張鮮娜

摘 要 在周期到達的Gt/GI/s隊列中，研究常規(guī)的顧客人數(shù)的高負荷極限。我們假設到達計數(shù)過程由累積隨機過程構成，累積隨機過程滿足泛函中心極限定理和確定性累計率函數(shù)是周期函數(shù)的積分。對于確定到達率函數(shù)的三個不同刻畫，研究三個不同的高負荷極限。

關鍵詞 高負荷極限 周期到達率隊列 周期隊列的高負荷極限

中圖分類號：O226 文獻標識碼：A

1研究的背景和目標

關于隊列的高負荷極限問題，國內(nèi)外學者做過了大量的研究。本文主要研究到達過程具有周期到達率的Gt/GI/s隊列在高負荷條件下的泛函弱大數(shù)定律和泛函中心極限定理。

2到達過程模型

設周期隨機到達計數(shù)過程為：A（t）≡N（∧（t）），t≥0，其中N為滿足泛函中心極限定理的隨機計數(shù)過程。在D空間中，當時n→∞，，其中，表示在D空間中[0，∞）上左極限存在的右連續(xù)實函數(shù)依分布收斂，Ba是一個標準（轉移率為0，方差為1）布朗運動。A是累積到達率函數(shù)，并滿足∧（t）≡ （s）ds，t≥0其中 為周期到達率函數(shù)，故 ≡t-1∧（t）。

3 Gt/GI/s模型常規(guī)的高負荷極限

設服務強度為 （ <1），令 = ，對每一個 ，有 =1。令A （t）≡N（∧ （t）），t≥0，Q ≡{Q （t）：t≥0}（Q （t）為在t時刻，系統(tǒng) 中的顧客數(shù)）。

下面我們定義累積到達率函數(shù)：

（t）≡（1- ）[∧ （1- ）-2t]-（1- ）-2 ∧f（t），t≥0，對每一個 （0< <1），假設在D空間中當 ↑1時，（t）→∧d（t），其中∧f和∧d分別為累積到達函數(shù)， f=1， d=0。

A （t）≡（1 ）2A （（1- ）-2t）和Q （t）≡（1- ）-2Q （（1- ）-2t），t≥0

定理3.1（泛函弱大數(shù)定律）除以上條件外，在空間中，當 ↑1時，有Q （0） q（0），其中q（0）是非負實數(shù)，則在D空間中，當 ↑1時，有A ∧f且Q （q（0）+∧f e）。

證明：在D空間中，有（1- ）-2N（（1- ）-2t） t；由上述定義的累計到達率函數(shù)可得：在D空間中，有（1- ）-2∧ （（1- ）-2t） ∧f（t）。利用A （t）≡N（∧ （t）），t≥0及連續(xù)映射定理可知：在D空間中，當 ↑1時，有A ∧f。

運用服務過程的泛函弱大數(shù)定律得到純收入過程的泛函弱大數(shù)定律，再利用連續(xù)映射定理和單映像映射定理可得：在D空間中，當 ↑1時，有Q （q（0）+∧f e）。

定理3.2（泛函中心極限定理）除以上情況外，在R空間中，當 ↑1時，∧f（t）≡t且（t） （0），其中（0）是與到達服務過程無關的非負實隨機變量且P（（0）<∞）=1，則在空間D中，當 ↑1有 caBa+∧d e， （（0）+caBa+∧d e csBs）。其中Bs是布朗運動且Bs，Ba與（0）相互獨立，從而（B為布朗運動）。

證明：由于在D空間中，當 ↑1時有

=（1 ）[N（∧ （（1- ）-2t））-（1- ）-2 t]

=（1- ）[N（∧ （（1- ）-2t））-∧ （（1- ）-2t）+∧ （（1- ）-2t）

-（1- ）-2 t+（1- ）[（1- ）-2 t-（1- ）-2t]

caBa（t）+∧t（t）-t

故有 caBa+∧d-e。又在D空間中，當 ↑1時有（1- ）-2∧ （（1- ）-2t） t，應用參考文獻[1]中的定理1（a）得 （（0）+caBa+∧d e csBs）。

推論3.1（非刻畫到達率函數(shù)）如果∧ （t）= ∧（t），那么定理3.2中恒有∧d（t）≡0，t≥0。

證明：由周期過程知：當 ↑1時，∧ （（1- ）-2t）-（1- ）-2 t=o（1）；因此，當 ↑1時（1- ）[∧ （（1- ）-2t）-（1- ）-2 t]→0，（對t一致）；從而，定理3.2中恒有∧d（t）≡0，t≥0。

4總結

本文主要研究 ↑1且服務臺數(shù)固定的周期到達隊列的高負荷極限。定理3.1證明了可預測確定的可變性這一情況；引理3.1證明了不可預測隨機的可變性這一情況；定理3.2證明了具有上述兩種性質(zhì)的可變性這一復雜情況。當可變性具有兩種形式時，極限過程相對復雜，但這一刻畫可以提供有用的洞察力，有助于我們理解仿真模擬。

參考文獻

[1] D.L.Iglehart，W. Whitt，Multiple channel queues in heavy traffic，II： sequences，networks and batches，Adv.Appl.Probab.1970，2（2）：355-369.

[2] J.Abate，W.Whitt，Calculating transient characteristics of the Erlang loss model by numerical transform inversion，Stoch.Models.1998，14（3）：663-680.

[3] Y.Liu，W.Whitt，Many-server heavy-traffic limits for queues with time-varying parameters，Ann.Appl.Probab.2014，24（1）：378-421.

[4] W.Whitt，Stochastic-Process Limits，Springer，New York，2002.