曲寶龍，王麗芳

(1. 長江大學 化學與環(huán)境工程學院，湖北 荊州 434023; 2. 寧波理文知識產(chǎn)權代理事務所，浙江 寧波 315100)

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兩相復合材料等效介電常數(shù)數(shù)值計算*

曲寶龍1，王麗芳2

(1. 長江大學 化學與環(huán)境工程學院，湖北 荊州 434023; 2. 寧波理文知識產(chǎn)權代理事務所，浙江 寧波 315100)

摘要：為精確計算復合材料等效介電常數(shù)，采用隨機分布模型，在對材料電性能本構方程研究的基礎上，設計了兩相復合材料等效介電常數(shù)計算的體積加權平均算法(VWAM)。研究結果表明，所設計的算法計算結果穩(wěn)定性較高。在復合材料組成相介電常數(shù)比值小于10時，數(shù)值計算結果與理論和實驗結果吻合度非常高。在其比值大于10時，所設計的算法適用于高介電常數(shù)組成相體積分數(shù)較高情況。研究方法有望應用于多相復合材料的相關等效電磁參數(shù)計算。研究結果為復合材料設計提供參考。

關鍵詞：復合材料；介電常數(shù)；數(shù)值計算；有限元法

1引言

單一均勻材料在工程上應用十分有限，工程上使用的絕大多數(shù)材料往往是由多種介電性能不同的成分組成的復合材料，如含有添加劑的塑料或橡膠、含有結晶相或玻璃相的陶瓷，以及含有氣隙、水分或雜質(zhì)的復合材料[1]。復合材料的等效介電性能，依賴于組成相的介電常數(shù)、體積分數(shù)、晶粒的形狀和空間分布[2]。針對這種情況，國內(nèi)外學者提出了多種理論和方法進行相應的建模與計算，比較著名的有Bruggeman模型[3-5]，Jayasundere和Simth對其修正后的模型[6-8]，以及Maxwell-Garnett模型[9-10]。

在復合材料等效介電常數(shù)數(shù)值計算方面，研究者們應用有限元法作了大量研究工作[11-13]，結果表明，利用有限元法在計算中可以充分考慮分散相所占的比例、形狀、分布狀態(tài)對計算結果的影響。但這些研究方法或多或少都存在計算復雜、計算規(guī)模龐大或精度低的缺點。

本文采用有限元法，以兩相復合材料為研究對象，提出一種新的基于體積加權平均方法的復合材料等效介電常數(shù)計算，該方法具有簡單直接、計算規(guī)模小、精度高的特點，并適合擴展到多相復合材料的相關等效電磁參數(shù)計算。

2體積加權平均法

對于電介質(zhì)，在外加電場E的作用下，引起電通密度D的響應，二者之間存在如下本構方程

(1)式中，ε0為真空介電常數(shù)，數(shù)值為8.85e-12F/m；εr為電介質(zhì)相對介電常數(shù)。

對于各向同性簡單電介質(zhì)材料，該本構方程可寫為

(2)對于各向異性簡單電介質(zhì)材料，該本構方程可寫為

(3)對于構成復合材料的兩相電介質(zhì)，其電磁響應關系應符合體積加權平均原理，即復合材料總電磁響應等于兩相電介質(zhì)材料對復合材料體積貢獻之和。從有限元的角度來說，即總電磁響應等于各個單元對整體體積貢獻之和。

以復合材料z向等效介電常數(shù)計算為例。在復合材料z向施加外部激勵，根據(jù)計算可得到每個單元上的單元電場強度和單元電通密度。根據(jù)體積加權平均原理，對于復合材料整體來說，z向的平均電場強度應為各個單元的單元電場強度對復合材料整體的體積貢獻率之和。同理，復合材料平均電通密度也符合體積加權原理。二者的計算方法可由式(4)和(5)簡單描述

(4)

(5)

根據(jù)本構方程(3)，復合材料z向等效相對介電常數(shù)可寫為

(6)

