呂希元

摘 要 函數(shù)極限是指函數(shù)的自變量在其定義域內(nèi)以某種形勢(shì)無(wú)限變化時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)的結(jié)果，它是一類(lèi)非常重要的變化過(guò)程，本文主要介紹以函數(shù)極限的幾個(gè)性質(zhì)作為前提延伸出的函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論，并加以適當(dāng)?shù)淖C明。

關(guān)鍵詞 函數(shù)極限 鄰域 點(diǎn)x0處的極限 無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限 單側(cè)極限

中圖分類(lèi)號(hào)：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1函數(shù)的極限

1.1函數(shù)在x0點(diǎn)的極限的定義

若f（x）在x0點(diǎn)某鄰域有定義（但可能不包含x0本身），A是一個(gè)常數(shù)， >0， >0，s.t0<|x x0|< 時(shí)，有|f（x） A|< 成立，就稱(chēng)A是f（x）在x0處的極限，記作：f（x）=A。

1.2函數(shù)在x0點(diǎn)的極限的性質(zhì)

定理1：設(shè)f（x）=A，g（x）=B，且A>B，則存在 >0，當(dāng)0<|x x0|< 時(shí)，有f（x）>g（x）。

證明：由f（x）=A，則 =， 1>0，使0<|x x0|< 1時(shí)，有|f（x） A|<，即：

同理：g（x）=B，則 =， 2>0，使0<|x x0|< 2時(shí)，有|g（x） B|<，即：

取 =min{ 1， 2}>0，則有：g（x）<

定理2：設(shè)f（x）=A，則存在 >0，當(dāng)0<|x x0|< 時(shí)，f（x）有界。

證明：由f（x）=A， =1， >0，當(dāng)0<|x x0|< 時(shí)，有|f（x） A|<1，即：A 1

定理3：若f（x）=A的充要條件是對(duì)任何以x0為極限的數(shù)列xn，xn≠x0，有f（xn）=A。

證明：必要性：由f（x）=A，則 >0， >0，當(dāng)0<|x x0|< 時(shí)，有|f（x） A|< 。又由f（xn）=x0，則 >0， N∈N*，當(dāng)n>N時(shí)，有0<|xn x0|< ，從而有|f（xn） A|< 成立。

充分性：用反證法，假設(shè)f（x）≠A，則 >0， >0， x，當(dāng)0<|x x0|< 時(shí)，有|f（x） A|≥ ，分別取 為1，，，…，，…時(shí)，得到x1，x2，…，xn，…滿(mǎn)足下式：

0<|x x0|<1時(shí)，|f（x1） A|≥

0<|x2 x0|<時(shí)，|f（x2） A|≥

……………………………

0<|xn x0|<時(shí)，|f（xn） A|≥

……………………………

由此，當(dāng)n→∞ 時(shí)，xn=x0且xn≠x0，而f（x）≠A與已知矛盾，從而充分性成立。

定理4：若f（x）=A，g（x）=B，則f（x）·g（x）=A·B。

證明：由f（x）=A，則 >0， 1>0，當(dāng)0<|x x0|< 1時(shí)，|f（x） A|< ，且 2>0，當(dāng)0<|x x0|< 2， M>0有|f（x）≤M|。同理，由g（x）=B，則 >0， 3>0，有0<|x x0|< 3時(shí)，有|g（x） B|< 成立。取 =min{ 1， 2， 3}，有：0<|x x0|< 時(shí)，|f（x）·g（x） AB|=|f（x）·g（x） f（x）·B+f（x）·B AB|≤|f（x）|·|g（x） B|+|B|·|f（x） A|<（M+|B|）· 成立。

