李向軍 劉成林 劉飛

摘要：針對(duì)由一階自主體和二階自主體構(gòu)成的異構(gòu)多自主體系統(tǒng)的靜態(tài)群一致性問(wèn)題，分別提出了在固定連接拓?fù)浜颓袚Q連接拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的靜態(tài)群一致性算法。通過(guò)構(gòu)造LyapunovKrasovskii 函數(shù)，得到了系統(tǒng)在具有相同時(shí)變通信時(shí)延的群一致性算法作用下漸近收斂群一致的充分條件，并以線(xiàn)性矩陣不等式表示。最后，仿真結(jié)果表明， 所提算法在滿(mǎn)足一定條件下能使時(shí)延異構(gòu)多自主體系統(tǒng)漸近收斂群一致。

關(guān)鍵詞：異構(gòu)多自主體系統(tǒng)；群一致性；時(shí)變通信時(shí)延；切換拓?fù)?/p>

中圖分類(lèi)號(hào)：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：Concerning the stationary group consensus problem for the heterogeneous multiAgent systems， which are composed of firstorder Agents and secondorder Agents， two stationary group consensus protocols were proposed under fixed interconnection topology and switching interconnection topologies respectively. By constructing LyapunovKrasovskii functions， the sufficient conditions， which are formulated as linear matrix inequalities， were obtained for the system converging to the group consensus asymptotically under the group consensus algorithm with identical timevarying communication delay. Finally， the simulation results show that the heterogeneous multiAgent systems with time delay converg to the group consensus asymptotically under certain conditions.

Key words：heterogeneous multiAgent systems； group consensus； timevarying communication delay； switching topologies

0 引言

近年來(lái)，由于在多無(wú)人機(jī)/無(wú)人車(chē)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)編隊(duì)、傳感器網(wǎng)絡(luò)的時(shí)鐘同步、衛(wèi)星姿態(tài)協(xié)調(diào)同步等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，多自主體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題引起了眾多領(lǐng)域?qū)W者的深入研究，包括物理學(xué)、計(jì)算機(jī)學(xué)科、自動(dòng)控制學(xué)科等。

作為多自主體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制研究中最基本和最主要的問(wèn)題之一，一致性問(wèn)題是指多個(gè)自主體通過(guò)局部協(xié)調(diào)耦合來(lái)實(shí)現(xiàn)所有自主體的狀態(tài)趨于相同。結(jié)合圖論和矩陣論等，文獻(xiàn)[1-4]研究了一階多自主體系統(tǒng)漸近達(dá)到一致的分布式協(xié)調(diào)算法及其收斂條件。利用頻域分析法，Yu等[5]得到了二階多自主體系統(tǒng)在相同輸入時(shí)延（或視為同步匹配通信時(shí)延）約束下實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)一致性收斂的充要條件。文獻(xiàn)[6-7]考察了具有不同通信時(shí)延和輸入時(shí)延的二階多自主體系統(tǒng)在靜態(tài)一致性算法作用下的一致性收斂問(wèn)題，分別利用頻域分析法和Lyapunov函數(shù)法得到了一致性收斂的充分條件。此外，自主體動(dòng)態(tài)為一般線(xiàn)性時(shí)不變模型[8-9]和非線(xiàn)性模型[10-11]的多自主體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題也得到了廣泛關(guān)注，利用圖論、隨機(jī)矩陣?yán)碚摰确椒ㄍ瓿闪艘恢滦运惴ㄔO(shè)計(jì)與收斂性分析。

現(xiàn)有的一致性問(wèn)題研究主要考察所有自主體最終達(dá)到一個(gè)相同的一致性狀態(tài)，但是環(huán)境、狀況以及合作任務(wù)等改變要求自主體對(duì)未知狀況或變化作出相應(yīng)的反應(yīng)，從而整個(gè)多自主體系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)收斂多個(gè)最終一致?tīng)顟B(tài)，此現(xiàn)象稱(chēng)為群一致性問(wèn)題。群一致性問(wèn)題是指：一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的自主體被劃分為不同的子群，在信息交換同時(shí)存在于群內(nèi)自主體和群間自主體的條件下，同一個(gè)子群的自主體狀態(tài)達(dá)到一致，不同子群的一致性狀態(tài)可以不同[12-16]。利用矩陣?yán)碚摵蚅yapunov穩(wěn)定性理論，Yu等[12]得到了具有固定連接拓?fù)涞囊浑A多自主體系統(tǒng)達(dá)到群平均一致的充分條件，并在文獻(xiàn)[13]中采用雙樹(shù)型變換分析了具有切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的一階多自主體系統(tǒng)在切換拓?fù)湓谕ㄐ艜r(shí)延約束下的群一致性收斂條件。根據(jù)代數(shù)圖論和矩陣?yán)碚?，文獻(xiàn)[15]給出了二階多自主體系統(tǒng)在固定連接拓?fù)湎聺u近達(dá)到群一致的充要條件。Xie等[16]分別用Lyapunov第一法和Hopf分岔法討論了定常時(shí)延對(duì)二階多自主體系統(tǒng)群一致性收斂的影響，并得到了時(shí)延相關(guān)一致性條件。