分別提取復合材料各個單元的單元體積、單元電場強度，將二者相乘求和后除以總體積就可求得電場強度的體積加權平均值。同樣的方法可以求出電通密度的體積加權平均值，根據(jù)式(6)，即可求解出復合材料z向的等效相對介電常數(shù)εrzzeff。同理，可求出x向和y向的相對介電常數(shù)εrxxeff和εryxeff。

3數(shù)值模型

復合材料等效電磁參數(shù)計算數(shù)值模型有很多種，如N-N型(N=0,1,2,3)、彌散體型及隨機分布型等，這些模型應用場合不同，計算精度也不同。本文建立10×10×10大小的隨機分布模型，具有計算精度高、數(shù)值結果穩(wěn)定的優(yōu)點。

復合材料幾何模型的長、寬、高均由10個小立方體構成，小立方體的邊長為1 mm。建模時，首先賦予這些結構全部為連續(xù)相電磁參數(shù)。之后建立隨機數(shù)組，使之大小與分散相體積分數(shù)相當，再按隨機數(shù)組在幾何模型中選出相應部分立方體，將之轉(zhuǎn)化為分散相。從而得到由連續(xù)相和分散相構成的兩相復合材料的幾何模型。圖1所示為按不同體積分數(shù)建立的復合材料結構，圖中，f2表示連續(xù)相體積分數(shù)。

圖1　不同體積分數(shù)的復合材料結構

Fig 1 Composites structure with different volume fraction

為與相關研究實驗結果進行對比，連續(xù)相相對介電常數(shù)設為ε2=4.2，分散相ε1=1。為幾何模型劃分網(wǎng)格，單元種子大小設為0.5 mm。網(wǎng)格劃分后，總單元數(shù)為8 000，總節(jié)點數(shù)為9 261。

設復合材料中的兩相材料為均勻介質(zhì)，且任一計算單元中均沒有自由電荷，則每一單元的電勢應滿足Laplace方程，即Δφ=0。則對于任一單元來說，其載荷和邊界條件均可由圖2表示。圖2中，該單元的前后表面承受了大小為φi+1-φi的電勢差，在4個側(cè)面上不存在電場的法向分量, 即?φ/?n=0, 滿足場域中的第二類邊界條件。

圖2　邊界條件及載荷

4結果與討論

為簡化計算，設復合材料的兩相材料為各向同性材料，即各方向介電常數(shù)相等。

4.1數(shù)值結果穩(wěn)定性

數(shù)值計算采用隨機分布模型，即使對于相同體積分數(shù)的兩相復合材料，任何兩次生成的模型其兩相分布也不相同。為準確計算復合材料等效介電常數(shù)，對每種組成結構計算10次，取其平均值作為最終結果。

表1所示為選取不同連續(xù)相含量不同實驗計算結果。根據(jù)計算結果，當連續(xù)相體積分數(shù)為50%時，結果偏差最大，為1.36%。由此可見，采用體積加權平均法計算復合材料等效介電常數(shù)，結果穩(wěn)定性是非常高的。

表1不同隨機分布模型計算結果

Table 1 Calculation results of the differentradom distribution model

實驗序號連續(xù)相體積分數(shù)f210%30%50%70%90%11.21831.74862.39403.07663.817621.21171.76412.39923.07013.820031.20961.74222.37543.07213.817741.21161.75252.37843.08773.819551.21581.74712.37323.08773.814161.21471.74402.34573.08833.826871.21591.75832.37123.08853.812681.21511.73742.38213.06833.830291.21621.75102.37363.06163.8217101.22231.74622.38883.07863.8176平均值1.21511.75112.37813.07793.8197最大偏差0.59%0.86%1.36%0.53%0.27%

