李 浩，蘇 婷，劉兆鵬，李 杰

隨機利率下延期m年的n年定期壽險精算模型

李 浩，蘇 婷，劉兆鵬，李 杰

宿州學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽宿州，234000

采用反射布朗運動和擬高斯分布聯(lián)合刻畫利率隨機性，并結(jié)合Makeham死亡力假定，研究了連續(xù)型延期m年的n年定期壽險的均衡凈保費與責任準備金，得到了相應(yīng)的解析式。結(jié)果表明：此方法可以為保險公司在壽險產(chǎn)品的價格厘定與風險管理方面提供理論參考。

隨機利率；延期壽險；均衡凈保費；擬高斯分布

近年來，保險精算研究領(lǐng)域的重點與熱點問題當屬利率的隨機性。由于利率具有隨機性，因而選取合理的隨機利率已成為當前研究壽險的主要方法與手段。對于延期壽險而言，最具代表性的險種是延期m年的n年定期壽險，它符合養(yǎng)老保險的基本假設(shè)要求。此類險種在保險市場上占有較高的份額，常見于職工的退休養(yǎng)老保險等。

壽險的躉交純保費在厘定過程中，受死亡率與利率等因素影響，且具有較強的隨機性，因為它們都是隨著時間變化而變化的。對于退休養(yǎng)老保險中的被保險人，年齡一般處于60歲及以上，相比較其他普通壽險，其死亡率波動性要輕微，所以本文對死亡率的隨機性選取了Makeham死亡力假定，重點則是對利率的隨機性進行刻畫。

通過出售大量的保單，可以分散由于死亡率產(chǎn)生的風險，但對于利率的隨機性風險卻是無效的。從這方面看，利率比死亡率更顯重要。在刻畫利率隨機性方面，國內(nèi)外學者所作的主要研究工作有：1990年，F(xiàn)rees研究了可逆M A（1）利率下生存年金精算現(xiàn)值［1］；1992年，Buhlmann研究了利息力獨立同分布的生存年金一、二階矩［2］；1997年，Habeman利用自回歸AR（2）模型計算生存年金［3］；2008年，郭春增采用反射布朗運動和Gamma分布聯(lián)合建立了半連續(xù)壽險精算模型［4］；2009年，高井貴研究了變參數(shù)標準Wiener過程下的半連續(xù)壽險精算模型［5］；2010年，孫榮采用自回歸方法下的Vasicek利率模型研究了養(yǎng)老金計劃多重衰減模型［6］；2010年，信恒占利用反射布朗運動和Poisson分布聯(lián)合建立了連續(xù)型增額壽險精算模型［7］；2012年，郭欣利用服從正態(tài)分布、布朗運動的利息力分析了完全離散型壽險精算模型［8］等?？傊?，對利率的隨機性建模有兩種方法：一是對利息力建模；二是對利息力累積函數(shù)建模。從另一角度來看，建模的方法可劃分為單重隨機性與雙重隨機性，即刻畫利率的隨機過程的數(shù)量與種類不同。

本文在前人工作的基礎(chǔ)上，對利息力累積函數(shù)采用反射布朗運動和擬高斯分布聯(lián)合建立了連續(xù)時間情形下的利率模型，在此基礎(chǔ)上討論延期m年的n年定期壽險的均衡凈保費與責任準備金的計算，并在Makeham死亡力假定下得到其解析表達式。

1 模型建立

現(xiàn)考慮年齡為X歲的投保人為被保險人投保了一份延期m年的n年的定期壽險，即保險人只對被保險人在（m，m＋n）歲之間發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡事故給予死亡賠付的險種。當前，此類險種在保險市場上占有較高的份額，常見于職工的退休養(yǎng)老保險。用（x）表示年齡為X的人，T（x）表示（x）的剩余壽命，則T（x）的概率密度函數(shù)為fT（x），有fT（t）＝tpx·μx＋t，S（x）為（x）的生存函數(shù)，即表示在未來年仍生存的概率。其中，精算符號tpx表示為（x）在未來t年內(nèi)生存的概率，μx＋t表示為（x）在x＋t年處的死亡力。

假設(shè)利息力累計函數(shù)δt滿足：

其中，δ為無風險利率，β與γ為調(diào)節(jié)參數(shù)，w（t） 為在原點反射布朗運動，G（t）為服從G－（μ，θ）的擬高斯分布，并且δ、w（t） 及G（t）相互獨立。則貼現(xiàn)函數(shù)V（t）可表示為：