在實(shí)際的工程應(yīng)用中，由于外界影響或者通信受限，各自主體通常具有不同的動(dòng)態(tài)，所以針對(duì)由不同動(dòng)態(tài)的自主體構(gòu)成的異構(gòu)多自主體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題研究更有實(shí)際意義[17-19]。根據(jù)圓盤(pán)定理和Lyapunov穩(wěn)定性理論，宋運(yùn)忠等[17]給出了混合一階和二階多自主體系統(tǒng)在無(wú)向動(dòng)態(tài)切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下漸近達(dá)到一致的充要條件。Liu等[18]利用非負(fù)矩陣?yán)碚摰玫搅司哂胁煌ㄐ艜r(shí)延的混合一階和二階多自主體系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)切換連接拓?fù)湎乱恢滦允諗康某浞謼l件。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，梁有明等[19]得到了異構(gòu)多自主體系統(tǒng)在具有時(shí)變輸入時(shí)延的一致性算法作用下漸進(jìn)收斂一致的時(shí)延相關(guān)充分條件，并表示為線(xiàn)性矩陣不等式。根據(jù)代數(shù)圖論和Barbalat引理，Hu等[20]討論了由參數(shù)不確定的歐拉拉格朗日系統(tǒng)和二階積分器構(gòu)成的異構(gòu)多自主體系統(tǒng)的群一致性問(wèn)題，并給出了系統(tǒng)漸近收斂群一致的充分條件。

考慮到自主體之間信息交換不可避免地會(huì)產(chǎn)生通信時(shí)延，本文研究了由一階和二階自主體組成的異構(gòu)多自主體系統(tǒng)在時(shí)變通信時(shí)延約束下的群一致性問(wèn)題，并根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論得到了異構(gòu)多自主體系統(tǒng)分別在無(wú)向固定連接拓?fù)浜蜔o(wú)向切換連接拓?fù)湎聺u近收斂群一致的充分條件，所得條件均可轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性矩陣不等式進(jìn)行求解。

與文獻(xiàn)[12]相似，本文作如下假設(shè)：

假設(shè)1[12]各自主體與群間鄰居自主體的連接權(quán)值之和為零。

注1 在本文中，因?yàn)樵试S連接權(quán)值為負(fù)值，所以L(fǎng)aplacian矩陣并不是對(duì)角占優(yōu)矩陣。與現(xiàn)有文獻(xiàn)[1-10]不同，不能保證Laplacian矩陣所有非零特征值均具有正實(shí)部。當(dāng)連接拓?fù)溥B通且每個(gè)子群都連通時(shí)，Yi等[21]給出子群數(shù)目與Laplacian矩陣的關(guān)系，即子群數(shù)目與Laplacian矩陣零特征根的重?cái)?shù)相同。

針對(duì)Laplacian矩陣，本文將用到如下假設(shè)：

假設(shè)2 L有且僅有兩個(gè)零特征值且其余特征值均具有正實(shí)部。

2.2 切換連接拓?fù)?/p>

選取N個(gè)對(duì)應(yīng)不同連接拓?fù)鋱D的時(shí)間段，在每個(gè)時(shí)間段上對(duì)V（t）求導(dǎo)，并利用引理1和引理2進(jìn)行放大，其過(guò)程與定理1的證明過(guò)程類(lèi)似，從略， 因此，若不等式組（13）和不等式（14）成立，則系統(tǒng)（12）漸近穩(wěn)定，即異構(gòu)多自主體系統(tǒng)（11）將漸近收斂至群一致?tīng)顟B(tài)。

注2 若通信時(shí)延τ（t）滿(mǎn)足假設(shè)4，即通信時(shí)延導(dǎo)數(shù)上限大于1或者未知時(shí)，能用和推論1相同的方法得到異構(gòu)多自主體系統(tǒng)在切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下漸近收斂群一致的充分條件。

3 仿真結(jié)果

本章利用MaltabSimulink仿真平臺(tái)，構(gòu)建自主體動(dòng)態(tài)模型、自主體之間連接，以及引入時(shí)變通信時(shí)延，完成時(shí)延異構(gòu)多自主體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題的數(shù)值仿真研究。