當連續(xù)相體積分數(shù)為50%時，分散相與連續(xù)相體積相當，在不同隨機生成的模型中，可能會出現(xiàn)某個單元孤立的情況，即該單元周圍所有單元均為另一相材料，這與實際材料中的連續(xù)相構成不符合，導致計算結果偏差較大。對于連續(xù)相體積分數(shù)較高情況，連續(xù)相容易形成相互連接情況。反之，連續(xù)相體積分數(shù)較低，則分散相體積分數(shù)較高，分散相本身相互連接，可視為連續(xù)相。所以這兩種情況，與實際材料結構相接近，計算精度較高。

4.2數(shù)值結果準確性

為驗證所設計算法的準確性，根據(jù)體積加權平均法數(shù)值結果(VWAM)，根據(jù)Bruggeman模型、Jayasundere和Simth對其修正后的模型(J-S)和Maxwell-Garnett模型(M-G)的理論計算公式[3-10]，計算不同體積分數(shù)復合材料等效介電常數(shù)。根據(jù)圖3可以看出，當連續(xù)相體積分數(shù)f2較小時，3種理論結果比較接近，數(shù)值計算結果與3種理論吻合程度較好。當連續(xù)相體積分數(shù)較大或適中時，數(shù)值計算結果介于Bruggeman模型和J-S模型之間，但與M-G模型相差較大。

對于這3種模型來說，M-G模型主要針對二元復合材料，且連續(xù)相含量較少時才成立。連續(xù)相含量增加，會逐漸形成拓撲微結構，此時，M-G模型得到的值會偏小。而Bruggeman方程的適用性則稍好一些。J-S模型是考慮了連續(xù)相各部分之間相互作用而進行的修正。所以，數(shù)值計算結果在連續(xù)相含量較小時與3種理論吻合較好，而在含量較高時偏離M-G模型，與Bruggeman模型和J-S模型接近，這種變化趨勢是正確的。圖3結果證明了數(shù)值計算結果具有較高可靠性。

圖3　計算結果與理論結果對比(ε2=4.2，ε1=1)

Fig 3 Comparison of the calculation with the theory(ε2=4.2，ε1=1)

文獻[14]制備了連續(xù)相為SiO2(ε2=4.2)、分散相為空氣(ε1=1)的氣凝膠，測得當空氣體積分數(shù)為55%時，等效介電常數(shù)為2.2；當空氣體積分數(shù)為70%時，等效介電常數(shù)值為1.8。采用體積加權平均法，對該兩種情況進行數(shù)值計算，計算結果分別為2.2061和1.7455。由此可見，所設計的計算方法，計算精度是很高的。

4.3連續(xù)相介電常數(shù)對等效介電常數(shù)的影響

構成復合材料的兩相材料其介電常數(shù)可以相近，也有可能相差較大，所以有必要研究不同大小介電常數(shù)對其等效介電常數(shù)的影響，以及數(shù)值計算與理論結果的偏差。圖4為不同連續(xù)相介電常數(shù)計算結果與理論結果對比(ε1=1)。

圖4不同連續(xù)相介電常數(shù)計算結果與理論結果對比(ε1=1)

Fig 4 Comparison of the calculation with the theory forε2(ε1=1)

綜合圖3和4結果可以看出，(1) 在連續(xù)相體積分數(shù)較低時，3種理論計算結果和數(shù)值計算結果吻合比較好；(2) 當兩相介電常數(shù)比較接近時，例如比值小于10，Bruggeman模型和J-S模型結果比較接近，但J-S結果稍高一些。數(shù)值計算結果與這兩個模型吻合較好；(3) 當兩相介電常數(shù)比例增大至10倍以上時，Bruggeman模型結果偏高，且隨著比例增加逐漸增大與J-S模型之間的差別。數(shù)值計算結果高于3種模型計算結果，與Bruggeman模型計算結果接近。且當連續(xù)相體積分數(shù)>70%時，吻合程度較好。根據(jù)表2數(shù)據(jù)，連續(xù)相體積分數(shù)達到90%時，即使復合材料兩相介電常數(shù)比達到100倍，最大偏差也僅為2.53%。所以設計的體積加權平均法尤其適用于連續(xù)相含量較高情況。

