◇ 甘肅 柴永春

填空題是數(shù)學(xué)各類考試中的基本題型,它具有題小、量大、靈活多樣、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、知識(shí)覆蓋面廣、概念性強(qiáng)、運(yùn)算量不大、不需要解題過(guò)程等特點(diǎn).填空題在取材上側(cè)重于考查基本概念、基本運(yùn)算、基本方法、綜合判斷等能力,有利于對(duì)學(xué)生直覺思維、空間想象能力和邏輯推理能力進(jìn)行考查.在解答填空題的過(guò)程中,要充分抓住填空題的本質(zhì)和特點(diǎn),從“準(zhǔn)”“巧”“快”上下功夫,千萬(wàn)不要出現(xiàn)小題大做的情況,浪費(fèi)考試時(shí)間.

1 抓住本質(zhì)，方法引領(lǐng)

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家、數(shù)學(xué)方法理論的倡導(dǎo)者G.波利亞說(shuō)過(guò),掌握數(shù)學(xué)知識(shí)就意味著要善于解題.而當(dāng)我們遇到一個(gè)新問題時(shí),總想用熟悉的題型去“套”,這只是滿足于解出來(lái).只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法透徹理解及融會(huì)貫通時(shí),才能提出新看法、巧解法.在解答填空題時(shí),要充分理解題意,抓住本質(zhì),結(jié)合填空題常用的方法加以快捷求解.

分析本題直接求解方程的根的個(gè)數(shù)情況比較難下手,因此,可以通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)作出相應(yīng)的函數(shù)圖象,利用直線的性質(zhì)與數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)處理.

解先作出x∈[0,1]時(shí),f(x)＝x 的函數(shù)圖象,根據(jù)f(x)是以2為周期的偶函數(shù),作出在區(qū)間[－1,3]內(nèi)的函數(shù)圖象.由于直線y＝kx＋k＋1是過(guò)點(diǎn)(－1,1)的一簇直線,故結(jié)合y＝f(x)的圖象(如圖1所示)進(jìn)行求解.

圖1

易知相應(yīng)的方程的根的個(gè)數(shù)最少有1個(gè),即圖中l(wèi)1與函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況；最多有4個(gè),即圖中l(wèi)2與函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況,故答案為1,4.

2 合理猜想，巧中取勝

G.波利亞曾說(shuō)過(guò),在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,猜想是合理的、值得尊重的,是負(fù)責(zé)任的態(tài)度.在解答填空題時(shí),根據(jù)給出的問題的知識(shí)與形式,可聯(lián)想到與之相關(guān)的知識(shí),從而找到快捷的解題方法,巧中取勝,達(dá)到解決新問題的目的.

分析通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)在條件中x,y,z 出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等,即是輪換對(duì)稱出現(xiàn)的.而對(duì)于括號(hào)的形式可以聯(lián)想到基本不等式的最值條件,猜想當(dāng)x＝y(tǒng)＝z 時(shí)取得最小值,再利用基本不等式求解即可.

解令x＝y(tǒng)＝z,可得

3 思維創(chuàng)新，能力提升

數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新與拓展是思維品質(zhì)的最高層次,每年的高考,都會(huì)出現(xiàn)一些考查創(chuàng)新能力的問題,而填空題正是創(chuàng)新的主陣地.這類問題大都是按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求,結(jié)合相關(guān)知識(shí)加以創(chuàng)新,進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算,從而達(dá)到解決問題的目的.

分析結(jié)合題目所給的新定義信息,通過(guò)思維創(chuàng)新,類比平面向量基本定理的應(yīng)用,構(gòu)建方程組探索待定系數(shù).

解由于a1＝(1,0,－1),a2＝(1,－1,3),a3＝(0,2,1),a4＝(0,1,－1),由題意,可得

即

解得

故實(shí)數(shù)k1,k2,k3,k4可取的一組數(shù)據(jù)為：c,－c,c,－3c(c≠0,c∈R)(答案不唯一,只要寫出滿足條件的一組具體的數(shù)據(jù)即可).

綜上,解答填空題時(shí),要有合理的分析和判斷,推理、運(yùn)算的每一步驟都必須正確無(wú)誤,而且要將答案表達(dá)得準(zhǔn)確、完整,但同時(shí)也要注意節(jié)約時(shí)間,提高效率,不能小題大做.合情推理、優(yōu)化思路、少算多思將是快速、準(zhǔn)確地解答填空題的基本要求.