李大永

自20世紀(jì)80年代開始，我國(guó)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革一直持續(xù)至今。這期間，各種教學(xué)法的實(shí)驗(yàn)研究如火如荼，各種新的數(shù)學(xué)教學(xué)方法和教學(xué)模式層出不窮，也引發(fā)了一波又一波的學(xué)習(xí)熱潮。這些教學(xué)方式與模式改革，多發(fā)源于國(guó)內(nèi)優(yōu)秀教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)或課堂教學(xué)研究項(xiàng)目與成果的推廣。21世紀(jì)初，這一熱潮又體現(xiàn)為新涌現(xiàn)出的部分“熱點(diǎn)”地區(qū)或特定“明星”學(xué)校的課堂教學(xué)改革，近期又呈現(xiàn)出西學(xué)（如“翻轉(zhuǎn)課堂”“MOOC”）等特點(diǎn)。在各種教學(xué)方式與模式學(xué)習(xí)的潮起潮落中，有一種共同現(xiàn)象，就是比較關(guān)注課堂教學(xué)實(shí)施的具體環(huán)節(jié)或?qū)嵤┓绞?、使用媒介與實(shí)施步驟的效仿，但是缺少對(duì)“為什么要這樣做”的追問、研究與考證，這使得教學(xué)模式往往流于形式。作為教師，我們?cè)撊绾蚊鎸?duì)花樣翻新的教學(xué)模式？

筆者認(rèn)為，教師必須自問：“我究竟在為什么而教？”或者說“數(shù)學(xué)教育的核心價(jià)值在哪？”對(duì)于這個(gè)問題的思考，實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)審視自己數(shù)學(xué)教學(xué)觀的過程。從大量的聽課、評(píng)課、組織教研以及8年的國(guó)培經(jīng)歷中，筆者認(rèn)為，一位教師在課堂上的教學(xué)行為，處處都能體現(xiàn)出教師所持的教學(xué)觀（數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值）和數(shù)學(xué)觀（數(shù)學(xué)理解）。同一類教學(xué)行為（哪怕都是講授），不同教師實(shí)施，教學(xué)效果大不相同。也就是說，真正的教學(xué)效果取決于教師的教學(xué)觀和數(shù)學(xué)觀，而不是表面的教學(xué)行為。因此，課堂教學(xué)的問題并不能靠某一種教學(xué)方式或模式來解決，而需要用一個(gè)具有高度凝聚性的核心教育目標(biāo)來指引教師的教學(xué)實(shí)踐。

本文將結(jié)合案例，闡述如下觀點(diǎn)：教師需要以“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維”為核心去構(gòu)建課堂的教與學(xué)。而達(dá)成這一目標(biāo)的唯一有效途徑，就是在日常教學(xué)工作中，以“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維”為目標(biāo)，設(shè)計(jì)實(shí)施教學(xué)、反思評(píng)價(jià)教學(xué)、改進(jìn)后再教學(xué)，在這樣的過程中不斷地進(jìn)行理論的實(shí)踐性解讀和實(shí)踐的理論性反思。

一、熱鬧的活動(dòng)背后，數(shù)學(xué)思維有幾成

1.案例呈現(xiàn)

筆者曾看到一篇名為“以學(xué)生為本是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)──《正弦定理的引入、探索、發(fā)現(xiàn)與證明》教學(xué)案例”，該案例展示了正弦定理的探索與發(fā)現(xiàn)活動(dòng)，如下。

活動(dòng)1 讓學(xué)生觀察并測(cè)量一個(gè)三角板的邊長(zhǎng)，例如，量得三角板三內(nèi)角所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別約為5cm，8.6cm，10cm。

提出問題：你能發(fā)現(xiàn)三邊長(zhǎng)與其對(duì)角的正弦值之比之間的關(guān)系嗎？

活動(dòng)2 （在任意的直角三角形中探討）在Rt△ABC中，你能否發(fā)現(xiàn)類似的結(jié)論？

提出問題：上述規(guī)律對(duì)任意三角形成立嗎？

活動(dòng)3 二人合作，先在紙上作一個(gè)任意銳角（或鈍角）三角形，測(cè)量三邊長(zhǎng)及其三個(gè)對(duì)角，然后用計(jì)算器計(jì)算每一邊與其對(duì)角正弦值的比，填入下面表中，驗(yàn)證前面得出的結(jié)論是否正確。（其中，角精確到分，邊精確到0.1cm，結(jié)果保留3位有效數(shù)字）