證：由于G（t）為服從G－（μ，θ）的擬高斯分布，則G（t）的密度函數(shù)為：

2 躉繳凈保費的計算

由Arrow所提出的風險轉(zhuǎn)移應(yīng)遵循公平原則，是指保險人收取的凈保費應(yīng)該恰好等于未來給付的保險賠付金，即所謂的凈均衡原理。根據(jù)此原理，保險業(yè)經(jīng)營中一般采用躉繳的形式。

本文討論的是連續(xù)型的壽險精算模型，要求死亡保險金在被保險人死亡當時給付賠付金。以表示延期m年的n定期壽險死亡即刻躉繳凈保費，則有：

假設(shè)當死亡力服從Makeham形式時，有：

其中，B＞0，A辰－B，c＞1，x辰0。生存函數(shù)為：

則

將（4）（5）式代入（3），可得：

3 均衡純保費的計算

以Y表示每年給付額為1的連續(xù)型延期m年的n定期生存年金，則其精算現(xiàn)值用m表示，則：則連續(xù)型延期m年的n定期壽險的均衡純保費以表示，有：

4 風險分析

由于方差可以合理測度均衡純保費，因此基于擬高斯分布情形，給出延期m年的n定期壽險的均衡純保費，可以有效度量其存在的風險。為此，首先計算均衡純保費的二階矩，有：于是均衡純保費的方差為：

5 結(jié)論

養(yǎng)老保險是近年來社會關(guān)注的重要民生問題，隨著我國人口老年化問題越發(fā)( )嚴重，保險公司在厘定養(yǎng)老保險費時，需要考慮利率與死亡率的隨機性。本文以反射布朗運動和擬高斯分布聯(lián)合建立利率模型，在Makeham死亡力假定下，得到連續(xù)型延期m年的n年的定期壽險的均衡凈保費與責任準備金的解析表達式，并給出均衡純保費的方差，對保險公司在壽險產(chǎn)品的價格厘定與風險管理方面具有一定的參考價值。

［1］Frees E W.Stochastic Life contingencies with solvency considerations［J］.Transaction of Societies of Actuaries，1990，42 (1):91-148

［2］Bühlmann H.Stochastic discounting［J］.Insurance:Mathematics and Economics，1992，11(2):113-127

［3］Haberman S.Stochastic investment returns and contribution rate risk in a defined benefit pension scheme［J］.Insurance: Mathematics and Economics，1997，19(2):127-139

［4］郭春增，王秀瑜.隨機利率下的壽險精算模型［J］.統(tǒng)計與決策，2008(9):53-55

［5］高井貴，趙明清，趙曉燕.變參數(shù)隨機利率下的半連續(xù)壽險精算模型［J］.統(tǒng)計與決策，2009(8):12-14

［6］孫榮.基于隨機利率的養(yǎng)老金計劃多重衰減模型與精算［J］.統(tǒng)計與決策，2010(22):16-17

［7］信恒占.隨機利率下的連續(xù)型增額壽險精算研究［J］.統(tǒng)計與決策，2010(7):28-32

［8］郭欣.隨機利率下的完全離散型壽險精算模型［J］.統(tǒng)計與決策，2013(6):77-79

［9］尚勤，秦學志.隨機死亡率和利率下退休年金的長壽風險分析［J］.系統(tǒng)工程，2009，27(11):56-61

［10］張穎，黃順林.基于隨機死亡率與利率模型下的生存年金組合風險分析［J］.系統(tǒng)工程，2010，28(9):15-19

［11］Olivieri A.Uncertainty in mortality projections:an actuarial perspective［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2001，29(2):231-245

［12］Lee R D，Carter L R.Modeling and forecasting U.S.mortality［J］.Journal ofthe American Statistical Association，1992，87:659-671

［13］東明.隨機利率下的聯(lián)合壽險精算模型［J］.系統(tǒng)工程，2006，24(4):68-72

(責任編輯:汪材印)

A

1673－2006（2016）04－0106－03

10.3969／j.issn.1673－2006.2016.04.027

2016-01-18

宿州學院教學研究項目“應(yīng)用型本科高校枟壽險精算學枠的教學實踐與探索”（szxyjyxm201321）；宿州學院產(chǎn)學研合作培育項目“基于概率與統(tǒng)計方法的礦區(qū)突水水源判別研究及其應(yīng)用”（2014cxy04）；宿州學院優(yōu)秀青年人才基金項目“隨機模型在金融衍生品定性中的應(yīng)用”（2014yyb24）；宿州學院校級創(chuàng)新訓練項目“模型及其兩基金分離定理的應(yīng)用研究”（AH201410379022）。

李浩（1981－），安徽全椒人，碩士，助教，主要研究方向：金融數(shù)學。