1.3函數(shù)在正無(wú)限遠(yuǎn)處極限的定義

設(shè) >0， X>0，當(dāng) x>X時(shí)，有|f（x） A|< 成立，記作f（x）=A。

2幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)極限的結(jié)論

2.1結(jié)論及其簡(jiǎn)單的證明

結(jié)論1：若f（x）=A，g（x）=B，并且存在 >0，當(dāng)0<|x x0|< 時(shí)，有f（x）≥g（x），證明：A≥B。

證明：用反證法，設(shè)A0，則 1>0，當(dāng)0<|x x0|< 1時(shí)，有|f（x） A|< =，即：0，當(dāng)0<|x x0|< 2時(shí)，有|g（x） B|<，即0時(shí)，當(dāng)0<|x x0|< 0時(shí)，有：f（x）<

結(jié)論2：若在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有g(shù)（x）≤f（x）≤h（x），并且g（x）和h（x）在x0的極限存在并且都等于A，證明：f（x）=A。

證明： 1>0，當(dāng)0<|x x0|< 1時(shí)，有g(shù)（x）≤f（x）≤h（x）成立，由g（x）=A，則 >0， 2>0，當(dāng)0<|x x0|< 2時(shí)，有|g（x） A|< ，即：A 0， 3>0，當(dāng)0<|x x0|< 3時(shí)，有|h（x） A|< ，即：A

結(jié)論3：若f（x）=A，g（x）=B≠0，則=。

證明：由f（x）=A，則 >0， 1>0，當(dāng)0<|x x0|< 1時(shí)，有|f（x） A|< ，又由g（x）=B≠0，則 >0， 2>0，當(dāng)0<|x x0|< 2時(shí)，有|g（x） B|< ，且 3>0，當(dāng)0<|x x0|< 3時(shí)，有|g（x）|<。取 =min{ ， 1， 2}，當(dāng)0<|x x0|< 時(shí)，有從而：=成立。

結(jié)論4：若f（x）=A，g（x）=B，則f（x）g（x）=AB。

證明：由f（x）=A，則 >0， X1>0，當(dāng)x>X1時(shí)，有|f（x）-A|< ，且 X2>0，當(dāng)x>X2時(shí)，有|f（x）|≤M。又由g（x）=B， >0， X3>0，當(dāng)x>X3時(shí)，有|g（x）-B|< 。取X=max{X1，X2，X3，}，當(dāng)x>X時(shí)，有

|f（x）g（x）-AB|=|f（x）g（x）-f（x）B+f（x）B-AB|≤|f（x）||g（x）-B|+|B||f（x）-A|<（M+|B|）· ，從而：f（x）g（x）=AB。

結(jié)論5：若f（x）=A的充要條件是：對(duì)任何數(shù)列xn→+∞，有f（xn）=A。

證明：必要性：由f（x）=A，則 >0， X>0，當(dāng) x>X時(shí)，有|f（x）-A|< ，由于xn→+∞，則 N∈N*，當(dāng)n>N時(shí)，有xn>X，則|f（xn）-A|< ，故f（xn）=A。

充分性：用反證法，假設(shè)條件成立時(shí)f（x）≠A，則 >0，對(duì) X>0，都 x，有x>X時(shí)，|f（x）-A|≥ 成立，若分別取X為：1，2，3，…，n，…得到適當(dāng)?shù)膞1，x2，x3，…，xn，…滿(mǎn)足下式：

x1>1時(shí)，|f（x1）-A|≥ ；

x2>1時(shí)，|f（x2）-A|≥ ；

……………………………

xn>n時(shí)|f（xn）-A|≥ ，

……………………………

由此看出，xn=+∞，而f（xn）≠A，此與條件矛盾，故f（x）=A成立。

3小結(jié)

利用所得結(jié)論可以來(lái)求解如下極限：

例：f（x）=sinx，當(dāng)x→+∞時(shí)，極限不存在。

解：取xn=2n 時(shí)，當(dāng)n→+∞時(shí)，f（xn）=0，則f（xn）=0；而xn=2n +時(shí)，當(dāng)n→+∞時(shí)，f（xn）=1，則f（xn）=1，故極限不唯一，說(shuō)明x→+∞時(shí)，f（x）的極限不存在。

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