2.活動(dòng)背后的數(shù)學(xué)思維分析

由案例展示的上述活動(dòng)，我們可以想象到，課堂不乏熱鬧，學(xué)生一直處于活動(dòng)之中，而且持續(xù)的時(shí)間也不會(huì)太短。但是，從發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維這一角度來看，三個(gè)活動(dòng)都缺少高水平的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。活動(dòng)1中，學(xué)生只是被動(dòng)完成量一量、算一算的指令，對(duì)于算出來的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)三個(gè)比值相等，對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)思維來講沒什么積極意義?；顒?dòng)2中，學(xué)生需要的是回憶再現(xiàn)直角三角形的三角函數(shù)定義，實(shí)施檢驗(yàn)是低水平的判斷?；顒?dòng)3中，學(xué)生仍是量一量、算一算，唯一的潛在價(jià)值是基于檢驗(yàn)結(jié)論的目標(biāo)，畫三角形時(shí)，對(duì)形狀的選擇是有一點(diǎn)思維價(jià)值的，但是教師卻并未對(duì)此設(shè)問。

實(shí)際上，教學(xué)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)，不應(yīng)該是追求活動(dòng)、小組合作等形式，而是應(yīng)挖掘所學(xué)內(nèi)容對(duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的價(jià)值，活動(dòng)是為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)服務(wù)的，不能本末倒置。顯然，如果教師自身不能深諳數(shù)學(xué)思維的規(guī)律，不能在備課中努力挖掘、還原數(shù)學(xué)內(nèi)容背后的思維活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就無從談起。

二、如何感悟和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思維的規(guī)律

實(shí)際上，每個(gè)學(xué)科都有特定的認(rèn)識(shí)世界的思維框架，這一思維框架集中體現(xiàn)了一定的認(rèn)識(shí)取向或價(jià)值觀念與方法。比如，我們應(yīng)當(dāng)關(guān)注事物與現(xiàn)象的哪些方面？我們應(yīng)如何去發(fā)現(xiàn)問題，并對(duì)此作出恰當(dāng)?shù)膯栴}表述？我們又應(yīng)如何去分析問題和解決問題（包括究竟什么可以被看成問題的適當(dāng)解決方法）？

1.從數(shù)學(xué)發(fā)展史看數(shù)學(xué)思維的基本特征

數(shù)學(xué)史是一個(gè)感悟數(shù)學(xué)思維規(guī)律和特征的重要途徑。從數(shù)學(xué)發(fā)展史可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家在解決生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)提出的新問題過程中， 首先是抽象概括其中的量化模式，形成數(shù)學(xué)問題，通過試探或試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出解決新問題的具體方法，歸納或概括出新的公式、概念和原理，而這些新的公式、概念和原理必須通過邏輯推理來獲得確認(rèn)。當(dāng)新的數(shù)學(xué)問題積累到一定程度后，便形成了數(shù)學(xué)研究的新問題（對(duì)象） 類或新領(lǐng)域，產(chǎn)生解決這類新問題的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成了一套理論知識(shí)，就標(biāo)志著一門新的數(shù)學(xué)分支學(xué)科的產(chǎn)生，例如，微積分、群論等。而數(shù)學(xué)理論通過數(shù)學(xué)模型又和現(xiàn)實(shí)世界建立了聯(lián)系，使得數(shù)學(xué)理論可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界中去幫助人們解決廣泛的問題。

從上述數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的一般過程可以看到，數(shù)學(xué)家總是不滿足于個(gè)別問題的結(jié)果或結(jié)論的獲得，而總是希望獲得更深刻的理解。后者直接導(dǎo)致對(duì)于嚴(yán)格的邏輯證明的尋求，而且促使數(shù)學(xué)家積極地去從事進(jìn)一步的研究。如在有些看上去并無聯(lián)系的事實(shí)背后是否隱藏著某種普遍的理論？這一事實(shí)能否被納入到某一統(tǒng)一的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中？他們總是希望能達(dá)到更大的簡(jiǎn)潔性和精致性，如，是否存在更為簡(jiǎn)單的證明？是否對(duì)相應(yīng)的表達(dá)方式作出適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)？這也就充分體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)思維的一些基本特征。

2.在教學(xué)工作中，要多問幾個(gè)為什么

時(shí)時(shí)思考和自問是深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維的重要途徑，教師的專業(yè)素養(yǎng)恰恰是在對(duì)這些問題的不斷拷問與探尋中獲得發(fā)展的。例如，在數(shù)學(xué)中為什么要給出這一數(shù)學(xué)概念（公式、定理）？為什么要采用這樣的方式來對(duì)其進(jìn)行定義（表達(dá)）？這個(gè)概念（公式、定理）背后蘊(yùn)含了怎樣的思維方式？它與之前和之后的哪些內(nèi)容有關(guān)聯(lián)？這種關(guān)聯(lián)背后又蘊(yùn)含了怎樣的一致性或不同的思維模式？等等。

