黃丙遠(yuǎn)（韓山師范學(xué)院　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東　潮州　521041）

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一類非線性偏微分方程的唯一解的證明

黃丙遠(yuǎn)
（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東潮州521041）

摘要：根據(jù)丁-黃-溫在文獻(xiàn)[4]中得到的定理2.1，本文應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)的能量方法及Gronwall不等式證明了此強(qiáng)解的唯一性，補(bǔ)充了文獻(xiàn)[4]關(guān)于解的唯一性的證明.

關(guān)鍵詞：流體與粒子相互作用模型；強(qiáng)解；唯一性

1　引言

本文考慮一類在冒泡范疇內(nèi)的流體與粒子相互作用模型，關(guān)于此模型的物理背景及其數(shù)學(xué)研究可見文獻(xiàn)[1-4],具體如下：

但是，文獻(xiàn)[4]沒有給出唯一性的證明，故筆者在本文中將證明此強(qiáng)解的唯一性.這一方法是證明微分方程的解的唯一性的典型方法，希望對讀者有所幫助.

為了方便閱讀，全文作了記號(見文獻(xiàn)[4]):

2　唯一性

方程(5)2乘以在R3上關(guān)于x積分，利用分部積分法，得

由u2的正則性(4)及不等式，取ε適當(dāng)小，可推出

方程(5)1乘以，在R3上關(guān)于x積分，由ρ1,ρ2的正則性(4)及Cauchy不等式，得

方程(5)1乘以，類似地可得，上式乘以根據(jù)u1,u2的正則性(4)及Cauchy不等式，得

方程(5)3乘以，在R3上關(guān)于x積分，由H?lder不等式及Cauchy不等式，得

把上式(7)-(10)相加，取ε適當(dāng)小，即

應(yīng)用Gronwall不等式(見文獻(xiàn)[5]的附錄B)及初值條件得對于t∈(0,T).因此，存在一些有限時(shí)間0＜T＜∞，對于t∈(0,T)，滿足ρ1=ρ2,u1=u2,η1=η2.也就是，問題(1)-(3)在R3×(0,T)中有唯一的強(qiáng)解且滿足正則性(4).

參考文獻(xiàn)：

〔1〕J.A. Carrillo, T. Goudon, Stability and asymptotic analysis of a fluid-particle interaction model [J]. Commun. Partial Differ. Equ, 2006, 31: 1349-1379.

〔2〕D.Y. Fang, R.Z. Zi, T. Zhang, Global classical large solutions to a 1D fluid particle interaction model: The bubbling regime[J], J. Math. Phys, 2012, 53.

〔3〕J. Ballew, Mathematical Topics in Fluid Particle Interaction, PH.D dissertation[J], University of Maryland, 2014.

〔4〕S.J. Ding, B.Y. Huang, H.Y. Wen, Local classical solutions of compressible Navier Stokes Smoluchowski equations with vacuum [J]. Discrete Contin. Dyn. Syst. B, 2016.(將發(fā)表)

〔5〕L C EVANS, Partial Diferential Equations [M]．Rhode Island：Amer Math Soc Providence，1998.

基金項(xiàng)目：廣東省教育廳青年創(chuàng)新人類類項(xiàng)目（2015KQNCX095），韓山師范學(xué)院重點(diǎn)課題（LZ201403）

收稿日期：2015-12-25

中圖分類號：0175.4

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-260X（2016）04-0001-02