建中，趙成勇，劉文靜．超大規(guī)模 MMC電磁暫態(tài)仿真提速模型［J］．中國電機工程學報，2013，33（10）：114-120．XU Jianzhong，ZHAO Chengyong，LIU Wenjing.Accelerated model of ultra-large scale MMC in electromagnetic transient simulations［J］.Proceedings of the CSEE，2013，33（10）：114-120．

［15］GOLE A M，F(xiàn)ILIZADEH S，MENZIES R W，et al．Optimizationenabled electromagnetic transient simulation［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，2005，20（1）：512-518．

［16］GOLE A M，F(xiàn)ILIZADEH S，WILSON P L.Inclusion of robustness into design using optimization-enabled transient simulation ［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，2005，20（3）：1991-1997．