表2　不同介電組成的數(shù)值結果與Bruggeman模型結果偏差

4.4體積分數(shù)對等效介電常數(shù)的影響

影響復合材料等效介電常數(shù)的因素還包括兩相的體積分數(shù)。根據(jù)體積加權平均法計算不同連續(xù)相介電常數(shù)不同體積分數(shù)的復合材料等效介電常數(shù)。

根據(jù)圖5可以看出，隨連續(xù)相介電常數(shù)增加，復合材料等效介電常數(shù)也增加，但不同體積分數(shù)的增幅不同。當連續(xù)相體積分數(shù)為10%時，即使連續(xù)相的介電常數(shù)達到10，復合材料等效介電常數(shù)也僅增加到1.4227。而相同條件下，當體積分數(shù)為70%時，復合材料等效介電常數(shù)為6.7197。

圖5體積分數(shù)對復合材料等效介電常數(shù)的影響(ε1=1)

Fig 5 Effect of volume fraction for the effective permittivity of composites(ε1=1)

所以，對于兩相復合材料來說，只有當介電常數(shù)較高的組成相，其體積分數(shù)達到一定比例，兩相復合材料的介電性能才有意義。否則，在低體積分數(shù)下，單純的選用介電常數(shù)高的組成相對復合材料等效介電常數(shù)的增加意義不大。

5結論

在對材料電性能本構方程研究的基礎上，采用隨機分布模型，設計了兩相復合材料等效介電常數(shù)計算的體積加權平均算法，該方法原理清晰、計算規(guī)模小、精度較高。計算結果表明：

(1)應用隨機分布模型的體積加權平均法，其計算結果具有較好的穩(wěn)定性。

(2)當兩相復合材料組成相介電常數(shù)之比小于10時，數(shù)值結果與理論結果吻合程度較高，與實驗結果吻合程度也比較高。當其比值大于10時，高介電常數(shù)組成相體積分數(shù)較高時，與理論結果吻合較好。

(3)對于兩相復合材料來說，高介電常數(shù)的組成相，其體積分數(shù)應達到一定值，兩相復合材料的介電性能才有意義。

研究方法目前主要針對兩相復合材料的等效介電常數(shù)計算，后續(xù)研究有望擴展至多相復合材料的相關等效電磁參數(shù)計算，如復磁導率、復介電常數(shù)及電導率等。

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Numerical simulation for effective permittivity of two-phase composites

QU Baolong1, WANG Lifang2

(1. College of Chemistry and Environmental Engineering of Yangtze University, Jingzhou 434023, China;2. Raymond IP Agency Firm, Ningbo 315100, China)

Abstract:To precisely calculate the effective permittivity of composites, with the random distribution model, base on the electricity constitutive equation, the volumetrically weighted average method (VWAM) was designed and realized for the calculation of the effective permittivity of two-phase composites. The results show that, the numerial calculation results of the designed algorithm has a high stability. The numerical results coincide with theoretical and experimental results when the permittivity ratio of two-phase was less than 10. When the ratio was more than 10, the designed algorithm was suitable for the situation that the volume fraction of the high permittivity phase was higher. The research method will suitable for the calculation of effective electromagnetic parameters for the multiphase composites. The research results provide the reference for composites design.

Key words:composites; permittivity; numerical simulation; finite element method

DOI:10.3969/j.issn.1001-9731.2016.01.035

文獻標識碼：A

中圖分類號：TB332;O441.4

作者簡介：曲寶龍(1978-)，男，吉林農(nóng)安人，講師，博士，主要從事材料內(nèi)電磁場效應數(shù)值模擬研究。

基金項目：國家自然科學基金資助項目(50271016,50571042)

文章編號：1001-9731(2016)01-01172-05

收到初稿日期：2015-01-28 收到修改稿日期：2015-09-17 通訊作者：曲寶龍，E-mail: qubaolong_78@163.com