例1 固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的群一致性收斂。

考察5個(gè)自主體構(gòu)成的異構(gòu)多自主體系統(tǒng)（4），假設(shè)含有兩個(gè)子群，其中二階自主體1、2、3組成一個(gè)子群，一階自主體4和5組成一個(gè)子群。各自主體的初始狀態(tài)隨機(jī)產(chǎn)生。 連接拓?fù)鋱DG如圖2所示，連接權(quán)值為a12=3，a13=1，a14=-1，a15=1，a24=1，a25=-1，a45=2，則系統(tǒng)的Laplacian矩陣L的特征值為：0，0，1.2984，3，7.7016，進(jìn)而假設(shè)1和2滿(mǎn)足。在群一致性算法（3）中，選擇控制增益為k=1，通信時(shí)延為τ（t）=0.3|sin （t）|，其滿(mǎn)足假設(shè)3，即通信時(shí)延導(dǎo)數(shù)小于1。通過(guò)用Matlab中的線(xiàn)性矩陣不等式工具箱驗(yàn)證，存在正定矩陣P、Q、R、Z滿(mǎn)足線(xiàn)性矩陣不等式（6）和（7），其Simulink仿真結(jié)果如圖3所示。選擇通信時(shí)延：τ（t）=0.3|sin （10t）|，其滿(mǎn)足假設(shè)4，即時(shí)延導(dǎo)數(shù)上限大于1或者未知，其Simulink仿真結(jié)果如圖4所示。

由數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn)：在異構(gòu)多自主體系統(tǒng)漸進(jìn)收斂群一致過(guò)程中，通信時(shí)延導(dǎo)數(shù)的增大將導(dǎo)致各自主體相對(duì)于其一致性狀態(tài)的超調(diào)量增大，這必然會(huì)增加各子群漸近收斂至一致的時(shí)間，但并不影響多自主體系統(tǒng)最終收斂群一致。

例2 切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的群一致性收斂。

假設(shè)異構(gòu)多自主體系統(tǒng)（11）由5個(gè)自主體組成，其含有兩個(gè)子群，其中二階自主體1、2、3組成一個(gè)子群，一階自主體4和5組成一個(gè)子群，且各自主體的初始狀態(tài)隨機(jī)產(chǎn)生。 不失一般性，考慮異構(gòu)多自主體系統(tǒng)（11）的連接拓?fù)湓趫D2和圖5中的G、G1之間周期切換，切換周期T=1s。連接拓?fù)銰1的連接權(quán)值為：a12=3，a13=1，a14=2，a15=-2，a24=-1，a25=1，a34=-1，a35=1，a45=3，則系統(tǒng)的Laplace矩陣L的特征值為：0，0，0.9050，3.4297，9.6653，假設(shè)1和2條件滿(mǎn)足。選擇控制增益k=1，通信時(shí)延選為τ（t）=0.5|sin （t）|，其滿(mǎn)足假設(shè)3，即通信時(shí)延導(dǎo)數(shù)小于1。通過(guò)用Matlab中的線(xiàn)性矩陣不等式工具箱驗(yàn)證，存在正定矩陣P、Q、R、Z滿(mǎn)足線(xiàn)性矩陣不等式組（13）和（14），其Simulink仿真結(jié)果如圖6所示。選擇通信時(shí)延：τ（t）=0.5|sin （10t）|，其滿(mǎn)足假設(shè) 4，即時(shí)延導(dǎo)數(shù)上限大于1或者未知，其Simulink仿真結(jié)果如圖7所示，將切換周期改為T(mén)=0.1s，其Simulink仿真結(jié)果如圖8所示。

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究了由一階自主體和二階自主體構(gòu)成的異構(gòu)多自主體系統(tǒng)的群一致性問(wèn)題。通過(guò)變量代換，異構(gòu)多自主體系統(tǒng)的群一致性問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為等價(jià)誤差系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性問(wèn)題。在假設(shè)各自主體與群間鄰居自主體連接權(quán)值之和為零的前提下，利用LyapunovKrasovskii穩(wěn)定性定理分別得到了具有相同時(shí)變通信時(shí)延的異構(gòu)多自主體系統(tǒng)在固定連接拓?fù)浜颓袚Q連接拓?fù)湎碌娜阂恢滦猿浞謼l件。值得注意的是：同一子群自主體將漸近趨于一致，不同子群自主體的一致性狀態(tài)可以不同；一致性收斂可以對(duì)通信時(shí)延的變化快慢具有魯棒性，但時(shí)延的變化快慢會(huì)影響群一致性的收斂速度；同時(shí)，一致性收斂對(duì)切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的切換頻率具有魯棒性，群一致性收斂不受切換周期大小的影響。

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Background

This work was supported by the National Natural Science Foundation of China （61473138， 61104092， 61134007）， the National Natural Science Foundation of Jiangsu Province（BK20151130）.

LI Xiangjun， born in 1989， M. S. candidate. His research interest includes couplegroup consensus control of multiAgent systems.

LIU Chenglin， born in 1981， Ph. D.， associate professor. His research interests include decentralized coordinated control of multiAgent systems， nonlinear control.

LIU Fei， born in 1965， Ph. D.， professor. His research interests include advanced control， integrated automation industrial process.