以前面的正弦定理教學(xué)為例，對(duì)解三角形這一主題，教師應(yīng)在備課時(shí)弄清楚以下幾個(gè)基本問題：解三角形這一章研究的基本問題是什么？這個(gè)問題是如何被發(fā)現(xiàn)和提出的？它與之前的哪些內(nèi)容有關(guān)聯(lián)？這種關(guān)聯(lián)背后蘊(yùn)含著怎樣的一致性或不同的思維模式？

解三角形這一章的基本問題就是三角形的邊、角要素之間存在怎樣的量化模式。通過以前對(duì)三角形相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)獲得了部分解答，如內(nèi)角和為180。、任意兩邊之和大于第三邊、大邊對(duì)大角，還有特殊三角形——直角三角形三邊關(guān)系。此外，兩個(gè)三角形關(guān)系的研究，如兩三角形的全等條件也從側(cè)面告訴我們，確定三角形并不需要給出六個(gè)要素，只要知道其中部分要素即可。也就是說，在初中階段，學(xué)生就已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了邊角邊、邊邊邊、角邊角等條件可以確定一個(gè)三角形形狀與大小了，既然如此，這種部分要素確定了整體的現(xiàn)象預(yù)示著什么呢？這說明背后一定存在著還未發(fā)現(xiàn)的三角形邊角數(shù)量模式，三角形的正、余弦定理實(shí)際上是對(duì)三角形的邊角數(shù)量模式的表達(dá)。實(shí)際上，從研究三角形開始，我們就一直在試圖發(fā)現(xiàn)三角形這一幾何圖形背后所隱藏的邊角模式，只不過早期比較偏重直觀感知、動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)猜想，而后來更突出合情合理的猜想與思辨論證。

從上述問題的思考，可以發(fā)現(xiàn)，前面所呈現(xiàn)的案例中，教師的學(xué)習(xí)活動(dòng)并沒有起到引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)研究三角形的一般思維路徑的作用。

3.從新異問題的研究中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的過程

教師由于長(zhǎng)時(shí)間接觸常規(guī)數(shù)學(xué)問題，因此，在面對(duì)試題時(shí)，很難體會(huì)一個(gè)原生態(tài)的思維過程，解題思路烙下了深深的記憶印記，這就會(huì)使解題教學(xué)不自覺地淪落為解釋如何操做，而難以呈現(xiàn)原生態(tài)（處于學(xué)生思維水平下的）的思維過程，講不出解題思路。

所以，解決新異問題，使自己陷入一種沒有現(xiàn)成模式可以套用的思維困境之下，嘗試各種方法探尋解題思路的努力之下，去感知數(shù)學(xué)思維是如何發(fā)生和發(fā)展的，由思維的混沌狀態(tài)經(jīng)歷了怎樣的思維過程，使思維逐漸走向清晰和明朗是非常重要的。在教師培訓(xùn)中，這一辦法有助于教師更深刻理解思維的過程是怎樣的。

新異問題，一方面可以從試題中尋找，例如，每年北京的理科卷20題，往往是比較新穎的題目，建議不要當(dāng)成一道試題去做，而要去探索、研究，發(fā)現(xiàn)題干所定義的數(shù)學(xué)對(duì)象都有哪些特性。另一方面，可以從生活中或其他學(xué)科的問題中尋找，例如，中國(guó)象棋中的“馬”走的是“日”字格的對(duì)角線，馬從棋盤的任何一個(gè)位置，按照馬的走棋規(guī)則，可否走遍每一個(gè)位置（格點(diǎn)）呢？

三、如何在數(shù)學(xué)課堂上發(fā)展學(xué)生思維

通過前面的正弦定理的案例，我們看到，不是所有與數(shù)學(xué)相關(guān)的活動(dòng)都是有價(jià)值的活動(dòng)，我們需要弄清楚數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)涵與基本形式，尤其是能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的數(shù)學(xué)活動(dòng)的特征，因?yàn)?，能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的數(shù)學(xué)活動(dòng)才是構(gòu)建課堂的教與學(xué)的關(guān)鍵。

1.理解數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)涵與基本形式

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾提出，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動(dòng)是具有一定結(jié)構(gòu)（帶有數(shù)學(xué)特點(diǎn)）的思維活動(dòng)。[1]他認(rèn)為，可以將數(shù)學(xué)活動(dòng)看作按下述模式進(jìn)行的思維活動(dòng)：首先是經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化；其次是第一階段活動(dòng)結(jié)果中積累的數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化；最后是第二階段活動(dòng)的結(jié)果中建立的數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)活動(dòng)有兩個(gè)基本形式：一是數(shù)學(xué)概念的生成、分析與組織；二是數(shù)學(xué)的提出、分析與解決問題。而這兩種基本形式，在數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織方式上又可以統(tǒng)一到數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題這一形式上來。

