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        領(lǐng)略轉(zhuǎn)化 提升能力

        2016-05-12 08:05:31高峰
        初中生天地 2016年11期
        關(guān)鍵詞:延長線逆時針直角三角形

        □高峰

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        領(lǐng)略轉(zhuǎn)化 提升能力

        □高峰

        就解題而言,解題就意味著轉(zhuǎn)化,即把“新知”轉(zhuǎn)化為“舊知”,把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”,把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”,把“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”,把“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”,把“一般”轉(zhuǎn)化為“特殊”等等.轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學思想,也是分析問題和解決問題的一個基本思想.

        一、四邊形轉(zhuǎn)化為三角形

        例1如圖1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點E、O,連接CE,則CE的長為().

        A. 3B. 3.5

        C. 2.5D. 2.8

        圖1

        解析:設(shè)CE的長為x,因為EO垂直平分AC,所以AE=CE=x,所以ED=4-x,在Rt△CED中,由勾股定理得22+(4-x)2=x2,解得x=2.5.選C.

        點評:利用矩形、線段垂直平分線的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題,再利用勾股定理將幾何問題轉(zhuǎn)化為方程問題.

        二、把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形

        例2如圖2,四邊形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四邊形ABCD的面積是24cm2,則AC長是________

        cm.

        圖2

        圖3

        解析:如圖3,過點A作AE⊥BC于點E,AF⊥CD交CD的延長線于點F.則可證△ABE≌△ADF,得AE=AF.進一步可證四邊形AECF是正方形,且正方形AECF與四邊形ABCD的面積相等.則所以

        點評:解題的關(guān)鍵是正確地作出旋轉(zhuǎn)變換,將四邊形的問題轉(zhuǎn)化成正方形的問題來解決.

        三、線段和(差)問題轉(zhuǎn)化為兩線段相等問題

        例3已知△ABC為等邊三角形,點D為直線BC上一動點(點D不與B、C重合),以AD為邊作菱形ADEF(A、D、E、F按逆時針順序排列),使∠DAF=60°,連接CF.

        (1)如圖4,當點D在邊BC上時,求證:①BD=CF;②AC=CF+CD.

        (2)如圖5,當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時,結(jié)論AC=CF+CD是否成立?若不成立,請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

        圖4

        圖5

        (3)如圖6,當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時,補全圖形,并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系.

        圖6

        圖7

        解析:(1)根據(jù)等邊三角形和菱形的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)等線段、等角,證明△ABD≌△ACF即可解決問題.

        ①∵△ABC是等邊三角形,

        ∴AB=AC,∠BAC=60°.

        ∵四邊形ADEF為菱形,

        ∴AD=AF.

        ∵∠BAC=∠DAF=60°,

        ∴∠BAC-∠DAC

        =∠DAF-∠DAC,

        即∠BAD=∠CAF.

        ∴△ABD≌△ACF.

        ∴BD=CF.

        ②∵AC=BC=BD+CD,且由①BD=CF,∴AC=CF+CD.

        (2)觀察圖形,可知CF最長,顯然(1)②中結(jié)論不再成立,這時模仿(1)①中全等三角形的證明思路,看相應(yīng)的兩個三角形是否仍然全等,進而解決問題.

        原關(guān)系不成立.存在的數(shù)量關(guān)系為CF=AC+CD.

        理由:由(1)①同理可得

        △ABD≌△ACF,

        ∴BD=CF.

        ∵BD=BC+CD=AC+CD,

        ∴CF=AC+CD.

        (3)如圖7,觀察圖形,可知CD最長,CD=AC+CF.證明方法與前面類似.其實總結(jié)(1)(2)可發(fā)現(xiàn)該三條線段之間的關(guān)系就是最長的一條等于較短的兩條線段之和.

        點評:本題旨在引導(dǎo)探究點在運動的過程中,某個結(jié)論變與不變的問題,雖然是探究三條線段之間的關(guān)系,但實質(zhì)還是轉(zhuǎn)化為探究兩條線段之間的關(guān)系.

        四、通過轉(zhuǎn)化將分散的條件集中

        分析:根據(jù)條件易知在△ABE與△ADG中,∠B=∠D=45°,∠BAE=∠DAG=30°,利用旋轉(zhuǎn)變換,將△ADG逆時針旋轉(zhuǎn)與△ABE拼接,構(gòu)成等邊三角形和等腰直角三角形進行計算.

        圖8

        解:如圖8,將△ADG逆時針旋轉(zhuǎn)到△AHB的位置,連接EH交AB 于I,則AH=AG=AE,HB=GD=BE,因為∠BAD=135°,∠EAG=75°,所以∠B=∠D=45°,∠BAE=∠DAG=30°,所以∠HAE=60°,∠HBA=∠D=45°,所以△AHE是等邊三角形,△HBE是等腰直角三角形.

        設(shè)IE=1,則BI=IH=1,AE=HE=2,

        點評:本題通過旋轉(zhuǎn)將兩個30°拼成60°,將兩個45°拼成90°,把條件集中到等邊三角形和等腰直角三角形中,使問題得以解決.

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