例如，函數(shù)單調(diào)性概念的形成過程，可以由不滿足于初中階段在描點(diǎn)畫圖基礎(chǔ)上獲得的直觀感知認(rèn)識(shí)，而在尋求更深刻的理解過程中去發(fā)現(xiàn)問題。一方面，我們根本畫不出所有的點(diǎn)，對(duì)于所畫的相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間的圖像，我們并不知道實(shí)際上是什么樣子，因此，無從通過看來判斷函數(shù)的單調(diào)性；另一方面，我們所看到的圖像實(shí)際上只是數(shù)學(xué)中的對(duì)象——函數(shù)圖像的示意圖，并非函數(shù)的實(shí)際圖像（函數(shù)解析式確定的點(diǎn)集），因?yàn)?，?shù)學(xué)中的點(diǎn)是沒有大小的，線是沒有粗細(xì)的，在現(xiàn)實(shí)中根本不可能畫出來，所以，我們看到的只是虛幻的，這當(dāng)然不足以說明函數(shù)的單調(diào)性。發(fā)現(xiàn)這一矛盾后，我們就產(chǎn)生了進(jìn)一步清晰刻畫函數(shù)單調(diào)性的實(shí)際需求，在這種需求下，我們必須將函數(shù)單調(diào)性的幾何直觀用量化的手段，借助代數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言來進(jìn)行刻畫，這一問題解決的結(jié)果，自然就表現(xiàn)為得到了函數(shù)單調(diào)性的概念及其定義。

2.理解能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的數(shù)學(xué)活動(dòng)的特征

從上述單調(diào)性概念教學(xué)案例可以看出，能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的數(shù)學(xué)活動(dòng)，應(yīng)該是一個(gè)能夠帶給學(xué)生理智挑戰(zhàn)、認(rèn)知沖突和精神享受的活動(dòng)。在這樣的活動(dòng)中，學(xué)生需要不屈不撓地深入思考，將學(xué)生頭腦中的問題數(shù)學(xué)化，需要同學(xué)間的相互交流與討論，需要論據(jù)明確、條理清楚地進(jìn)行闡述。通過這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生能夠?qū)W會(huì)解決問題、應(yīng)對(duì)困難，從而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想。

根據(jù)上述能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的數(shù)學(xué)活動(dòng)的特征，對(duì)正弦定理的教學(xué)，所設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)該有助于學(xué)生從已習(xí)得的相關(guān)結(jié)論中發(fā)現(xiàn)需要進(jìn)一步研究的問題，并在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過設(shè)法建立已知邊角數(shù)量與未知邊角數(shù)量之間的聯(lián)系，自主探索解決這一問題。在這樣的思維活動(dòng)定位下，本案例的數(shù)學(xué)活動(dòng)可設(shè)計(jì)如下。

活動(dòng)1 對(duì)于三角形，大家并不陌生，與同桌交流并寫出已經(jīng)學(xué)習(xí)的與三角形相關(guān)的結(jié)論。

活動(dòng)2 請(qǐng)與同桌討論：關(guān)于三角形，是否還存在有待進(jìn)一步研究的問題？

活動(dòng)3 請(qǐng)各自選擇一組可確定三角形的邊角條件，探索如何用已知邊角數(shù)量求出其他未知的邊角數(shù)量。

3.要始終以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展為標(biāo)尺

教學(xué)是實(shí)踐的智慧，教師要讓自己的課堂能夠更好地促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，就要始終如一地以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為標(biāo)尺。備課時(shí)，用這個(gè)標(biāo)尺來衡量自己對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解，就會(huì)促使自己思考探尋每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容背后的數(shù)學(xué)思維過程與價(jià)值，促使教師自我察覺活動(dòng)設(shè)計(jì)得是否合理。教學(xué)時(shí)，用這個(gè)標(biāo)尺來要求，就會(huì)促使教師有意識(shí)地去聆聽學(xué)生的想法，從中分析了解學(xué)生的思維過程，從而給出恰當(dāng)?shù)膸椭?。課后，用這個(gè)標(biāo)尺來反思評(píng)價(jià)自己的課堂教學(xué)，就能不斷從中獲得教學(xué)中的得與失，為以后的數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織與實(shí)施積累經(jīng)驗(yàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1] A·A斯托利亞爾，數(shù)學(xué)教育[M] .北京：人民教育出版社，1984.

（作者單位：北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校）

責(zé)任編輯：趙彩俠

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